Exercice 1

Partie I

Soit $f$ une fonction définie, continue et décroissante sur $[0; 1]$. On considère la fonction $F$ définie sur $]0; 1]$ par : $$F(x) = \int_{x}^{1} f(t) dt.$$ On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $$(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \quad u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right).$$

1. Montrer que pour tout entier $n \ge 2$ et pour tout $k \in \{1, \dots, n-1\}$, on a : $$\left(\forall t \in \left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]\right), \quad \frac{1}{n} f\left(\frac{k+1}{n}\right) \le \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) dt \le \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right).$$

2. Vérifier que : $$(\forall n \ge 2) ; \quad F\left(\frac{1}{n}\right) = \int_{\frac{1}{n}}^{1} f(t) dt = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) dt.$$

3. Montrer que : $$(\forall n \ge 2) ; \quad F\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n}f(1) \le u_n \le F\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n}f\left(\frac{1}{n}\right).$$

4. On suppose que : $$\lim_{x \to 0^+} F(x) = \ell \; (\ell \in \mathbb{R}) \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} xf(x) = 0.$$ En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et déterminer sa limite.

Partie II

Dans cette question, on suppose que $f$ est une fonction continue et croissante sur $[0; \pi]$.

1. Montrer que pour tout entier $n \ge 1$ et pour tout $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$, on a : $$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} |\sin(nx)| dx = \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} (-1)^k \sin(nx) dx = \frac{2}{n}.$$

2. Montrer que pour tout entier $n \ge 1$ et pour tout $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$, on a : $$\frac{2}{n} f\left(\frac{k\pi}{n}\right) \le \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} f(x)|\sin(nx)| dx \le \frac{2}{n} f\left(\frac{(k+1)\pi}{n}\right).$$

3. En déduire un encadrement de : $$\int_{0}^{\pi} f(x)|\sin(nx)| dx.$$

4. Déduire que : $$\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin(nx)| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx.$$

Exercice 2

Soit $G$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par : $$G(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt.$$

1. Montrer que :
a) $\forall x \in [0, +\infty[, \; G(x) \le \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt + \frac{1}{e}$.
b) $G$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.
On admet que $G$ possède une limite finie en $+\infty$, c'est-à-dire : $$\left( \lim_{x \to +\infty} G(x) \right) \in \mathbb{R}.$$

2. Montrer que :
a) $\forall u \in [0, 1], \; e^{-u^2} \ge 1 - u^2$.
b) $\forall u \in [0, +\infty[, \; e^{-u^2} \le \frac{1}{1 + u^2}$.

3. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $$A_n = \int_{0}^{1} (1 - u^2)^n du, \quad B_n = \lim_{x \to +\infty} \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + u^2)^n} du, \quad I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt.$$ a) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, \; A_n = I_{2n+1}$.
b) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*, \; B_n = I_{2n-2}$.

4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a :
a) $\int_{0}^{1} e^{-nu^2} du = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-x^2} dx$.
b) $\int_{0}^{1} e^{-nu^2} du \ge A_n$.
c) $G(\sqrt{n}) \ge \sqrt{n} I_{2n+1}$.

5. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a :
a) $\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \; \int_{0}^{x} e^{-nu^2} du \le \int_{0}^{x} \frac{1}{(1 + u^2)^n} du$.
b) $G(\sqrt{n}) \le \sqrt{n} I_{2n-2}$.
c) $\lim_{x \to +\infty} G(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Vous pouvez utiliser le résultat suivant : $$\lim_{n \to +\infty} I_n \sqrt{\frac{2n}{\pi}} = 1$$ qui était déjà démontré dans l'exercice 1.

Exercice 1

Partie I

1. Soit $n \ge 2$ et $k \in \{1, \dots, n-1\}$. La fonction $f$ est décroissante sur $[0; 1]$, donc pour tout $t \in \left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]$, on a $\frac{k}{n} \le t \le \frac{k+1}{n}$, d'où $$f\left(\frac{k+1}{n}\right) \le f(t) \le f\left(\frac{k}{n}\right).$$ En intégrant cette double inégalité sur $\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]$ (intervalle de longueur $\frac{1}{n}$), on obtient $$\frac{1}{n} f\left(\frac{k+1}{n}\right) \le \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) dt \le \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right).$$ En sommant pour $k=1, \dots, n-1$, on obtient bien $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k+1}{n}\right) \le \sum_{k=1}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) dt \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right).$$

2. Par la relation de Chasles, en découpant $\left[\frac{1}{n}, 1\right]$ en $n-1$ sous-intervalles $\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]$ pour $k=1, \dots, n-1$ : $$F\left(\frac{1}{n}\right) = \int_{\frac{1}{n}}^{1} f(t) dt = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(t) dt.$$

3. D'après les questions 1. et 2., on a : $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k+1}{n}\right) \le F\left(\frac{1}{n}\right) \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right).$$ Remarquons que, par définition de $u_n$ : $$u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) + \frac{1}{n} f(1),$$ donc $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = u_n - \frac{1}{n} f(1).$$ De même, en réindexant $j=k+1$ (donc $j$ parcourt $\{2, \dots, n\}$) : $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k+1}{n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{j=2}^{n} f\left(\frac{j}{n}\right) = u_n - \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right).$$ En substituant ces deux expressions dans l'encadrement de départ, on obtient : $$u_n - \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right) \le F\left(\frac{1}{n}\right) \le u_n - \frac{1}{n} f(1),$$ soit, en réarrangeant chaque inégalité : $$F\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n} f(1) \le u_n \quad \text{et} \quad u_n \le F\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right).$$ On obtient donc, comme demandé : $$F\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n} f(1) \le u_n \le F\left(\frac{1}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right).$$

4. Puisque $\lim_{x \to 0^+} F(x) = \ell$, on a $\lim_{n \to +\infty} F\left(\frac{1}{n}\right) = \ell$.
Le terme $\frac{1}{n} f(1)$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$ (car $f(1)$ est une constante fixée).
Pour le terme de droite, on pose $x = \frac{1}{n} \to 0^+$ ; l'hypothèse $\lim_{x \to 0^+} xf(x) = 0$ donne $\frac{1}{n} f\left(\frac{1}{n}\right) \to 0$.
Donc les deux bornes de l'encadrement de la question 3. tendent vers $\ell$ lorsque $n \to +\infty$. D'après le théorème des gendarmes, $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell.$$

Partie II

1. Soit $n \ge 1$ et $k \in \{0, \dots, n-1\}$. Pour $x \in \left[\frac{k\pi}{n}, \frac{(k+1)\pi}{n}\right]$, on a $nx \in [k\pi, (k+1)\pi]$.
Sur cet intervalle, $\sin(nx)$ garde un signe constant égal à $(-1)^k$ (le sinus est positif sur $[k\pi, (k+1)\pi]$ si $k$ est pair, négatif si $k$ est impair). Donc $$|\sin(nx)| = (-1)^k \sin(nx) \quad \text{sur } \left[\frac{k\pi}{n}, \frac{(k+1)\pi}{n}\right],$$ ce qui justifie la première égalité. Calculons ensuite : $$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} (-1)^k \sin(nx) dx = (-1)^k \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} = \frac{(-1)^k}{n} \Big( \cos(k\pi) - \cos((k+1)\pi) \Big).$$ Or $\cos(k\pi) = (-1)^k$ et $\cos((k+1)\pi) = (-1)^{k+1} = -(-1)^k$, donc $$\cos(k\pi) - \cos((k+1)\pi) = (-1)^k - (-1)^{k+1} = 2(-1)^k.$$ D'où $$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} (-1)^k \sin(nx) dx = \frac{(-1)^k}{n} \cdot 2(-1)^k = \frac{2}{n} (-1)^{2k} = \frac{2}{n}.$$ On a bien $$\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} |\sin(nx)| dx = \frac{2}{n}.$$

