Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :

• 1) $(\cos \theta)y' - 5(\sin \theta)y = 0$ ; où $\theta \in \dots$ et $y\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = 1$
• 2) $2y' + \ln(9)y = \ln 3$ et $y(0) = 1$
• 3) $y' + \cos x = 1 + \sin x$ et $y\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{6}$
• 4) $x^2 y' = 1 - y'$ et $y(1) = -\frac{\pi}{4}$

Exercice 2

Résoudre les équations différentielles suivantes :

• 1) $2y'' - 3y' + y = 0$ ; avec : $y(0) = -2$ et $y'(0) = 0$
• 2) $y'' - y' + y = 0$ ; avec : $y(0) = 0$ et $y'(0) = 1$
• 3) $3y'' + 2\sqrt{3}y' + y = 0$ ; avec : $y(0) = -1$ et $y'(0) = 1$
• 4) $\sqrt{2}y'' + 2y' = 0$
• 5) $-2y'' + 3y = 0$
• 6) $y'' = 0$
• 7) $y'' - e^{-x} + 1 = x - \sin x$

Exercice 3

Résoudre chaque équation différentielle suivante, en discutant suivant le paramètre réel $m$ :

• $(E_1) : (m - 1)y' + my = m$
• $(E_2) : m(y' + my) + 3(y' - 3y) + 2 = m$
• $(E_3) : \frac{1}{4}my'' + (m + 2)y' + (m + 1)y = 0$
• $(E_4) : (m - 2)2y'' + (m - 1)(m - 2)y' + y = 0$

Exercice 4

On considère l'équation différentielle $(E_1) : y' - y = 4 \cos x$

1) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E_0) : y' - y = 0$

2) Déterminer deux réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = a \cos x + b \sin x$, soit une solution de l'équation différentielle $(E_1)$.

3) Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ si et seulement si $f - g$ est solution de l'équation $(E_0)$.

4) En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E_1)$.

Exercice 5

On considère l'équation différentielle : $(E_1) : y' + y = x + 1$

1) On pose : $z = y - x$ ; écrire une équation différentielle $(E_2)$ vérifiée par $z$.

2) Résoudre les équations différentielles $(E_2)$ et $(E_1)$.

3) Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E_1)$ qui vérifie : $f(0) = 1$.

Exercice 6

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
On considère l'équation $(E_1) : y'' + 2y' + y = x^2 + 2x - 2$

1) Déterminer une fonction polynôme du second degré (trinôme) $g$ qui vérifie $(E_1)$.

2) a- Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E_1)$ si et seulement si $(f - g)$ est une solution de l'équation $(E_0) : y'' + 2y' + y = 0$
b) Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$.
c) Donner la solution générale de l'équation $(E_1)$.

3) a) Déterminer la fonction $\varphi$ solution de l'équation différentielle $(E_1)$, tel que la droite $(O; \vec{i})$ est la tangente à la courbe de $\varphi$ au point $O$.
b) Déterminer une fonction $h$ solution de l'équation $(E_1)$ tel que : $h(0) = 0$ et $\int_{-1}^0 h(x) dx = \frac{1}{3} - \frac{2}{e}$.

Exercice 7

On considère l'équation différentielle suivante : $(E_1) : y'' + 2y' + 2y = 3\cos x - \sin x$

1) Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \cos x + \sin x$ est une solution de l'équation $(E_1)$.

2) Résoudre l'équation différentielle : $(E_0) : y'' + 2y' + 2y = 0$

3) Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
Montrer que $f$ est une solution de $(E_1)$ si et seulement si : $f - g$ est solution de $(E_0)$.

4) a) Déterminer la fonction $\varphi$ solution de $(E_1)$ tel que : $\varphi(0) = 0$ et $\varphi\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 0$
b) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; |\varphi(x)| \le 2\sqrt{2}$

Exercice 8

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
On considère l'équation différentielle : $(E_1) : y' - 2y = \frac{-2}{1 - e^{-2x}}$

1) Résoudre l'équation différentielle $(E_0) : y' - 2y = 0$ ; puis déterminer la solution de $(E_0)$ dont la courbe passe par le point $A(0; 1)$.

2) Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{2x}g(x)$
a) Calculer $f'(x)$ en fonction de $g'(x)$ et $g(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
b) Montrer que $f$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $g'(x) = \frac{-2e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
c) Et déduire la solution générale de l'équation différentielle $(E_1)$.

Exercice 9

On considère l'équation différentielle :
$(E_1) : y'' + n^2y = n(n - 1)\sin^{n-2}(x) ; n \in \mathbb{N}^*$

1) Déterminer en fonction de $n$ les solutions de l'équation différentielle : $(E_0) : y'' + n^2y = 0$

2) a) Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x) = \sin^n(x)$
Montrer que $u$ est solution de l'équation $(E_1)$.
b) Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$
Montrer que $f$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $(f - u)$ est solution de $(E_0)$.

3) Déterminer $g$ solution de l'équation $(E_1)$ qui vérifie : $g(0) = 1$ et $g'(0) = -n$

Exercice 10

Soit $S$ l'ensemble des fonctions $f$ définies $\mathbb{R}$, et vérifiant :
$(\forall x \in \mathbb{R}) ; f(x) - \int_0^x (x - t)f(t) dt = x \quad (1)$

1) On considère l'équation différentielle : $(E) : y'' - y = 0$
a) Déterminons la fonction $h$ solutions de l'équation différentielle $(E)$ dont la courbe passe par le point $A\left(\ln 2; \frac{3}{4}\right)$, et admet en $A$ une tangente de coefficient directeur $\frac{5}{4}$.
b) Soit $x$ un élément de $\mathbb{R}$, calculer en utilisant une intégration par parties $I = \int_0^x t(e^t - e^{-t}) dt$ ; puis, déduire que $h \in S$.

2) Soit $f$ un élément de $S$
a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; f'(x) = 1 + \int_0^x f(t) dt$

Exercice 11

L'objectif de cet exercice et de montrer qu'il existe une seule fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant deux conditions :
$\begin{cases} f(0) = -4 \quad &(1) \\ (\forall x \in \mathbb{R}) ; f(-x) \times f''(x) = 1 \quad &(2) \end{cases}$

1) On suppose qu'il existe une seule fonction $f$ qui vérifie les deux conditions (1) et (2)
on considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(-x)f(x)$
a) Montrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$
b) Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$
c) On déduire l'expression de la fonction $g$
d) Montrer que $f$ est une solution de l'équation différentielle $y' = \frac{1}{16}y$.

2) En déduire qu'il existe une seule fonction $f$ qui vérifie les deux conditions (1) et (2)

Exercice 12

Soit $f$ une fonction numérique qui vérifie les deux conditions :
• $f$ est continue deux fois dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$, (1)
• $(\forall x \in ]0; +\infty[) : f'(x) = f\left(\frac{1}{x}\right) \quad (2)$

1) Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; x^2f''(x) + f(x) = 0$

2) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$, par $g(x) = f(e^x)$
a) Montrer que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle : $(E) : y'' - y' + y = 0$
b) Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$

3) Déterminer l'ensemble des fonctions définies sur l'intervalle $]0; +\infty[$ qui vérifient les deux conditions (1) et (2).

Exercice 1 : 

Résoudre les équations différentielles suivantes en vérifiant les conditions initiales données :

1. $3y' - 2y = 0$ avec $y(0) = e^2$.
2. $(\cos x)y' + 2(\sin x)y = 0$ avec $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$.
3. $y' + y\ln(4) = \ln(2)$ avec $y(0) = 1$.

Exercice 2 : 

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. $y'' - 5y' + 6y = 0$ avec $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.
2. $y'' + 4y' + 4y = 0$ avec $y(0) = 2$ et $y'(0) = -1$.
3. $y'' + 2y' + 5y = 0$ avec $y(0) = 0$ et $y'(0) = 3$.

