🧮
Identités remarquables
À maîtriser absolument
Niveau : 1BAC
Niveau : 2BAC
Mathématiques
Identités du second degré
| $(a + b)^2$ | $= a^2 + 2ab + b^2$ | |
| $(a - b)^2$ | $= a^2 - 2ab + b^2$ | |
| $(a + b)(a - b)$ | $= a^2 - b^2$ | |
| $a^2 + b^2$ | $= (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab$ |
Identités du troisième degré
| $(a + b)^3$ | $= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ | |
| $(a - b)^3$ | $= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ | |
| $a^3 + b^3$ | $= (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ | |
| $a^3 - b^3$ | $= (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ |
Généralisation : différence et somme
| $a^n - b^n$ | $= (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ | pour tout $n \ge 1$ |
| $a^n + b^n$ | $= (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$ | pour $n$ impair |
Binôme de Newton
| $(a + b)^n$ | $= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ | avec $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| $(a + b)^4$ | $= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ | |
| $(a + b)^5$ | $= a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$ |
Application : forme canonique
| $ax^2 + bx + c$ | $= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$ | avec $\Delta = b^2 - 4ac$ |