2. $f$ est croissante sur $[0; \pi]$. Pour $x \in \left[\frac{k\pi}{n}, \frac{(k+1)\pi}{n}\right] \subset [0; \pi]$, on a $\frac{k\pi}{n} \le x \le \frac{(k+1)\pi}{n}$, donc $$f\left(\frac{k\pi}{n}\right) \le f(x) \le f\left(\frac{(k+1)\pi}{n}\right).$$ Comme $|\sin(nx)| \ge 0$, on peut multiplier cette inégalité par $|\sin(nx)|$ sans changer le sens : $$f\left(\frac{k\pi}{n}\right) |\sin(nx)| \le f(x) |\sin(nx)| \le f\left(\frac{(k+1)\pi}{n}\right) |\sin(nx)|.$$ En intégrant sur $\left[\frac{k\pi}{n}, \frac{(k+1)\pi}{n}\right]$ et en utilisant le résultat de la question 1. : $$\frac{2}{n} f\left(\frac{k\pi}{n}\right) \le \int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}} f(x) |\sin(nx)| dx \le \frac{2}{n} f\left(\frac{(k+1)\pi}{n}\right).$$

3. En sommant l'encadrement précédent pour $k = 0, \dots, n-1$, et en utilisant la relation de Chasles (les intervalles $\left[\frac{k\pi}{n}, \frac{(k+1)\pi}{n}\right]$ recouvrent $[0; \pi]$) : $$\frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k\pi}{n}\right) \le \int_{0}^{\pi} f(x) |\sin(nx)| dx \le \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{(k+1)\pi}{n}\right).$$

4. Posons $t = \frac{x}{\pi} \in [0; 1]$ et $h(t) = f(\pi t)$, de sorte que $h$ est continue sur $[0; 1]$. Les deux sommes de l'encadrement précédent sont alors des sommes de Riemann associées à $h$. En effet : $$\frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k\pi}{n}\right) = 2 \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} h\left(\frac{k}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 2 \int_{0}^{1} h(t) dt.$$ Or, en posant $x = \pi t$ (donc $dt = \frac{dx}{\pi}$) : $$\int_{0}^{1} h(t) dt = \int_{0}^{1} f(\pi t) dt = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx,$$ donc $$\frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k\pi}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx.$$ De même, pour l'autre borne, en réindexant $j = k+1$ (donc $j$ parcourt $\{1, \dots, n\}$) : $$\frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{(k+1)\pi}{n}\right) = \frac{2}{n} \sum_{j=1}^{n} f\left(\frac{j\pi}{n}\right) = 2 \cdot \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} h\left(\frac{j}{n}\right),$$ qui est aussi une somme de Riemann associée à $h$ sur $[0; 1]$ (somme à droite), et converge donc vers la même limite : $$\frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{(k+1)\pi}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx.$$ Les deux bornes de l'encadrement de la question 3. tendent donc vers la même limite $\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx$. Par le théorème des gendarmes, on conclut : $$\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} f(x) |\sin(nx)| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx.$$

Correction de l'exercice 2

1. a) Soit $x \ge 0$. Si $x \le 1$, alors $G(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt \le \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt \le \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt + \frac{1}{e}$ (car l'intégrande est positive et $\frac{1}{e} > 0$).
Si $x > 1$, on découpe : $$G(x) = \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt + \int_{1}^{x} e^{-t^2} dt.$$ Pour $t \ge 1$, on a $t^2 \ge t$, donc $e^{-t^2} \le e^{-t}$. Ainsi $$\int_{1}^{x} e^{-t^2} dt \le \int_{1}^{x} e^{-t} dt = [-e^{-t}]_{1}^{x} = e^{-1} - e^{-x} \le e^{-1} = \frac{1}{e}.$$ On obtient donc dans les deux cas : $$G(x) \le \int_{0}^{1} e^{-t^2} dt + \frac{1}{e}.$$

b) La fonction $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue et strictement positive sur $\mathbb{R}$. Donc $G$, qui est une primitive de $t \mapsto e^{-t^2}$ s'annulant en 0, est dérivable sur $[0, +\infty[$ avec $G'(x) = e^{-x^2} > 0$ pour tout $x \ge 0$. Donc $G$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$.

2. a) Soit $\varphi(u) = e^{-u^2} - (1 - u^2)$ pour $u \in [0, 1]$. On a $\varphi(0) = 0$ et $$\varphi'(u) = -2u e^{-u^2} + 2u = 2u (1 - e^{-u^2}).$$ Pour $u \in [0, 1]$, on a $u \ge 0$ et $u^2 \ge 0$ donc $e^{-u^2} \le 1$, donc $1 - e^{-u^2} \ge 0$, donc $\varphi'(u) \ge 0$. Ainsi $\varphi$ est croissante sur $[0, 1]$, et comme $\varphi(0) = 0$, on a $\varphi(u) \ge 0$ pour tout $u \in [0, 1]$, c'est-à-dire $$e^{-u^2} \ge 1 - u^2 \quad \forall u \in [0, 1].$$

b) Soit $\psi(u) = e^{-u^2}(1 + u^2) - 1$ pour $u \ge 0$. On a $\psi(0) = 0$ et $$\psi'(u) = -2u e^{-u^2}(1 + u^2) + 2u e^{-u^2} = 2u e^{-u^2} (1 - (1 + u^2)) = -2u^3 e^{-u^2} \le 0$$ pour $u \ge 0$. Donc $\psi$ est décroissante sur $[0, +\infty[$, et comme $\psi(0) = 0$, on a $\psi(u) \le 0$ pour tout $u \ge 0$, c'est-à-dire $e^{-u^2}(1 + u^2) \le 1$, soit $$e^{-u^2} \le \frac{1}{1 + u^2} \quad \forall u \in [0, +\infty[.$$

3. a) Par le changement de variable $u = \cos \theta$ (donc $du = -\sin \theta d\theta$), lorsque $u$ va de 0 à 1, $\theta$ va de $\frac{\pi}{2}$ à 0 : $$A_n = \int_{0}^{1} (1 - u^2)^n du = \int_{\pi/2}^{0} (1 - \cos^2 \theta)^n (-\sin \theta) d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n} \theta \cdot \sin \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{2n+1} \theta d\theta.$$ Par la relation classique $\int_{0}^{\pi/2} \sin^m \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \cos^m \theta d\theta = I_m$ (changement $\theta \to \frac{\pi}{2} - \theta$), on obtient $$A_n = I_{2n+1}.$$

b) De même, avec $u = \tan \theta$ (donc $du = (1 + \tan^2 \theta) d\theta = \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}$), lorsque $u$ va de 0 à $x$, $\theta$ va de 0 à $\arctan x$ : $$\int_{0}^{x} \frac{du}{(1 + u^2)^n} = \int_{0}^{\arctan x} \frac{1}{(1 + \tan^2 \theta)^n} \cdot \frac{d\theta}{\cos^2 \theta} = \int_{0}^{\arctan x} \cos^{2n-2} \theta d\theta,$$ car $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$, donc $(1 + \tan^2 \theta)^{-n} \cdot \cos^{-2} \theta = \cos^{2n} \theta \cdot \cos^{-2} \theta = \cos^{2n-2} \theta$.
Quand $x \to +\infty$, $\arctan x \to \frac{\pi}{2}$, donc $$B_n = \lim_{x \to +\infty} \int_{0}^{x} \frac{du}{(1 + u^2)^n} = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n-2} \theta d\theta = I_{2n-2}.$$ Ceci est valable pour $n \ge 1$ (pour que $2n - 2 \ge 0$), soit $$B_n = I_{2n-2} \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$