Exercice 3 : 

Résoudre l'équation différentielle suivante, en discutant suivant les valeurs du paramètre réel $m$ :

$(E_m) : (m+1)y' - 2my = m+1$

Exercice 4 : 

On considère l'équation différentielle $(E_1): y' + 2y = 5\sin x$.

1. Déterminer la solution générale de l'équation $(E_0): y' + 2y = 0$.
2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g(x) = a\cos x + b\sin x$ soit solution de $(E_1)$.
3. Montrer que $f$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $f-g$ est solution de $(E_0)$. En déduire les solutions de $(E_1)$.

Exercice 5 : 

On considère l'équation $(E): y' - y = x - 2$.

1. On pose $z = y + x - 1$. Écrire une équation différentielle $(E_2)$ vérifiée par $z$.
2. Résoudre l'équation $(E_2)$ puis en déduire les solutions de $(E)$.

Exercice 6 :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. On considère l'équation $(E): y'' + y = 0$.

1. Donner la solution générale de l'équation $(E)$.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que sa courbe représentative admette au point d'abscisse $\pi/2$ une tangente horizontale et passe par le point $A(0, 2)$.

Exercice 7 : 

Soit l'équation différentielle $(E) : y'' - 3y' + 2y = 4x - 2$.

1. Déterminer un polynôme $P(x)$ du premier degré solution de $(E)$.
2. Résoudre l'équation sans second membre associée.
3. En déduire la solution générale de $(E)$.

Exercice 1 : 

On considère l'équation $(E_1): y'' - y' - 2y = -2x^2 + 2x + 3$.

1. Déterminer une fonction polynôme du second degré $g$ qui vérifie $(E_1)$.
2. Montrer que $f$ est solution de $(E_1)$ si et seulement si $f-g$ est solution de l'équation $(E_0): y'' - y' - 2y = 0$.
3. Déterminer la fonction $h$ solution de $(E_1)$ telle que la droite $(O; \vec{i})$ soit tangente à la courbe de $h$ au point d'abscisse $0$.

Exercice 2 : 

On considère l'équation différentielle $(E): y' + 2y = \frac{1}{1+e^{2x}}$.

1. Résoudre l'équation homogène $(E_0): y' + 2y = 0$.
2. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g$ la fonction définie par $f(x) = e^{-2x}g(x)$. Calculer $f'(x)$ en fonction de $g'(x)$ et $g(x)$.
3. Montrer que $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g'(x) = \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}$.
4. En déduire la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.

Exercice 3 : 

On considère l'équation différentielle $(E_n): y'' + n^2 y = 1$ avec $n \in \mathbb{N}^*$.

1. Résoudre l'équation $(E_n)$ en fonction de $n$.
2. Déterminer la solution $f_n$ de $(E_n)$ vérifiant $f_n(0) = 0$ et $f_n'(0) = n$.
3. Calculer $\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} f_n(x) dx$.

Exercice 4 : 

Soit l'équation différentielle $(E) : y'' + y = \cos^3(x)$.

1. Linéariser l'expression $\cos^3(x)$.
2. Déterminer une solution particulière $y_1$ de l'équation $y'' + y = \frac{1}{4}\cos(3x)$.
3. On cherche une solution particulière $y_2$ de $y'' + y = \frac{3}{4}\cos(x)$ sous la forme $y_2(x) = \alpha x \sin(x)$. Trouver $\alpha$.
4. En utilisant le principe de superposition, donner la solution générale de $(E)$.

Exercice 5 : 

Soit l'équation différentielle $(E): x y' - 2y = x^3$ sur $\mathbb{R}^*$.

1. Résoudre $(E)$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$.
2. Résoudre $(E)$ sur l'intervalle $]-\infty, 0[$.
3. Déterminer s'il existe une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier, solution de l'équation $x y' - 2y = x^3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Exercice 6 : 

On considère $(E) : y'' + y' + y = \sin x + \cos x$.

