Ce contenu est en cours de préparation et sera ajouté par notre équipe pédagogique très prochainement.
| $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$ | $e^x \cdot e^y = e^{x+y}$ | $\frac{e^x}{e^y} = e^{x-y}$ |
| $\forall n \in \mathbb{Q}$ | $(e^x)^n = e^{nx}$ | $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ |
| $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ | $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+$ | $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \quad (\forall n \in \mathbb{N})$ |
| $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | |
On a : $\ln$ dérivable et strictement croissante sur $]0, +\infty[$ de plus $\ln'(x) \neq 0$.
Donc $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\forall x \in \mathbb{R} : \quad (e^x)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{\ln'(e^x)} = \frac{1}{\frac{1}{e^x}} = e^x$
Proposition 1 : $x \mapsto e^x$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\forall x \in \mathbb{R} : (e^x)' = e^x$
Proposition 2 : Si $u$ est une fonction dérivable sur $I$ alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et :
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt[3]{1+2x} \cdot e^{\frac{x^2+4x+3}{x-1}}}{(x^3-4x-1)^{10}}$
En passant au $\ln$ :
$= \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\sqrt[3]{1+2x}\right) + \frac{x^2+4x+3}{x-1} - 10\ln(x^3-4x-1)$
$= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3}\ln x + \frac{1}{3}\ln(2+\frac{1}{x}) - 10\ln(x^3(1-\frac{4}{x^2}-\frac{1}{x^3})) + \frac{x^2+4x+3}{x-1}$
$= \dots = +\infty$
Donc $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Calcul de $S = \sum_{k=2}^n \ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right)$ :
$S = \sum_{k=2}^n \ln\left(\frac{k^2-1}{k^2}\right) = \sum_{k=2}^n \left[\ln(k-1) + \ln(k+1) - 2\ln k\right]$
Par télescopage, on obtient :
$S = \ln\left(\frac{n+1}{2n}\right)$
Donc le produit associé $\prod_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) = e^{\ln\left(\frac{n+1}{2n}\right)} = \frac{n+1}{2n}$.
1) Définition
La fonction réciproque de la fonction \(\ln\) s'appelle la fonction exponentielle népérienne et on la note \(\exp\).
Définition
La fonction \( x \mapsto e^{x\ln a} \) s'appelle la fonction exponentielle de base \(a\), notée \(\exp_a\). On note aussi \( a^x = e^{x\ln a} \).
Dans le plan rapporté au repère orthonormé \((O; \vec{i}; \vec{j})\), la courbe de la fonction exponentielle est le symétrique de la courbe de la fonction \(\ln\) par rapport à la droite d'équation \(y = x\).
Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes :
| 1) $e^{3x} = 4e^x$ | 2) $\frac{e^x}{e^{-x}-3} = 4$ | 3) $\frac{5e^x}{3-10e^x} = 2$ |
| 4) $e^{2x+1} - 2e^{x+1} = 3e$ | 5) $\ln(e^{2x} - 2e^x + 1) = 3$ | 6) $\ln(2e^x - 3) = x$ |
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants :
| 1) $\begin{cases} e^x - \frac{1}{2}e^y = 1 \\ 2e^x + e^y = 4 + e \end{cases}$ | 2) $\begin{cases} e^{4x} \cdot e^y = e^{-2} \\ xy = -2 \end{cases}$ |
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
| 1) $e^{1-x} - 2 < 0$ | 2) $\frac{2e^x+1}{e^{x-3}-1} > 0$ | 3) $(2e^x - 1)(e^x - 2) \le 0$ |
| 4) $e^{x+2} > \frac{3}{e^x}$ | 5) $\frac{e^{2x-1}}{e^{5x}} < 5$ | 6) $\frac{e^x - 1}{e^{2x} + 1} < \frac{e^x - 2}{e^x + 2}$ |
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
Résoudre et discuter dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(m + 1)2^x + (m - 1) \cdot 2^{-x} = 0$ où $m$ est un paramètre réel
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