4. a) Soit $n \ge 1$. On effectue le changement de variable $x = u\sqrt{n}$ (donc $dx = \sqrt{n} du$) dans l'intégrale $\int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-x^2} dx$ : quand $x$ va de 0 à $\sqrt{n}$, $u$ va de 0 à 1, et $x^2 = n u^2$, donc $$\int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{1} e^{-nu^2} \sqrt{n} du = \sqrt{n} \int_{0}^{1} e^{-nu^2} du.$$ D'où $$\int_{0}^{1} e^{-nu^2} du = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-x^2} dx.$$

b) D'après la question 2.a), pour $u \in [0, 1]$ : $e^{-u^2} \ge 1 - u^2$, donc en élevant à la puissance $n$ (les deux membres étant positifs sur $[0, 1]$, car $1 - u^2 \ge 0$) : $$e^{-nu^2} = (e^{-u^2})^n \ge (1 - u^2)^n.$$ En intégrant sur $[0, 1]$ : $$\int_{0}^{1} e^{-nu^2} du \ge A_n.$$

c) En combinant 4.a) et 4.b) : $$\frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-x^2} dx \ge A_n = I_{2n+1},$$ c'est-à-dire, puisque $G(\sqrt{n}) = \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-x^2} dx$ : $$G(\sqrt{n}) \ge \sqrt{n} I_{2n+1}.$$

5. a) D'après la question 2.b), pour tout $u \ge 0$ : $e^{-u^2} \le \frac{1}{1 + u^2}$, donc en élevant à la puissance $n \ge 1$ (les deux membres étant positifs) : $$e^{-nu^2} \le \frac{1}{(1 + u^2)^n}.$$ En intégrant sur $[0, x]$ pour $x > 0$ : $$\int_{0}^{x} e^{-nu^2} du \le \int_{0}^{x} \frac{du}{(1 + u^2)^n}.$$

b) Appliquons l'inégalité de la question 5.a) avec $x = \sqrt{n}$ : $$\int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-nu^2} du \le \int_{0}^{\sqrt{n}} \frac{du}{(1 + u^2)^n}.$$ Or l'intégrande $\frac{1}{(1 + u^2)^n}$ est positive, donc la fonction $x \mapsto \int_{0}^{x} \frac{du}{(1 + u^2)^n}$ est croissante sur $[0, +\infty[$, si bien que $$\int_{0}^{\sqrt{n}} \frac{du}{(1 + u^2)^n} \le \lim_{x \to +\infty} \int_{0}^{x} \frac{du}{(1 + u^2)^n} = B_n = I_{2n-2}.$$ En combinant ces deux inégalités : $$\int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-nu^2} du \le I_{2n-2}.$$ Or, d'après la question 4.a), $\int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-nu^2} du = \frac{1}{\sqrt{n}} G(\sqrt{n})$. D'où $$G(\sqrt{n}) \le \sqrt{n} I_{2n-2}.$$

c) D'après 4.c) et 5.b), pour tout $n \ge 1$ : $$\sqrt{n} I_{2n+1} \le G(\sqrt{n}) \le \sqrt{n} I_{2n-2}.$$ Utilisons le résultat admis $\lim_{n \to +\infty} I_n \sqrt{\frac{2n}{\pi}} = 1$ pour déterminer les limites de $\sqrt{n} I_{2n+1}$ et $\sqrt{n} I_{2n-2}$. $$\sqrt{n} I_{2n+1} = I_{2n+1} \sqrt{\frac{2(2n+1)}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2(2n+1)}} \cdot \sqrt{n} = \left( I_{2n+1} \sqrt{\frac{2(2n+1)}{\pi}} \right) \cdot \sqrt{\frac{\pi n}{2(2n+1)}}.$$ Or $\sqrt{\frac{\pi n}{2(2n+1)}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ (car $\frac{n}{2n+1} \to \frac{1}{2}$). Donc, par produit de limites, $$\sqrt{n} I_{2n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$ De même, $$\sqrt{n} I_{2n-2} = I_{2n-2} \sqrt{\frac{2(2n-2)}{\pi}} \cdot \sqrt{\frac{\pi n}{2(2n-2)}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 \cdot \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2},$$ puisque $\frac{n}{2n-2} \to \frac{1}{2}$ également.
Ainsi, les deux bornes de l'encadrement $\sqrt{n} I_{2n+1} \le G(\sqrt{n}) \le \sqrt{n} I_{2n-2}$ tendent vers $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. Par le théorème des gendarmes, $$\lim_{n \to +\infty} G(\sqrt{n}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$ Comme $G$ admet une limite finie en $+\infty$ (admis), et que $\sqrt{n} \to +\infty$ quand $n \to +\infty$, on a $\lim_{n \to +\infty} G(\sqrt{n}) = \lim_{x \to +\infty} G(x)$. On conclut donc : $$\lim_{x \to +\infty} G(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

Série 1 : Niveau Facile (Applications directes)

Exercice 1 : Calcul direct et utilisation des primitives usuelles

Calculer les intégrales suivantes :

1. $I_1 = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + e^x) dx$
2. $I_2 = \int_{1}^{2} \frac{2x}{x^2+3} dx$
3. $I_3 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx$
4. $I_4 = \int_{-1}^{1} (x^3 + \sin(x)) dx$
5. $I_5 = \int_{0}^{2} |x - 1| dx$ (Indication : utiliser la relation de Chasles)

Exercice 2 : Intégration par parties (Règle ALPES)

En utilisant la méthode d'intégration par parties, calculer :

1. $J_1 = \int_{0}^{1} x e^x dx$
2. $J_2 = \int_{1}^{e} x^2 \ln(x) dx$
3. $J_3 = \int_{0}^{\pi} x \sin(x) dx$
4. $J_4 = \int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x^2} dx$
5. $J_5 = \int_{1}^{e^2} \ln(x) dx$ (Indication : poser $u'(x)=1$)

Exercice 3 : Changements de variables simples

Calculer les intégrales suivantes en utilisant le changement de variable indiqué :

1. $K_1 = \int_{0}^{1} (2x+1)^4 dx \quad$ (poser $t = 2x+1$)
2. $K_2 = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x+1)^2} dx \quad$ (poser $t = e^x$)
3. $K_3 = \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^x}{1+e^x} dx \quad$ (poser $t = e^x$)
4. $K_4 = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos x} dx \quad$ (poser $t = \sin x$)

Exercice 4 : Encadrements, ordre et valeur moyenne

1. Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $\frac{1}{1+x^2} \le 1$.
2. En déduire que $\int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} \le 1$.
3. Montrer que $1 \le \int_{0}^{1} e^{x^2} dx \le e$.
4. Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[-1, 1]$.
5. Montrer sans calculer l'intégrale que $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) dx \ge 0$.

Série 2 : Niveau Moyen (Suites d'intégrales et Astuces)

Exercice 1 : Étude d'une suite d'intégrales

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x} dx$.

1. Calculer $I_0$ et $I_1$.
2. Étudier le signe de $I_n$.
3. Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, $x^{n+1} e^{-x} \le x^n e^{-x}$. En déduire la monotonie de la suite $(I_n)$.
4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le I_n \le \frac{1}{n+1}$.
5. En déduire $\lim_{n \to +\infty} I_n$.

Exercice 2 : Changements de bornes remarquables

1. Montrer que pour toute fonction continue $f$, on a : $\int_{a}^{b} f(a+b-x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$.
2. Application 1 : Calculer $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx$.
3. Application 2 : En posant $t = \pi - x$, montrer que $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$.
4. Application 3 : Calculer $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) dx$ en utilisant $t = \frac{\pi}{4} - x$.

Exercice 3 : Fonctions définies par une intégrale

1. Soit $F(x) = \int_{0}^{x^2} \sqrt{1+t^3} dt$. Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer $F'(x)$.
2. Soit $g(x) = \int_{x}^{2x} f(t) dt$, où $f$ est une fonction continue. Montrer que $g'(x) = 2f(2x) - f(x)$.
3. Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation : $\int_{0}^{x} t dt = \int_{0}^{2x} (t-1) dt$.

Exercice 4 : Techniques croisées

1. Par une double intégration par parties, calculer $\int_{0}^{\pi} e^x \cos(x) dx$.
2. Prouver l'inégalité triangulaire des intégrales : $\left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.
3. Soit $J_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$. À l'aide d'une IPP, trouver une relation de récurrence entre $J_n$ et $J_{n-1}$.
4. En posant $t = \tan(x/2)$, exprimer $\int \frac{dx}{2+\cos x}$ en fonction de $t$.