1. Vérifier que la fonction $g(x) = \sin x$ est une solution de $(E)$.
2. Déterminer la solution $\varphi$ de $(E)$ vérifiant $\varphi(0)=0$ et $\varphi'(0)=1$.
3. Montrer que : $(\forall x \ge 0) ; |\varphi(x) - \sin x| \le \frac{2}{\sqrt{3}}e^{-\frac{x}{2}}$.

Exercice 7 : 

Soit $S$ l'ensemble des fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ et vérifiant : $f(x) - \int_{0}^{x} f(t)dt = 2x$.

1. En dérivant la relation, montrer que $f$ vérifie une équation différentielle du premier ordre $(E)$.
2. Résoudre $(E)$ et déterminer $f$ sachant que $f(0) = 0$.

Problème 1 : 

On considère l'équation différentielle $(E)$ définie sur l'intervalle $I = ]0, +\infty[$ par : $$ (E) : x y'' + 2y' + x y = 0 $$

Partie A : Résolution par changement de variable

1. Soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $I$. On pose $u(x) = x y(x)$ pour tout $x > 0$. Exprimer $y'(x)$ et $y''(x)$ en fonction de $x, u(x), u'(x)$ et $u''(x)$.
2. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ sur $I$ si et seulement si $u$ est solution de l'équation différentielle $(E') : u'' + u = 0$.
3. Résoudre $(E')$ et en déduire la solution générale de l'équation $(E)$ sur $I$.
4. Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ vérifiant $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$.

Partie B : Étude de la solution trouvée

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(0)=1$ et $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ pour $x > 0$.

1. Montrer que $f$ est continue à droite en $0$.
2. En utilisant les développements limités ou la règle de L'Hôpital (ou encadrements classiques), montrer que $f$ est dérivable en $0$ et préciser $f'(0)$.
3. Soit $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$. Montrer que pour tout $x > 0$, $\int_{0}^{x} t f''(t) dt = x f'(x) - f(x) + 1$.

Problème 2 : 

On cherche à déterminer toutes les fonctions $f$ définies et continues sur $\mathbb{R}$ vérifiant l'équation fonctionnelle suivante : $$ (\mathcal{V}) : \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) + \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt = 1 $$

1. Soit $f$ une solution de $(\mathcal{V})$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : $f(x)e^{-x} + \int_{0}^{x} e^{-t} f(t) dt = e^{-x}$.
2. On pose $g(x) = \int_{0}^{x} e^{-t} f(t) dt$. Justifier que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et exprimer $g'(x)$ en fonction de $f(x)$.
3. Montrer que $g$ est solution d'une équation différentielle du premier ordre $(E_1)$ que l'on précisera.
4. Résoudre $(E_1)$ sachant que $g(0) = 0$.
5. En déduire l'expression de $g(x)$, puis celle de $f(x)$.
6. Vérifier réciproquement que la fonction $f$ trouvée est bien solution de l'équation $(\mathcal{V})$.

Problème 3 : 

On considère l'équation différentielle non linéaire dite de Bernoulli : $$ (B) : y' - y = -y^2 e^{-x} $$ On cherche les solutions strictement positives sur $\mathbb{R}$.

Partie A : Linéarisation

1. Soit $y$ une solution strictement positive de $(B)$. On pose $z(x) = \frac{1}{y(x)}$. Montrer que $z$ est solution de l'équation différentielle $(L) : z' + z = e^{-x}$.
2. Déterminer la solution générale de l'équation $(L)$.
3. En déduire que les solutions strictement positives de $(B)$ sont de la forme $y_c(x) = \frac{e^x}{x + c}$, avec $c$ une constante réelle. Préciser le domaine de définition maximal selon le signe de $c$.

