Ce contenu est en cours de préparation et sera ajouté par notre équipe pédagogique très prochainement.
| $x$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ | ||
| $\ln(x)$ | || | $-$ | $0$ | $+$ |
Pour tous réels $(x, y) \in ]0, +\infty[^2$ et $\forall n \in \mathbb{N}$ :
| $\ln(xy)$ | $= \ln(x) + \ln(y)$ |
| $\ln(x^n)$ | $= n \ln(x)$ |
| $\ln\left(\frac{1}{x}\right)$ | $= -\ln(x)$ |
| $\ln\left(\frac{x}{y}\right)$ | $= \ln(x) - \ln(y)$ |
Proposition : Si $u$ est dérivable sur $I$ et $u(x) > 0, \forall x \in I$, alors $\ln(u)$ est dérivable comme fonction composée et :
Exemples :
| $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ | $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$ | $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \quad (n \in \mathbb{N}^*)$ |
| $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x - 1} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1$ |
$\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$. Donc $\ln$ est une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$.
Or $1 \in \mathbb{R}$, donc il existe un unique réel $\alpha \in ]0, +\infty[$ tel que $\ln(\alpha) = 1$.
On a $\ln(2) \approx 0,7$ et $\ln(3) \approx 1,1$. Donc $\ln(2) < \ln(\alpha) < \ln(3) \implies 2 < \alpha < 3$.
Ce nombre est noté $e$ (avec $e \approx 2,718...$ et $e \notin \mathbb{Q}$). On a donc $\ln(e) = 1$.
Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $a \neq 1$.
La fonction définie sur $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$ qui à $x \mapsto \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ s'appelle fonction logarithme de base $a$ et se note $\log_a$.
Exemples :
- Si $a = e$, $\log_e(x) = \frac{\ln x}{\ln e} = \ln(x)$.
- Si $a = 10$, $\log_{10}(x) = \frac{\ln x}{\ln 10}$. On la note $\log(x)$ et s'appelle le logarithme décimal.
Les propriétés algébriques sont identiques à celles du logarithme népérien ($\ln$) :
$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y) \quad | \quad \log_a(x^r) = r \log_a(x) \quad | \quad \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$
| Limites et Dérivée | Si $a > 1$ | Si $0 < a < 1$ |
|---|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} \log_a(x)$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim_{x \to 0^+} \log_a(x)$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
| Dérivée : $(\log_a(x))'$ | $= \frac{1}{x \ln(a)}$ | |
| Monotonie | Strictement croissante | Strictement décroissante |
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
| 1) $\ln(x^2) = 16$ | 5) $\ln(4x + 2) - \ln(x - 1) = 2 \ln(x)$ |
| 2) $(\ln(x))^2 = 16$ | 6) $(\ln(x))^2 - \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 2$ |
| 3) $\ln(x^2 - 4) - \ln(1 - 4x) = 0$ | 7) $\ln(10 - x^2) = 2 \ln(3) - \ln(x^2)$ |
| 4) $\ln(x - 2) + \ln(4 - x) = \ln(2x - 5)$ | |
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
| 1) $\ln x < 3 \ln(2) - \ln(3)$ | 4) $(1 - \ln(x))(3 + \ln(x)) \ge 0$ |
| 2) $\ln(x^2 - 1) < 0$ | 5) $\frac{2 + \ln(x)}{2\ln(x) - 1} < 0$ |
| 3) $\ln(\ln(x)) > 0$ | 6) $\ln(x + 6) > 2 \ln x$ |
Résolvons dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants :
| 1) $\begin{cases} \ln(x) - \ln(y) = 2 \\ 2 \ln(x) - 3 \ln(y) = 5 \end{cases}$ | 3) $\begin{cases} (\ln(x)) \cdot (\ln(y)) = -15 \\ \ln(xy) = -2 \end{cases}$ |
| 2) $\begin{cases} \ln(x^2 \cdot y^3) = -4 \\ \ln\left(\frac{x^3}{y^4}\right) = 11 \end{cases}$ | 4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ \ln(x) + \ln(y) = \ln(3) \end{cases}$ |
Soit $a$ et $b$ deux réels tels que : $a > 1$ et $0 \le b < a$
Montrer que : $(\ln(a - b)) \cdot (\ln(a + b)) \le (\ln(a))^2$
Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$, dans chacun des cas suivants :
| 1) $f(x) = \ln|x - 1| + \ln(x)$ | 4) $f(x) = \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x - 2}$ |
| 2) $f(x) = x \ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$ | 5) $f(x) = \frac{1}{2} \ln\left(x - \frac{1}{x}\right)$ |
| 3) $f(x) = \frac{\ln(x)}{1 - \ln(x)}$ | 6) $f(x) = \ln(k^2 - 2k\cos(x) + 1)$ où $k \in \mathbb{R}$ |
Calculer les limites suivantes :
| 1) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x)}{x^3}$ | 6) $\lim_{x \to 0^+} x^3 \ln^2(x)$ |