Série 3 : Niveau Difficile (Synthèse et Abstraction)

Exercice 1 : Sommes de Riemann

1. Calculer $\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$.
2. Déterminer $\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2+k^2}$.
3. Montrer que la suite $v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$ converge et calculer sa limite.
4. Calculer $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{(2n)!}{n^n n!} \right)^{\frac{1}{n}}$ (Indication : composer par le logarithme népérien).

Exercice 2 : Intégrales de Wallis

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $W_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x) dx$.

1. Calculer $W_0$ et $W_1$.
2. Montrer que la suite $(W_n)$ est décroissante et positive.
3. À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation de récurrence : $W_n = \frac{n-1}{n} W_{n-2}$ pour tout $n \ge 2$.
4. Montrer que la suite de terme général $U_n = n W_n W_{n-1}$ est constante et donner sa valeur.
5. En déduire un équivalent de $W_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Exercice 3 : Études asymptotiques et Inégalités fondamentales

1. Établir l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales : $\left(\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx\right)^2 \le \left(\int_{a}^{b} f^2(x) dx\right)\left(\int_{a}^{b} g^2(x) dx\right)$.
2. En déduire que $\int_{0}^{1} \sqrt{1+x^3} dx \le \sqrt{\frac{5}{4}}$.
3. Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$. En intégrant par parties, montrer que $\lim_{n \to +\infty} n \int_{0}^{1} x^n f(x) dx = f(1)$.
4. Soit $f$ une fonction strictement croissante et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,a]$ avec $f(0)=0$. Démontrer l'inégalité de Young : $\int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{f(a)} f^{-1}(y) dy = a f(a)$ (Indication : interprétation géométrique d'aire).

Exercice 4 : Fonctions intégrales complexes

1. Étudier la monotonie de la fonction $F(x) = \int_{x}^{2x} \frac{e^t}{t} dt$ pour $x > 0$.
2. Soit $h(x) = \int_{x}^{x^2} \frac{1}{\ln t} dt$ pour $x > 1$. Montrer que $h(x) \ge \frac{x^2-x}{2 \ln x}$.
3. Montrer que l'équation $\int_{0}^{x} e^{t^2} dt = 1$ admet une unique solution $\alpha \in \mathbb{R}^+$.
4. Trouver l'unique fonction $f$ continue sur $\mathbb{R}$ vérifiant l'équation fonctionnelle : $\forall x \in \mathbb{R}, \; f(x) = 1 + 2 \int_{0}^{x} f(t) dt$.

Série 1 : Niveau Facile (Maîtrise des techniques de base)

Exercice 1 : Reconnaissance de formes u'u^n et u'/u

Calculer les intégrales définies suivantes :

1. $I_1 = \int_{0}^{1} x(x^2+1)^3 dx$
2. $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$
3. $I_3 = \int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$
4. $I_4 = \int_{0}^{1} \frac{x+1}{x^2+2x+3} dx$

Exercice 2 : Pratique de l'Intégration par parties (IPP)

À l'aide du théorème d'intégration par parties, évaluer :

1. $J_1 = \int_{1}^{e} x^3 \ln(x) dx$
2. $J_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2x-1) \cos(x) dx$
3. $J_3 = \int_{0}^{1} \arctan(x) dx$ (Indication : écrire $\arctan(x) = 1 \times \arctan(x)$)
4. $J_4 = \int_{0}^{1} (x^2+x) e^{-x} dx$ (Indication : IPP successives)

Exercice 3 : Changement de variable guidé

1. Calculer $K_1 = \int_{1}^{e^{\pi}} \frac{\sin(\ln x)}{x} dx$ en posant le changement de variable $t = \ln x$.
2. Calculer $K_2 = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+e^x} dx$ en posant $t = e^x$.
3. Calculer $K_3 = \int_{1}^{4} \frac{1}{x+\sqrt{x}} dx$ en posant $t = \sqrt{x}$.

Exercice 4 : Propriétés de l'intégrale et parité

1. Vérifier que la fonction $f(x) = x^4 \sin(x)$ est impaire.
2. En déduire la valeur de $\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} x^4 \sin(x) dx$.
3. Montrer que $\forall x \in [1, 2]$, on a $e^x \le e^{x^2} \le e^{2x}$.
4. En déduire un encadrement de l'intégrale $\int_{1}^{2} e^{x^2} dx$.

Série 2 : Niveau Moyen (Suites, Double IPP et Fonctions Intégrales)

Exercice 1 : Étude complète d'une suite d'intégrales

On considère la suite numérique $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^n}{1+x^2} dx$.

1. Calculer $I_0$ et $I_1$.
2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n \ge 0$.
3. Étudier la monotonie de la suite $(I_n)$. Que peut-on en déduire ?
4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : $I_n \le \frac{1}{n+1}$.
5. Déterminer la limite de la suite $(I_n)$.
6. Calculer $I_n + I_{n+2}$ en fonction de $n$.

Exercice 2 : Astuces de calcul et IPP cyclique

1. Calculer $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{2x} \sin(x) dx$ en effectuant deux intégrations par parties successives.
2. Montrer que $\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x} dx$ en utilisant le changement de variable $t = \pi - x$.
3. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$. Montrer que $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$.

Exercice 3 : Fonction définie par une intégrale

Soit la fonction $F$ définie par : $F(x) = \int_{2}^{x^2+1} \ln(t) dt$.

1. Déterminer $D_F$, le domaine de définition de $F$.
2. Montrer que $F$ est dérivable sur $D_F$ et calculer sa fonction dérivée $F'(x)$.
3. Dresser le tableau de variations de $F$.

Exercice 4 : Décomposition en éléments simples

1. Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ : $\frac{x^2+2}{x^2-1} = a + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+1}$.
2. En déduire le calcul de l'intégrale $\int_{2}^{3} \frac{x^2+2}{x^2-1} dx$.

Série 3 : Niveau Difficile (Riemann, Équations Intégrales et Asymptotiques)

Exercice 1 : Théorème des sommes de Riemann

En utilisant les sommes de Riemann, déterminer les limites des suites suivantes lorsque $n \to +\infty$ :

1. $U_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2+k^2}$
2. $V_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+kn}}$
3. $W_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1+\frac{k}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ (Indication : composer par la fonction $\ln$ pour transformer le produit en somme).

Exercice 2 : Intégrales de fractions rationnelles (Type Concours)

Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on pose : $J_n = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$.

1. Calculer $J_1$.
2. En intégrant $J_n$ par parties (en posant $u'(x)=1$ et $v(x)=(1+x^2)^{-n}$), montrer que : $J_n = \frac{1}{2^n} + 2n(J_n - J_{n+1})$.
3. En déduire la relation : $J_{n+1} = \frac{2n-1}{2n} J_n + \frac{1}{n 2^{n+1}}$.
4. Utiliser la relation précédente pour calculer la valeur exacte de $J_2$ puis de $J_3$.

Exercice 3 : Limites d'intégrales à paramètres

Soit la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = \int_{x}^{2x} \frac{\cos t}{t} dt$.

1. Vérifier que pour tout $x > 0$, $\int_{x}^{2x} \frac{1}{t} dt = \ln 2$.
2. Montrer que pour tout $x > 0$, on a : $\left| g(x) - \ln 2 \right| \le \int_{x}^{2x} \frac{1-\cos t}{t} dt$.
3. En utilisant l'inégalité $1-\cos t \le \frac{t^2}{2}$ (vraie pour tout $t \ge 0$), déduire que $\left| g(x) - \ln 2 \right| \le \frac{3}{4} x^2$.
4. En déduire $\lim_{x \to 0^+} g(x)$.
5. En intégrant par parties $g(x)$, montrer que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$.

Exercice 4 : Équation différentielle sous forme intégrale

1. Trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f(x) + \int_{0}^{x} f(t) dt = x^2 + 2x$.
2. (Indication : dériver l'équation par rapport à $x$ pour obtenir une équation différentielle du premier ordre, la résoudre, puis déterminer la constante à l'aide d'une valeur particulière de $x$).