Partie B : Étude d'une suite liée à l'équation

Soit $f$ la solution de $(B)$ définie sur $I = ]-1, +\infty[$ vérifiant $f(0) = 1$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $$ U_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x} f(x) dx $$

1. Déterminer l'expression explicite de $f(x)$ et vérifier que $U_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{x+1} dx$.
2. Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante et minorée. Que peut-on en déduire ?
3. Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $\frac{x^n}{2} \le \frac{x^n}{x+1} \le x^n$.
4. En déduire la limite de la suite $(U_n)$.
5. Calculer $U_n + U_{n+1}$ en fonction de $n$. En déduire un encadrement plus fin pour déterminer $\lim_{n \to +\infty} n U_n$.

Problème 4 : 

Le but de ce problème est de trouver toutes les fonctions $f$ deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ qui vérifient l'équation fonctionnelle : $$ (\mathcal{F}) : \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) $$

On suppose que $f$ n'est pas la fonction nulle.

1. En posant des valeurs particulières pour $x$ et $y$, montrer que $f(0) = 1$.
2. Montrer que la fonction $f$ est nécessairement paire. En déduire la valeur de $f'(0)$.
3. En dérivant deux fois l'équation $(\mathcal{F})$ par rapport à la variable $y$ (en considérant $x$ comme une constante), montrer que : $$ f''(x+y) + f''(x-y) = 2f(x)f''(y) $$
4. En évaluant la relation précédente en $y = 0$, montrer que $f$ vérifie une équation différentielle de la forme $(E) : y'' = k y$, où $k = f''(0)$.
5. Cas 1 : On suppose que $k < 0$, on pose $k = -\omega^2$ ($\omega > 0$). Résoudre l'équation $(E)$ avec les conditions initiales trouvées et montrer que $f(x) = \cos(\omega x)$.
6. Cas 2 : On suppose que $k > 0$, on pose $k = \omega^2$ ($\omega > 0$). Résoudre l'équation $(E)$ et exprimer $f(x)$ à l'aide des fonctions exponentielles.
7. Cas 3 : On suppose que $k = 0$. Déterminer $f(x)$.

Problème 1 : 

Pour tout entier naturel $n$, on considère l'équation différentielle $(E_n)$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ (E_n) : y' + y = \frac{x^n}{n!} e^{-x} $$

Partie A : Résolution

1. Résoudre l'équation homogène $(E_0') : y' + y = 0$.
2. Déterminer l'unique solution $f_0$ de l'équation $(E_0)$ vérifiant $f_0(0) = 0$.
3. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. On pose $f(x) = u(x)e^{-x}$. Montrer que $f$ est solution de $(E_n)$ si et seulement si $u'(x) = \frac{x^n}{n!}$.
4. En déduire, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, l'unique solution $f_n$ de l'équation $(E_n)$ vérifiant $f_n(0) = 0$.

Partie B : Étude d'une suite numérique liée

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $U_n = f_n(1)$.

1. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et de $e$.
2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : $0 \le U_n \le \frac{1}{n!} e^{-1}$.
3. En déduire $\lim_{n \to +\infty} U_n$.
4. On pose $S_n = \sum_{k=0}^{n} U_k$. Montrer que $S_n = e^{-1} \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(k+1)!}$. (Cette somme tend vers $1 - e^{-1}$ lorsque $n \to +\infty$).

Problème 2 : 

On considère l'équation différentielle non linéaire $(E)$ définie sur $I = ]0, +\infty[$ par : $$ (E) : y' + y^2 - \frac{2}{x^2} = 0 $$ Cette équation est appelée équation de Riccati. Elle ne peut être résolue que si l'on connaît une solution particulière.

1. Déterminer une constante réelle $k > 0$ telle que la fonction $y_p(x) = \frac{k}{x}$ soit une solution particulière de $(E)$.
2. Soit $y$ une fonction dérivable sur $I$. On pose $u(x) = y(x) - y_p(x)$.
   Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $u$ est solution de l'équation $(E_1) : u' + u^2 + \frac{4}{x}u = 0$.
3. On suppose que $u$ ne s'annule pas sur $I$ et on pose $z(x) = \frac{1}{u(x)}$.
   Montrer que $z$ est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre $(E_2)$ que l'on précisera.
4. Résoudre $(E_2)$ sur $I$. (Indication : utiliser la méthode de la variation de la constante ou multiplier par le facteur intégrant $x^{-4}$).
5. En remontant les changements de variables successifs, en déduire la forme générale des solutions de $(E)$ sur $I$.
6. Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(1) = 3$.