| 2) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x)}{\sqrt{x}}$ | 7) $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} \cdot \ln^2(x)$ |
| 3) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + x)}{x^2}$ | 8) $\lim_{x \to 0^+} x \cdot \sqrt{|\ln x|}$ |
| 4) $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(x^2 - x + 1)}{2x + 1}$ | 9) $\lim_{x \to -1^+} \left(\frac{2x}{x - 1} + \ln(x + 1)\right)$ |
| 5) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 2)}{\ln(2x + 1)}$ | 10) $\lim_{x \to 2^+} (x - 2)\ln(x^2 - 2x)$ |
Calculer les limites suivantes :
| 1) $\lim_{|x| \to +\infty} \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)$ | 6) $\lim_{x \to -\infty} x\ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$ |
| 2) $\lim_{x \to 1^+} \ln\left(\frac{x}{x - 1}\right)$ | 7) $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\ln\left(\frac{x}{3}\right)}$ |
| 3) $\lim_{x \to +\infty} 2x^2 - x - \ln(x + 1)$ | 8) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\ln(\cos x)$ |
| 4) $\lim_{x \to +\infty} 3x - \ln(x^2 + 1)$ | 9) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x) - \ln(x)}{1 + 2\ln(x)}$ |
| 5) $\lim_{x \to +\infty} x\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right)$ | 10) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 1})}{2x}$ |
Déterminer dans chacun des cas suivants, la fonction dérivée de la fonction $f$ :
| 1) $f(x) = \frac{x}{\ln(x)}$ | 5) $f(x) = x^2 \cdot \sqrt{\ln x}$ |
| 2) $f(x) = \frac{x\ln x}{x - 1}$ | 6) $f(x) = \sqrt{1 - \ln(x - 1)}$ |
| 3) $f(x) = x \cdot \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$ | 7) $f(x) = x\ln(x) - (1 - x)\ln(1 - x)$ |
| 4) $f(x) = x\left(1 - \frac{1}{\ln(x)}\right)^2$ | 8) $f(x) = \ln(x - 1 + \sqrt{x^2 - 2x + 2})$ |
Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \ln(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x})$
1) Déterminer $D$ l'ensemble le définition de la fonction $f$
2) étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $-1$ et à gauche en $1$
3) Calculer $f'(x)$ pour tout élément $x$ de $D \setminus \{1 ; -1\}$
Soit $u$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]-1 ; +\infty[$ par $u(x) = x - \ln(x + 1)$
1) Dresser le tableau de variations de la fonction $u$.
2) En déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f(x) = \ln\left|1 - \frac{1}{x}\right|$
et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b- Déterminer les limites aux bornes des intervalles de $D$
2) a- Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
b- Montrer que le point $A\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathscr{C})$.
3) Construire $(\mathscr{C})$.
Soit $D$ l'ensemble de définition de l'équation proposée, et $S$ son ensemble de solutions.
1) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x^2) = 16$
On a : $D = \{x \in \mathbb{R} / x^2 \neq 0\} = \mathbb{R}^*$
Soit $x$ un élément de $\mathbb{R}^*$
On a : $\ln(x^2) = 16 \iff 2\ln|x| = 16$
$\iff \ln|x| = 8$
$\iff |x| = e^8$
$\iff x = e^8$ ou $x = -e^8$
Donc : $S = \{e^8; -e^8\}$
2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(\ln(x))^2 = 16$
On a : $D = \{x \in \mathbb{R} ; x > 0\} = ]0; +\infty[$
Soit $x \in ]0; +\infty[$ :
On a : $(\ln(x))^2 = 16 \iff \ln(x) = 4$ ou $\ln x = -4$
$\iff x = e^4$ ou $x = e^{-4}$
Donc : $S = \{e^4; e^{-4}\}$
3) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x^2 - 4) - \ln(1 - 4x) = 0$
Déterminons $D$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ :
On a : $x \in D \iff x^2 - 4 > 0$ et $1 - 4x > 0$
$\iff x \in (]-\infty; -2[ \cup ]2; +\infty[)$ et $x < \frac{1}{4}$
Donc : $D = ]-\infty; -2[$
Soit $x \in ]-\infty; -2[$ :
On a : $\ln(x^2 - 4) - \ln(1 - 4x) = 0 \iff \ln(x^2 - 4) = \ln(1 - 4x)$
$\iff x^2 - 4 = 1 - 4x$ (car $\ln$ est une application bijective de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$)
$\iff x^2 + 4x - 5 = 0$
et on a : $1$ et $-5$ sont les solutions de l'équation $x^2 + 4x - 5 = 0$ dans $\mathbb{R}$
et puisque : $1 \notin D$ et $-5 \in D$, alors : $S = \{-5\}$
4) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x - 2) + \ln(4 - x) = \ln(2x - 5)$
Déterminons $D$.