Exercice 1

Déterminer les fonctions primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ dans chacun des cas suivants :

• 1) $f(x) = x^3(x^4 - 1)^2$ ; $I = \mathbb{R}$
• 2) $f(x) = \frac{x + 1}{(x^2 + 2x - 3)^2}$ ; $I = ]1; +\infty[$
• 3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} + \sqrt{x + 2}$ ; $I = [0; +\infty[$
• 4) $f(x) = \frac{x}{\sqrt[3]{x^2 + 1}}$ ; $I = \mathbb{R}$
• 5) $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$ ; $I = \left[0; \frac{\pi}{2}\right[$

Exercice 2

Déterminer une fonction primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$, puis déduire l'ensemble des fonctions primitives de $f$ sur $I$, dans chacun des cas suivants :

• 1) $f(x) = 2x^3 - 4x + 1$ ; $I = \mathbb{R}$
• 2) $f(x) = \frac{2}{x^2} - x$ ; $I = ]0; +\infty[$
• 3) $f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + x + 1}{x^5}$ ; $I = ]-\infty; 0[$
• 4) $f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}$ ; $I = ]0; +\infty[$
• 5) $f(x) = x^2 - \sqrt[3]{x}$ ; $I = [0; +\infty[$
• 6) $f(x) = \sin x \cos x$ ; $I = \mathbb{R}$
• 7) $f(x) = \tan^2 x$ ; $I = \left]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right[$

Exercice 3

Calculer les intégrales suivantes :

Exercice 4

Calculer les intégrales suivantes :

$I = \int_{-\pi}^\pi \sin(x)|\cos x| dx \quad ; \quad J = \int_0^{\pi/4} \frac{x}{\cos^2 x} dx \quad \text{et} \quad K = \int_{-2}^2 \sqrt{4 - x^2} dx$

Exercice 5

Calculer les intégrales $I$ et $J$ telles que :

$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{1 + 2\sin x} dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 + 2\sin x} dx$

(On pourra calculer la somme $I + J$)

Exercice 6

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \frac{x}{1 + x + x^2 + x^3}$

1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.

2) Déterminer les nombres réels $a, b$ et $c$ tels que :
$(\forall x \in D) ; f(x) = \frac{ax + b}{x^2 + 1} + \frac{c}{x + 1}$

3) Pour tout réel $\alpha$ de l'intervalle $[1; +\infty[$ on pose : $I(\alpha) = \int_1^\alpha f(x) dx$
a) Calculer en fonction de $\alpha$ l'intégrale $I(\alpha)$ ;
b) Déterminer : $\lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha)$

Exercice 7

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x + x^2} dx \quad \text{et} \quad I_0 = \int_0^1 \frac{1}{1 + x + x^2} dx$

Calculer $I_0$, $I_0 + I_1 + I_2$ et $I_0 + 2I_1$ en déduire la valeur de chacune des intégrales $I_1$ et $I_2$.

Exercice 8

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = e^{-x} \cdot \ln(1 + e^x)$

Soit $\alpha$ un nombre réel, on pose $I(\alpha) = \int_0^\alpha f(x) dx$

1) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

2) a) Calculer l'intégrale $\int_0^\alpha \frac{1}{1 + e^x} dx$ en fonction de $\alpha$.
b) Calculer $f(x) + f'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, en déduire $I(\alpha)$ en fonction de $\alpha$.
c) En déduire $\lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha)$

Exercice 9

On pose $I = \int_0^1 \frac{e^{-x^2}}{1 + x} dx$

1) a) Montrer que : $(\forall t \in \mathbb{R}^+) ; 1 - t \le e^{-t} \le 1 - t + \frac{t^2}{2}$
b) En déduire que : $(\forall x \in [0; 1]) ; 1 - x^2 \le e^{-x^2} \le 1$

2) a) Vérifier que : $(\forall x \in [0; 1]) ; \frac{x^4}{1 + x} = x^3 - x^2 + x - 1 + \frac{1}{1 + x}$
b) En déduire que : $\frac{1}{2} \le I \le \frac{5}{24} + \frac{\ln 2}{2}$

Exercice 10

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par :
$f(x) = \sqrt{x} - \ln(1 + x) \quad \text{et} \quad \begin{cases} g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt ; x > 0 \\ g(0) = 0 \end{cases}$

1) a) En utilisant le théorème de la moyenne, montrer que :
$(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f(x) - g(x) > 0$
b) Montrer que $g$ est continue à droite en $x_0 = 0$ et que $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 0$

2) Vérifier que : $g'(x) = \frac{f(x) - g(x)}{x}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$ ;
En déduire la monotonie de $g$.

Exercice 11

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $I_n = \int_0^1 x^n \cdot \tan x dx \quad \text{et} \quad J_n = \int_0^1 x^{n+1} \cdot (1 + \tan^2 x) dx$

1) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; I_n = \frac{1}{n + 1} \cdot \tan(1) - \frac{1}{n + 1} J_n$

2) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; 0 \le J_n \le \frac{\tan^2(1) + 1}{n + 2}$ et en déduire $\lim_{n \to +\infty} J_n$

3) Calculer $\lim_{n \to +\infty} n \cdot I_n$

Exercice 12

1) a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}^+) ; 0 \le \ln(1 + x) \le x$
b) En déduire : $\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \ln(1 + x^n) dx$

2) On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par :
$(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x^n} dx$

a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = \frac{\ln(2)}{n} - \frac{1}{n} \int_0^1 \ln(1 + x^n) dx$
b) En déduire : $\lim_{n \to +\infty} u_n$ et $\lim_{n \to +\infty} n \cdot u_n$

Exercice 13

1) a) Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $\left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ par :
$f(x) = \frac{4}{\pi}x - \tan x$
b) Montrer que : $\left(\forall x \in \left[0; \frac{\pi}{4}\right]\right) ; 0 \le \tan x \le \frac{4}{\pi}x$

2) On pose $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n(x) dx$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$
a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; 0 \le I_n \le \frac{\pi}{4(n + 1)}$
b) En déduire : $\lim_{n \to +\infty} I_n$

Exercice 14

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \frac{e^x}{1 - x}$

1) Étudier les variations de $f$.

2) Construire $(\mathscr{C})$ la courbe de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

3) On pose : $I = \int_0^{1/2} f(x) dx$
a) Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}) ; \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + \frac{x^n}{1 - x}$
b) En déduire que : $I = \sum_{k=0}^{n-1} \left(\int_0^{1/2} x^k e^x dx\right) + \int_0^{1/2} \frac{x^n e^x}{1 - x} dx$
c) Montrer que : $\left(\forall x \in \left[0; \frac{1}{2}\right]\right) ; 1 \le f(x) \le 2\sqrt{e}$
d) En déduire que :
$\sum_{k=0}^{n-1} \left(\int_0^{1/2} x^k e^x dx\right) + \frac{1}{(n + 1)2^{n+1}} \le I \le \sum_{k=0}^{n-1} \left(\int_0^{1/2} x^k e^x dx\right) + \frac{2\sqrt{e}}{(n + 1)2^{n+1}}$

Exercice 15

En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :

Exercice 16

Pour tout réel $\alpha$ de l'intervalle $]0; 1]$, on pose $I(\alpha) = \int_\alpha^1 x \cdot \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right) dx$

1) Calculer en fonction de $\alpha$ l'intégrale $I(\alpha)$

2) Calculer $\lim_{\alpha \to 0^+} I(\alpha)$

Exercice 17

En utilisant une intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes :

• $I_1 = \int_1^4 \frac{\sqrt{t}}{1 + t} dt \qquad \text{on pose } x = \sqrt{t}$
• $I_2 = \int_{-1}^0 \frac{1 + \sqrt{x + 1}}{x - 2} dx \qquad \text{on pose } t = \sqrt{x + 1}$
• $I_3 = \int_0^{\pi/4} \frac{2t}{\cos^2(t^2)} dt \qquad \text{on pose } x = t^2$
• $I_4 = \int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x}(x - 4\sqrt{x} + 5)} \qquad \text{on pose } t = \sqrt{x} - 2$

Exercice 18

1) Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale : $I = \int_0^1 \frac{x^2}{(1 + x^2)^2} dx$

2) En déduire que : $\int_0^1 \frac{1}{(1 + x^2)^2} dx = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$

Exercice 19

On considère les intégrales $I = \int_0^{\pi/3} \frac{\sin^2 x}{1 + \cos x} dx$ et $J = \int_0^{\pi/3} \cos x \cdot \ln(1 + \cos x) dx$

En utilisant une intégration par parties, exprimer $J$ en fonction de $I$ ; puis calculer $I$ et $J$.