Problème 3 :

On considère l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ : $$ (E) : (1+x^2)y' + 2xy = 2x $$

Partie A : Résolution de l'équation

1. Remarquer que l'expression $(1+x^2)y' + 2xy$ est la dérivée d'un produit que l'on précisera.
2. En déduire la solution générale de l'équation $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ dont la courbe représentative passe par l'origine $O(0,0)$.

Partie B : Étude de suites intégrales

Soit $f(x) = \frac{x^2}{1+x^2}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on définit la suite d'intégrales : $$ I_n = \int_{0}^{1} x^n f(x) dx $$

1. Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $0 \le f(x) \le \frac{1}{2}$.
2. En déduire que pour tout $n \ge 1$, $0 \le I_n \le \frac{1}{2(n+1)}$.
3. Déterminer la limite de la suite $(I_n)$.
4. Montrer que pour tout $n \ge 1$, $I_{n+2} + I_n = \frac{1}{n+3}$.
5. En déduire, à l'aide d'un encadrement de la monotonie de $I_n$, un équivalent asymptotique de $I_n$ (Montrer que $I_n \sim \frac{1}{2n}$).

Problème 4 :

Le but de ce problème est de résoudre sur l'intervalle $I = ]-1, 1[$ l'équation différentielle suivante, dite équation de Tchebychev (cas $n=3$) : $$ (E) : (1-x^2)y'' - xy' + 9y = 0 $$

1. Justifier que pour tout $x \in ]-1, 1[$, il existe un unique $t \in ]0, \pi[$ tel que $x = \cos t$.
2. Soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $I$. On définit la fonction $g$ sur $]0, \pi[$ par $g(t) = y(\cos t)$.
   Calculer $g'(t)$ en fonction de $t$ et de $y'(\cos t)$.
3. Calculer $g''(t)$ en fonction de $t$, $y'(\cos t)$ et $y''(\cos t)$.
4. En remplaçant $x$ par $\cos t$ et en utilisant les relations précédentes, démontrer que $y$ est solution de l'équation $(E)$ sur $]-1, 1[$ si et seulement si $g$ est solution sur $]0, \pi[$ de l'équation différentielle : $$ (E') : g''(t) + 9g(t) = 0 $$
5. Résoudre l'équation différentielle $(E')$.
6. En déduire que les solutions de $(E)$ sur $I$ sont de la forme : $$ y(x) = A \cos(3 \arccos x) + B \sin(3 \arccos x) \quad (A, B \in \mathbb{R}) $$
7. Question bonus (Polynômes de Tchebychev) : En sachant que $\cos(3t) = 4\cos^3(t) - 3\cos(t)$, montrer qu'il existe une solution de $(E)$ qui est une fonction polynôme, et préciser l'expression de ce polynôme.

Problème 1 : 

On considère l'équation différentielle $(E)$ définie sur l'intervalle $I = ]0, +\infty[$ par : $$ (E) : x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0 $$ Cette équation est à coefficients non constants. On se propose de la résoudre par un changement de variable.

1. Justifier que la fonction $x \mapsto \ln x$ est une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
2. Soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $I$. On définit la fonction $z$ sur $\mathbb{R}$ par $z(t) = y(e^t)$.
   Montrer que pour tout $x \in I$ (en posant $x = e^t$), on a $y'(x) = \frac{1}{x} z'(t)$.
3. Montrer de même que $y''(x) = \frac{1}{x^2} \big( z''(t) - z'(t) \big)$.
4. En déduire que $y$ est solution de $(E)$ sur $I$ si et seulement si $z$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle linéaire à coefficients constants : $$ (E') : z'' - 4z' + 4z = 0 $$
5. Résoudre l'équation $(E')$.
6. En déduire la solution générale de l'équation $(E)$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$.
7. Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(1) = 2$ et $f'(1) = 3$.