| 1) $1 + \left(\frac{1}{3}\right)^x > 5$ | 2) $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 \ge 0$ |
| 3) $2^{2x-1} - 3^{x+2} + 4^{x+\frac{1}{2}} + 9^{\frac{x}{2}} < 0$ | 4) $5^{\cos x} + 5^{\cos(\pi - x) + 1} \le 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ |
Résolvons l'équation : $(m + 1)2^x + (m - 1) \cdot 2^{-x} = 0$ où $m \in \mathbb{R}$
L'équation est définie sur $\mathbb{R}$
Soit $x \in \mathbb{R}$ ; on a : $2^{-x} \neq 0$
Donc : $(m + 1)2^x + (m - 1)2^{-x} = 0 \iff 2^{-x}((m + 1) \times 2^{2x} + (m - 1)) = 0$
$\iff (m + 1)2^{2x} + (m - 1) = 0$
$\iff (m + 1)2^{2x} = 1 - m$
On a les cas suivants :
• Si $m = -1$ alors : $0 \cdot (2^x)^2 = 2$ ; d'où $0 = 2$ impossible
ainsi $S = \emptyset$
• Si $m \neq -1$ alors $2^{2x} = \frac{1 - m}{m + 1}$
Cette équation admet dans $\mathbb{R}$ des solutions si $\frac{1 - m}{1 + m} > 0$
c'est-à-dire si : $-1 < m < 1$
Donc :
$>$ si $m \in ]-\infty; -1] \cup [1; +\infty[$ ; alors : $S = \emptyset$
$>$ si $m \in ]-1; 1[$ ; on a : $(2^x)^2 = \frac{1 - m}{1 + m} \iff 2^x = \sqrt{\frac{1 - m}{1 + m}}$
$\iff x = \log_2\left(\sqrt{\frac{1 - m}{1 + m}}\right)$
alors : $S = \left\{\log_2\left(\sqrt{\frac{1 - m}{1 + m}}\right)\right\}$
Calculer les limites suivantes :[cite: 1]
| 1) $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{x}$[cite: 1] | 2) $\lim_{x\to+\infty}x^3-e^{2x+1}$[cite: 1] | 3) $\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^x-1}{x^2+x}$[cite: 1] |
| 4) $\lim_{x\to+\infty}\frac{4e^{3x}}{x^2-2x+8}$[cite: 1] | 5) $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2-x}}{2x+1}$[cite: 1] | 6) $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x-1}}{x^2+1}$[cite: 1] |
| 7) $\lim_{x\to-\infty}x^2e^{3x}$[cite: 1] | 8) $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x-x}{2e^x+3}$[cite: 1] | 9) $\lim_{x\to-\infty}(4x^2-1)e^{3x}$[cite: 1] |
Calculer les limites suivantes :[cite: 1]
| 1) $\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-e^{2x}}{x}$[cite: 1] | 2) $\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}$[cite: 1] | 3) $\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{2x^2}$[cite: 1] |
| 4) $\lim_{x\to+\infty}(x^2-1)(e^{\frac{1}{x-1}}-1)$[cite: 1] | 5) $\lim_{x\to(\ln 2)^+}\frac{2e^x+1}{e^x-2}$[cite: 1] | 6) $\lim_{x\to1^+}(x-1)e^{\frac{-1}{x-1}}$[cite: 1] |
| 7) $\lim_{x\to+\infty}\ln(e^x-1)-x$[cite: 1] | 8) $\lim_{|x|\to+\infty}x-\ln|2e^x-1|$[cite: 1] | 9) $\lim_{|x|\to+\infty}\frac{e^{2x}-3e^x+4}{2e^x-3}$[cite: 1] |
Calculer les limites suivantes :
| 1) $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{1}{2+2^{\tan x}}$ | 2) $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\frac{1}{2+2^{\tan x}}$ | 3) $\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ |
| 4) $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x}{x-m}\right)^x$ avec $m>0$ | 5) $\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\tan 4x}}$ | 6) $\lim_{x\to1^+}\frac{x^x-x}{\ln(1+\sqrt{x^2-1})}$ |
| 7) $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln x}{\ln(x+1)}\right)^{x\ln x}$ | 8) $\lim_{x\to1}\frac{e^{x^2+x}-e^{2x}}{\cos(\frac{\pi}{2}x)}$ |
Étudier la dérivabilité de $f$, puis calculer sa dérivée dans chaque cas :
| 1) $f(x)=(x+1)e^{-x}$ | 2) $f(x)=x+2-\frac{4e^x}{e^x+3}$ |
| 3) $f(x)=e^{\frac{x-1}{x+2}}$ | 4) $f(x)=(2x+1)e^{\frac{1}{x}}$ |
| 5) $f(x)=\ln(|e^x-1|)+x$ | 6) $f(x)=xe^{\frac{2x}{x^2-1}}$ |
| 7) $f(x)=\ln(e^x-e^{\frac{1}{x}})$ | 8) $f(x)=\sqrt{e^{2x}-e^x}$ |
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=1-x+\frac{x^2}{2}-e^{-x}$
Aucun test interactif pour le moment.