Exercice 20

1) Montrer que : $\int_{1/x}^x \frac{\ln t}{1 + t^2} dt = 0$ (on pourra poser $u = \frac{1}{t}$)

2) Calculer l'intégrale $J = \int_{1/e}^e \frac{\ln t}{t(1 + t^2)} dt$, en déduire la valeur de l'intégrale $I = \int_{1/e}^e \frac{\ln t}{1 + t^2} dt$

Exercice 21

On considère les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\pi/2} \cos^4 x dx$ et $J = \int_0^{\pi/2} \sin^4 x dx$

1) Montrer que : $I = \int_0^{\pi/2} \cos x (\cos x - \cos x \sin^2 x) dx$

2) a) Montrer que : $I = \int_0^{\pi/2} \sin^2 x dx - \frac{1}{3} J$ et $J = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x dx - \frac{1}{3} I$
b) Montrer que : $I + J = \frac{3\pi}{4}$ et $I - J = 0$
c) En déduire les valeurs de chacune des intégrales $I$ et $J$.

Exercice 22

On considère les intégrales suivantes :
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}} dx$ ; $J = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}} dx$ et $K = \int_0^1 \sqrt{x^2 + 2} dx$

Soit $u$ la fonction numérique définie sur $[0; 1]$ par $u(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 2})$.

1) Calculer $u'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[0; 1]$, en déduire la valeur de $I$.

2) a) Vérifier que $J + 2I = K$
b) En utilisant une intégration par parties, montrer que : $K = \sqrt{3} - J$ et en déduire les valeurs de chacune des intégrales $J$ et $K$.

Exercice 23

Soit $F$ et $f$ les fonctions numériques définies sur $\mathbb{R}$ par :
$F(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ et $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

1) Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2) En utilisant une intégration par changement de variable, calculer l'intégrale :
$I = \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} dx$

3) Calculer : $J = \int_{-1}^1 \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) dx$

Exercice 24

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x) = \int_x^{2x} \frac{1}{\sqrt{1 + t^2 + t^4}} dt$

1) Montrer que $F$ est une fonction paire.

2) a) Montrer que : $(\forall t \in \mathbb{R}^+) ; \frac{1}{\sqrt{1 + t^2 + t^4}} \le \frac{1}{t^2}$, et en déduire que :
$(\forall x \in \mathbb{R}^*) ; 0 \le F(x) \le \frac{1}{2x}$
b) Calculer $\lim_{x \to +\infty} F(x)$ puis $\lim_{x \to -\infty} F(x)$.

3) Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $F'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

Exercice 25

On considère la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = n \int_1^n \frac{\sin x}{x^n} dx$

1) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}) ; u_n = \frac{n}{n - 1} \cdot \left(\sin(1) + \int_1^n \frac{\cos x}{x^{n-1}} dx\right)$

2) a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \left|\int_1^n \frac{\cos x}{x^{n-1}} dx\right| \le \int_1^n \frac{1}{x^{n-1}} dx$
b) Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \sin(1)$

Exercice 26

1) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale :
$I = \int_0^1 \frac{x^3}{\sqrt{(1 + x^2)^3}} dx$

2) Soit $(u_n)_{n \ge 1}$ la suite définie par : $u_n = \frac{1}{n} \cdot \sum_{k=1}^n \frac{k^3}{\sqrt{(n^2 + k^2)^3}}$
Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$

Exercice 27

1) Calculer l'intégrale : $I = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 + x}} dx$

2) Soit $(u_n)_{n \ge 1}$ la suite numérique définie par :
$(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = \frac{1}{n\sqrt{n}} \cdot \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{\sqrt{n + k}}$
Calculer : $\lim_{n \to +\infty} u_n$.

Exercice 1

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0; +\infty[$ par : $f(x) = \frac{(\ln x)^2}{x}$, et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$

1) a) Dresser le tableau de variations de $f$
b) Construire la courbe $(\mathscr{C})$.

2) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \int_1^e \frac{(\ln x)^n}{x^2} dx$
a) En utilisant une intégration par parties, calculer $I_1$
b) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; I_{n+1} = -\frac{2^{n+1}}{e^2} + (n+1)I_n$, et en déduire la valeur de chacune des intégrales $I_2$, $I_3$ et $I_4$.

Exercice 2

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = \int_1^e x^2(\ln x)^n dx$

1) a) Calculer $u_1$.
b) Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$, en déduire qu'elle est convergente.

2) a) Montrer que : $(\forall x \in [1, e]) ; 0 \le \ln x \le \frac{x}{e}$
b) Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$

3) a) Soit $n$ un élément de $\mathbb{N}^*$, déterminer une relation de récurrence entre $u_n$ et $u_{n+1}$
b) Vérifier que : $u_2 = \frac{5}{27}e^3 - \frac{2}{27}$
c) Calculer $\lim_{n \to +\infty} n u_n$

Exercice 3

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $I_n = \int_0^{\pi/3} \frac{1}{\cos^n x} dx$

1) Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que :
$\left(\forall x \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]\right) ; \frac{1}{\cos x} = \frac{a \cos x}{1 - \sin x} + \frac{b \cos x}{1 + \sin x}$
En déduire la valeur de l'intégrale $I_1$.

2) Calculer $I_2$.

3) a) Soit $n$ un élément de $\mathbb{N}$ tel que $n \ge 3$ ; déterminer une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n-2}$
b) En déduire la valeur de chacune des intégrales $I_3$, $I_4$ et $I_5$.

Exercice 4

1) Soit $g$ la fonction numérique de la variable $x$ définie par : $g(x) = \frac{1}{x} \cdot \ln(1 + \tan x)$
a) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $g$.
b) Calculer $\lim_{x \to 0} g(x)$ et en déduire $\lim_{x \to 0} (1 + \tan x)^{\frac{1}{x}}$

2) a) Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $[a; b]$.
Montrer que : $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a + b - x)dx$
b) En déduire la valeur de l'intégrale $I = \int_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan x)dx$

Exercice 5

1) Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[0; a]$ telle que : $a \in \mathbb{R}^+$.
Montrer que : $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a - x)dx$

2) En utilisant la question 1), calculer les intégrales suivantes :
$I = \int_0^{\pi/4} \ln(1 + \tan x)dx \quad ; \quad J = \int_0^1 \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2} dx \quad ; \quad K = \int_0^{\pi/4} \frac{x \cdot \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$
Remarque : Pour l'intégrale $J$, on pourra poser $t = \text{Arctan } x$

Exercice 6

On pose : $I_n = \int_0^{1/2} \frac{x^n}{(1 - x)^2} dx$ et $J_n = \int_0^{1/2} \frac{(1/2 - x)^n}{(1 - x)^2} dx$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.

1) a) Calculer $I_0$
b) En posant $t = 1 - x$ calculer $I_1$.