Problème 2 : 

On cherche à déterminer toutes les fonctions $f$ continues sur $\mathbb{R}$ qui vérifient pour tout réel $x$ l'équation fonctionnelle suivante : $$ (\mathcal{I}) : f(x) = 1 + \int_{0}^{x} \sin(x-t) f(t) dt $$

1. En utilisant la formule de développement $\sin(x-t) = \sin x \cos t - \cos x \sin t$, montrer que pour toute solution $f$, on peut écrire : $$ f(x) = 1 + \sin x \int_{0}^{x} \cos t f(t) dt - \cos x \int_{0}^{x} \sin t f(t) dt $$
2. En déduire que toute fonction $f$ continue vérifiant $(\mathcal{I})$ est en fait deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
3. Montrer que la dérivée première de $f$ est donnée par la formule : $$ f'(x) = \int_{0}^{x} \cos(x-t) f(t) dt $$
4. En dérivant une seconde fois, établir que : $$ f''(x) = f(x) - \int_{0}^{x} \sin(x-t) f(t) dt $$
5. À l'aide de l'équation initiale $(\mathcal{I})$, en déduire que $f$ vérifie l'équation différentielle très simple $(E) : y'' = 1$.
6. Déterminer les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ à l'aide des expressions trouvées.
7. En déduire l'unique fonction $f$ solution du problème.

Problème 3 : 

On considère l'équation différentielle $(E)$ sur $\mathbb{R}^*$ : $$ (E) : x y' + y = e^{2x} - e^x $$

1. Remarquer que le premier membre de l'équation s'écrit sous la forme de la dérivée d'un produit. Lequel ?
2. Résoudre l'équation $(E)$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$. (On notera $C_1$ la constante d'intégration).
3. Résoudre l'équation $(E)$ sur l'intervalle $]-\infty, 0[$. (On notera $C_2$ la constante d'intégration).
4. Soit $f$ une fonction solution de $(E)$ sur $]0, +\infty[$. À quelle condition sur la constante $C_1$, la fonction $f$ admet-elle une limite finie lorsque $x$ tend vers $0^+$ ? Préciser alors cette limite.
5. Déterminer de même la condition sur $C_2$ pour que la solution sur $]-\infty, 0[$ admette une limite finie en $0^-$.
6. On pose $g(x) = \frac{e^{2x} - 2e^x + 1}{2x}$ pour $x \ne 0$. Comment faut-il prolonger $g$ par continuité en $0$ ?
7. La fonction ainsi prolongée est-elle dérivable en $0$ ? Si oui, déterminer $g'(0)$ et vérifier si elle est une solution globale de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

Problème 4 : 

On considère l'équation différentielle du second ordre : $$ (E) : y'' + \frac{2}{x}y' + y = \frac{1}{x} $$ définie sur l'intervalle $I = ]0, +\infty[$.

1. Soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $I$. On pose $u(x) = x \cdot y(x)$. Calculer $u'(x)$ et $u''(x)$ en fonction de $y(x), y'(x)$ et $y''(x)$.
2. Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $u$ est solution d'une équation différentielle $(E')$ à coefficients constants de la forme $u'' + a u' + b u = c(x)$. Préciser $a, b$ et $c(x)$.
3. Résoudre l'équation homogène $(E'_0)$ associée à $(E')$.
4. Déterminer une solution particulière évidente de $(E')$, puis donner la solution générale de $(E')$.
5. En déduire la solution générale de l'équation initiale $(E)$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$.
6. Déterminer l'unique solution $f$ de $(E)$ vérifiant $\lim_{x \to 0^+} x f(x) = 0$ et $f(\pi) = 0$.