2) a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; I_n = \frac{1}{(n+1)2^{n+1}} + \frac{1}{n+1} I_{n-1}$
b) En déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; I_n = \frac{1}{(n+1)2^n}$

Exercice 7

1) a) Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}) ; \frac{2t^2}{1 - t^4} = 2(1 - t) + \frac{1}{2(1 + t)} - \frac{1}{1 + t^2}$
b) En déduire la valeur de $\alpha$ sachant que : $\alpha = \int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{2t^2}{1 - t^4} dt$

2) Soit $h$ la fonction définie sur $\left[0; \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$ par : $h(t) = \ln\left(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\right)$
a) Calculer $h'(t)$ pour $t \in \left[0; \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$.
b) En utilisant une intégration par parties ; montrer que :
$\int_0^{\sqrt{3}/3} \ln\left(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\right) dt = 2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{3} \ln 2$

3) Soit $g$ la fonction définie sur $\left[\frac{1}{2}; 1\right]$ par : $\begin{cases} g(x) = \frac{\ln(x)}{(1 + x)\sqrt{1 - x^2}} ; x \neq 1 \\ g(1) = 0 \end{cases}$
a) Montrer que $g$ est continue à gauche en 1.
b) Vérifier que : $\int_{1/2}^1 g(x) dx = \int_0^{\pi/3} \frac{\ln(\cos u)}{1 + \cos u} du$
c) Calculer en fonction de $\alpha$ l'intégrale $I = \int_{1/2}^1 g(x) dx$

Exercice 8

1) a- Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}) ; \frac{t^2}{t + 1} = t - 1 + \frac{1}{t + 1}$
b- Calculer l'intégrale : $I = \int_1^2 \frac{t^2}{t + 1} dt$

2) Calculer l'intégrale : $J = \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x^2 + 1} dx$, (poser : $t = \sqrt{x^2 + 1}$).

Exercice 9

On pose : $I = \int_0^{\pi/4} \frac{1}{\cos^4 x + \sin^4 x} dx$

1) Soit $x$ un élément de $\left[0; \frac{\pi}{8}\right]$ ; montrer que :
$\frac{1}{\cos^4 x + \sin^4 x} = \frac{1}{\cos^2(2x)} \left(\frac{1}{1 + \frac{1}{2}\tan^2(2x)}\right)$

2) En posant $t = \tan(2x)$, Calculer l'intégrale $I$.

Exercice 10

1) On pose : $I = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x}{\cos^3 x + \sin^3 x} dx$
a- Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; \cos^3 x + \sin^3 x - 1 = 2\cos^2(x)(\cos x - 1)$
b- Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1; 1\}) ; \frac{1}{t^2(t - 1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t^2}\right)$
c- En posant : $t = \cos x$, calculer l'intégrale $I$.

2) On pose : $J = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x \cos x}{1 + \cos^2(2x)} dx$
a- En posant : $t = \cos(2x)$. Montrer que : $J = \frac{1}{8}\int_{-1}^1 \frac{1 - t}{1 + t^2} dt$
b- En déduire que : $J = \frac{\pi}{16}$.

Exercice 11

1) En posant $t = \frac{1}{x}$, calculer $I = \int_{1/2}^2 \frac{dx}{x\sqrt{1 + x^2}}$

2) En posant $t = \sqrt{e^x - 1}$ calculer l'intégrale $J = \int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{dx}{\sqrt{e^x - 1}}$

3) On considère l'intégrale : $K = \int_1^4 \frac{1}{x\sqrt{1 + x}} dx$
a- Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que : $\frac{t}{t^2 - 1} = \frac{a}{t - 1} + \frac{bt + c}{t^2 + t + 1}$ pour tout $t \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$
b- En déduire que : $\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{t - 1}\right) - \frac{1}{6}\left(\frac{2t + 1}{t^2 + t + 1}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t^2 + t + 1}\right)$
c- Déterminer une primitive de la fonction $u : t \mapsto \frac{1}{t^2 + t + 1}$
d- En posant $t = \sqrt{1 + x}$, calculer l'intégrale $K$.

Exercice 12

1) a- Vérifier que : $(\forall t \in [0; +\infty[) ; \frac{t^4 - t^3}{1 + t} = t^3 - 2t^2 + 2t - 2 + \frac{2}{1 + t}$
b) En posant $t = \sqrt{x + 1}$, calculer l'intégrale : $I = \int_{-1}^0 \frac{x\sqrt{x + 1}}{1 + \sqrt{x + 1}} dx$

2) a- Vérifier que : $(\forall t \in ]0; +\infty[) ; \frac{t^2 + 2t + 2}{t(t + 1)} = 1 + \frac{2}{t} - \frac{1}{t + 1}$
b) En posant $t = \sqrt{x^2 + 2x + 2} + x$,
calculer l'intégrale $J = \int_0^1 \frac{x + 1 + \sqrt{x^2 + 2x + 2}}{x + \sqrt{x^2 + 2x + 2}} dx$

Exercice 13

Soit $n$ un élément de $\mathbb{N}^*$
On considère la fonction numérique $f$ définie par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{\sin(2n + 1)x}{2\sin x} ; x \neq 0 \\ f(0) = \frac{2n + 1}{2} \end{cases}$

1) a- Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$
b- Montrer que $f$ est continue au point $x_0 = 0$

2) a- Montrer que $f$ admet une fonction primitive sur l'intervalle $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$
b- Montrer que : $(\forall x \in D) ; f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos(2kx)$
c- Montrer que : $\int_0^{\pi/2} f(x)dx = \frac{\pi}{4}$

Exercice 14

1) Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues sur l'intervalle $[a; b]$ ($a < b$).
Montrer que : $\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2 \le \left(\int_a^b (f(x))^2 dx\right) \cdot \left(\int_a^b (g(x))^2 dx\right)$

2) Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues et positives sur l'intervalle $[0; 1]$ telles que : $f(x)g(x) \ge 1$.
Montrer que : $\left(\int_0^1 f(x)dx\right) \cdot \left(\int_0^1 g(x)dx\right) \ge 1$

3) Montrer que : $\int_0^1 \frac{1}{\cos x} dx \le \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

Exercice 15

Soit $F$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*_+$ par : $F(x) = \int_{2x}^{3x} \frac{1 - e^{-t}}{t^2} dt$

1) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}^*_+) ; F(x) = \left[\frac{e^{-t} - 1}{t}\right]_{2x}^{3x} - \int_{2x}^{3x} \frac{e^{-t}}{t} dt$

2) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}^*_+) ; e^{-3x}\int_{2x}^{3x} \frac{dt}{t} \le \int_{2x}^{3x} \frac{e^{-t}}{t} dt \le e^{-2x}\int_{2x}^{3x} \frac{dt}{t}$

3) En déduire $\lim_{x \to 0^+} F(x)$

Exercice 16

Pour tout élément $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $I_n = \int_0^{\pi/4} x^n \cdot \tan x dx$
et $J_n = \int_0^{\pi/4} x^{n+1} \cdot (1 + \tan^2 x) dx$

1) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; I_n = \frac{1}{n+1} \left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1} \tan(1) - \frac{1}{n+1} J_n$
Note: D'après l'image, il y a une erreur dans l'énoncé original, car $\tan(\pi/4) = 1$. L'expression correcte est $I_n = \frac{1}{n+1}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n+1} - \frac{1}{n+1}J_n$

2) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; 0 \le J_n \le \frac{1 + \tan^2(1)}{n + 2}$, et en déduire $\lim_{n \to +\infty} J_n$

3) Calculer $\lim_{n \to +\infty} n \cdot I_n$.

Exercice 17

Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{x + n} dx$ et $J_n = \int_0^{\pi/2} \frac{n \cdot \sin x}{x + n} dx$

1) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; 0 \le I_n \le \frac{1}{n} \cdot \int_0^{\pi/2} \sin x dx$, en déduire : $\lim_{n \to +\infty} I_n$

2) Soit $n$ un élément de $\mathbb{N}^*$.
a) Vérifier que : $\left|\int_0^{\pi/2} \frac{n \cdot \sin x}{x + n} dx - \int_0^{\pi/2} \sin x dx\right| = \int_0^{\pi/2} \frac{x \cdot \sin x}{x + n} dx$
b) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \int_0^{\pi/2} \frac{x \cdot \sin x}{x + n} dx \le \frac{\pi^2}{8n}$

3) Calculer $\lim_{n \to +\infty} J_n$.

Exercice 18

Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul, et soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}^+$.

Montrer que : $\int_0^a f(x)\left(\int_0^x f(t)dt\right)^n dx = \frac{1}{n+1}\left(\int_0^a f(x)dx\right)^{n+1}$

Exercice 19

Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $[a; b]$ qui admet une fonction réciproque $g^{-1}$ sur $[a; b]$.

Pour tout $x$ de $[a; b]$ on pose : $G(x) = \int_{g(a)}^x g^{-1}(t) dt + x g^{-1}(x)$
et $F(x) = \int_a^{g^{-1}(x)} g(t) dt$

1) Montrer que $F$ et $G$ sont dérivables sur $[a; b]$, et calculer $F'(x)$ et $G'(x)$ pour tout $x$ de $[a; b]$.

2) En déduire que : $\int_{g(a)}^{g(b)} g^{-1}(t) dt = b g(b) - a g(a) - \int_a^b g(t) dt$

Exercice 20

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels de $\mathbb{R}$ tels que $a < b$
On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[a; b]$ et vérifiant :
i) $f$ est dérivable sur $[a; b]$ ; ii) $f'$ est continue sur $[a; b]$ ;
iii) $(\forall x \in [a; b]) ; 0 \le f'(x) \le 1$ et $f(a) = 0$

1) Soit la fonction : $\Psi : [a; b] \to \mathbb{R}$ définie par $\Psi(x) = f^2(x) - 2\left(\int_a^x f(t) dt\right)$
a) Montrer que la fonction $\Psi$ est dérivable sur l'intervalle $[a; b]$.
b) Calculer $\Psi'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[a; b]$.
c) Montrer que la fonction $\Psi$ est décroissante sur $[a; b]$, en déduire que : $\Psi(x) \le 0$ pour tout $x$ de $[a; b]$.

2) Soit $\varphi$ la fonction définie de $[a; b]$ sur $\mathbb{R}$ par :
$\varphi(x) = \int_a^x f^3(t) dt - \left(\int_a^x f(t) dt\right)^2$
a) Montrer que la fonction $\varphi$ est dérivable sur l'intervalle $[a; b]$.
b) Montrer que : $(\forall x \in [a; b]) ; \varphi'(x) = f(x) \cdot \Psi(x)$
c) En déduire que : $\int_a^b f^3(x) dx \le \left(\int_a^b f(x) dx\right)^2$.

Exercice 21

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]0; +\infty[$ par : $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$

1) a- Soit $F$ la fonction numérique définie sur $]0; +\infty[$ par : $F(x) = -\frac{1 + \ln x}{x}$
Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$.
b- Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge 2$, on pose : $I_n = \int_1^n f(t) dt$ ;
Calculer l'intégrale $I_n$, en déduire que : $I_n \le \frac{1 + \ln 2}{2}$
c- Montrer que $f$ est décroissante sur $[2; +\infty[$

2) On considère la suite numérique $(S_n)_{n \ge 2}$ définie par :
$(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}) ; S_n = \frac{\ln 2}{2^2} + \frac{\ln 3}{3^2} + \dots + \frac{\ln n}{n^2}$
a- Montrer que la suite $(S_n)_{n \ge 2}$ est strictement croissante ;
b- Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge 2$
Montrer que : $\frac{\ln(n + 1)}{(n + 1)^2} \le \int_n^{n+1} f(t) dt$, en déduire que : $S_n \le \frac{\ln 2}{2^2} + \frac{\ln 2}{2} + \frac{1}{2}$
c- Montrer que $(S_n)_{n \ge 2}$ est convergente.

Exercice 22

I- On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$
Soit $(C)$ la courbe de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$

1- Déterminer $D$ l'ensemble de définition de $f$, puis étudier la parité de $f$.
2- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de $+\infty$ de la courbe $(C)$.
3- Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
4-a) Etudier la concavité de $(C)$.
b) Donner l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse 0.
c) Tracer $(C)$.
5- Calculer l'aire de la partie $(\Delta)$ limitée par la courbe $(C)$ et les droites d'équations $x = -1$ ; $x = 1$ et $y = 0$

II- On considère la suite $(I_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{\sqrt{1 + x^2}} dx$

1- Montrer que la suite $(I_n)$ est convergente et calculer sa limite.
2- Déterminer une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_{n-1}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$.
3-a) Calculer $I_0 ; I_1 \text{ et } I_2$.
b) En déduire la valeur de l'intégrale : $K = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{u}{\sqrt{u^2 - 2u + 2}} du$

Exercice 23

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t^2} dt$

1- a) Calculer $u_0$.
b) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{2n} + u_{2n+2} = \frac{1}{2n + 1}$
c) Calculer $u_2, u_4 \text{ et } u_6$.

2- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; 0 \le u_n \le \frac{1}{1 + 2n}$, puis déduire $\lim_{n \to +\infty} u_n$.

3- On considère la suite $(v_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; v_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k - 1}$
a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; v_n = u_0 + (-1)^{n-1} \cdot u_{2n}$
b) En déduire $\lim_{n \to +\infty} v_n$.

Exercice 24

On considère la fonction $F$ de la variable réelle $x$ définie par :
$F(x) = \int_x^{2x} \frac{\ln t}{2t - 1} dt$

1) Montrer que $F$ est définie sur : $D = \left]0; \frac{1}{2}\right[ \cup \left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$

2) Montrer que $F$ est dérivable en tout point de $D$, puis calculer $F'(x)$ pour tout $x$ de $D$.

3) a- Soit $x$ un élément de $\left]\frac{1}{2}; +\infty\right[$
Montrer que : $(\exists c \in [x; 2x]) ; F(x) = \frac{3x\ln c}{2c - 1}$
b) En déduire que : $\lim_{x \to +\infty} F(x) = +\infty$

4) Soit $x$ un élément de l'intervalle $\left]0; \frac{1}{16}\right[$
Montrer que : $F(x) \le \int_x^{2x} -2\ln(t) dt$, en déduire : $\lim_{x \to 0^+} F(x)$.

Exercice 25

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant :
$(\forall x \in \mathbb{R}) ; f'(x) - f(x) = 2\int_0^x f(t) dt \text{ et } f(0) = f'(0) = 1$

1) a- Montrer que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
b- Montrer que $f$ est solution de l'équation : $(E) : y'' - y' - 2y = 0$

2) a- Résoudre l'équation différentielle $(E)$ ;

Exercice 26

Soit $n$ un élément de $\mathbb{N}^*$; on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par :
$f_n(x) = \frac{x^n \cdot e^{-x}}{n!}$

1) Pour tout réel $a$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $I_n(a) = \int_0^a f_n(t) dt$.
a- Calculer $I_1(a)$ en fonction de $a$ ;
b- Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$ et pour tout $t$ de $\mathbb{R}^+$ ; on a :
$0 \le f_n(t) \le \frac{t^n}{n!}$
c- Déduire un encadrement du nombre $I_n(a)$ en fonction de $n$ et $a$.

2) Montrer que pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on a $f_n$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[n; +\infty[$.

3) a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{n!} < \left(\frac{e}{n}\right)^n$
b- En déduire que : $\lim_{n \to +\infty} I_n(a) = 0$

Exercice 27

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f(x) = \frac{x}{e^x - x}$
et $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) a- Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; e^x > x$
b- En déduire l'ensemble de définition de $f$.
c- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

2) a- Montrer que le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ est le signe de $1 - x$ ; puis dresser le tableau de variations de $f$.
b- Tracer $(C)$. (on admet que $(C)$ admet deux points d'inflexion d'abscisses $0$ et $\alpha$ tels que $\frac{3}{2} < \alpha < 2$).

3) On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x) = \int_0^x e^t f(t) dt$
a- Déterminer le sens de variation de $F$.
b- Montrer que pour tout $t$ de $\mathbb{R}^+$ ; on a : $\frac{t}{e^t - t} \ge \frac{t}{e^t}$
c- En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^+) ; F(x) \ge \frac{x^2}{2}$, puis calculer : $\lim_{x \to +\infty} F(x)$

Énoncé

Soit $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue.

Montrer que $f$ est dérivable et :