Soit $x \in \mathbb{R}$ :
On a : $x \in D \iff x - 2 > 0$ et $4 - x > 0$ et $2x - 5 > 0$
$\iff x > 2$ et $x > \frac{5}{2}$ et $x < 4$
$\iff x \in \left]\frac{5}{2}; 4\right[$
Donc : $D = \left]\frac{5}{2}; 4\right[$.
Soit $x \in \left]\frac{5}{2}; 4\right[$ :
On a : $\ln(x - 2) + \ln(4 - x) = \ln(2x - 5) \iff \ln((x - 2)(4 - x)) = \ln(2x - 5)$
$\iff (x - 2)(4 - x) = (2x - 5)$ (car $\ln$ est une bijection de $]0; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$).
Donc : $x^2 - 4x + 3 = 0$.
et on a : 1 et 3 sont les solutions de l'équation $x^2 - 4x + 3 = 0$ dans $\mathbb{R}$
et puisque : $1 \notin D$ et $3 \in D$ alors : $S = \{3\}$.
5) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(4x + 2) - \ln(x - 1) = 2 \ln x$
Déterminons $D$.
Soit $x \in \mathbb{R}$
On a : $x \in D \iff 4x + 2 > 0$ et $x - 1 > 0$ et $x > 0$
$\iff x > -\frac{1}{2}$ et $x > 1$ et $x > 0$
$\iff x > 1$
Donc : $D = ]1; +\infty[$
Soit $x \in ]1; +\infty[$, l'équation proposée est équivalente à l'équation :
$\ln\left(\frac{4x + 2}{x - 1}\right) = \ln(x^2)$, donc : $x^2 = \frac{4x + 2}{x - 1}$, c'est-à-dire : $x^3 - x^2 - 4x - 2 = 0$
On remarque que $-1$ est une racine du polynôme $x^3 - x^2 - 4x - 2$ :
et on a : $x^3 - x^2 - 4x - 2 = (x + 1)(x^2 - 2x - 2)$
les solutions de l'équation $x^2 - 2x - 2 = 0$ sont $1 - \sqrt{3}$ et $1 + \sqrt{3}$.
et puisque $1 + \sqrt{3} \in D$, $1 - \sqrt{3} \notin D$ et $-1 \notin D$, alors $S = \{1 + \sqrt{3}\}$.
6) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $(E) : (\ln(x))^2 - \ln\left(\frac{1}{x}\right) = 2$
On a : $D = ]0; +\infty[$,
soit $x \in ]0; +\infty[$. L'équation $(E)$ s'écrit $(\ln(x))^2 + \ln(x) - 2 = 0$
Posons $X = \ln(x)$
$(E)$ devient $X^2 + X - 2 = 0$, donc $X = 1$ ou $X = -2$
c'est-à-dire $\ln x = 1$ ou $\ln(x) = -2$ donc : $S = \{e; e^{-2}\}$
7) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(10 - x^2) = 2 \ln(3) - \ln(x^2)$
Déterminons $D$.
Soit $x \in \mathbb{R}$,
On a : $x \in D \iff 10 - x^2 > 0$ et $x^2 > 0$
$\iff |x| < \sqrt{10}$ et $x \neq 0$
$\iff x \in ]-\sqrt{10}; 0[ \cup ]0; \sqrt{10}[$
Donc : $D = ]-\sqrt{10}; 0[ \cup ]0; \sqrt{10}[$
Soit $x \in D$
On a : $\ln(10 - x^2) = 2 \ln(3) - \ln(x^2) \iff \ln(10 - x^2) + \ln(x^2) = \ln(9)$
$\iff \ln(x^2(10 - x^2)) = \ln(9)$
$\iff x^2(10 - x^2) = 9$
$\iff x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
$\iff (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 0$
$\iff x^2 = 1$ ou $x^2 = 9$
$\iff x \in \{-1, 1, 3, -3\}$
Donc : $S = \{-3, -1, 1, 3\}$
Dans tous ce qui suit $D$ est l'ensemble de définition de l'inéquation proposée et $S$ son ensemble de solutions.
1) Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'inéquation : $\ln(x) < 3 \ln(2) - \ln(3)$
On a : $D = ]0; +\infty[$
Soit $x \in D$, on a : $\ln(x) < 3 \ln(2) - \ln(3) \iff \ln(x) < \ln\left(\frac{8}{3}\right)$
$\iff x < \frac{8}{3}$
Donc : $S = \left]0; \frac{8}{3}\right[$
2) Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'inéquation : $\ln(x^2 - 1) < 0$
On a : $D = \{x \in \mathbb{R} / x^2 - 1 > 0\} = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$
Soit $x \in D$, on a : $\ln(x^2 - 1) < 0 \iff 0 < x^2 - 1 < 1$
$\iff 1 < x^2 < 2$
$\iff 1 < |x| < \sqrt{2}$
$\iff x \in ]-\sqrt{2}, -1[ \cup ]1, \sqrt{2}[$
et puisque : $]-\sqrt{2}, -1[ \cup ]1, \sqrt{2}[ \subset D$ alors : $S = ]-\sqrt{2}, -1[ \cup ]1, \sqrt{2}[$
3) Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'inéquation : $\ln(\ln(x)) > 0$
On a : $D = \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } \ln(x) > 0\}$
$= \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } x > 1\} = ]1, +\infty[$
Soit $x \in D$, on a : $\ln(\ln(x)) > 0 \iff \ln(x) > 1$
$\iff x > e$
Donc : $S = ]e; +\infty[$
4) Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'inéquation : $(1 - \ln(x))(3 + \ln(x)) \ge 0$
On a : $D = ]0; +\infty[$
Soit $x \in D$, on a : $(1 - \ln(x))(3 + \ln(x)) \ge 0 \iff (\ln(x) - 1)(\ln(x) + 3) \le 0$
$\iff -3 \le \ln(x) \le 1$
$\iff \ln(e^{-3}) \le \ln(x) \le \ln(e)$
$\iff e^{-3} \le x \le e$
Donc : $S = [e^{-3}; e]$
5) Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'inéquation : $\frac{2 + \ln(x)}{2\ln(x) - 1} < 0$
On a : $D = \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } 2\ln(x) - 1 \neq 0\}$
$= \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } x \neq \sqrt{e}\}$
Donc : $D = ]0; \sqrt{e}[ \cup ]\sqrt{e}; +\infty[$
Soit $x \in D$, on a :
$\frac{2 + \ln(x)}{2\ln(x) - 1} < 0 \iff (\ln(x) + 2)(2\ln(x) - 1) < 0$
$\iff -2 < \ln(x) < \frac{1}{2}$
$\iff \ln(e^{-2}) < \ln(x) < \ln(\sqrt{e})$
$\iff e^{-2} < x < \sqrt{e}$
Donc : $S = ]e^{-2}; \sqrt{e}[$
6) Résolvons dans $\mathbb{R}$, l'inéquation : $\ln(x + 6) > 2\ln x$
On a : $D = \{x \in \mathbb{R} / x + 6 > 0 \text{ et } x > 0\}$
donc : $D = ]0; +\infty[$
Soit $x \in D$, on a : $\ln(x + 6) > 2\ln(x) \iff \ln(x + 6) > \ln(x^2)$
$\iff x + 6 > x^2$
$\iff x^2 - x - 6 < 0$
$\iff (x + 2)(x - 3) < 0$
$\iff -2 < x < 3$
Donc : $S = ]-2; 3[ \cap ]0; +\infty[ = ]0; 3[$
Dans tous ce qui suit $E$ est l'ensemble de définition du système proposé et $S$ son ensemble de solutions.
1) Résolvons dans $\mathbb{R}^2$ le système : $\begin{cases} \ln(x) - \ln(y) = 2 \\ 2\ln(x) - 3\ln(y) = 5 \end{cases}$
On a : $E = ]0; +\infty[ \times ]0; +\infty[$, c'est-à-dire $E = (\mathbb{R}^{*+})^2$
Soit $(x, y)$ un élément $E$, on pose $a = \ln x$ et $b = \ln y$
Le système devient : $\begin{cases} a - b = 2 \\ 2a - 3b = 5 \end{cases}$, c'est-à-dire : $\begin{cases} a = b + 2 \\ b = -1 \end{cases}$ donc $\begin{cases} a = 1 \\ b = -1 \end{cases}$
D'où : $\ln x = 1$ et $\ln y = -1$, par conséquent $x = e$ et $y = \frac{1}{e}$,
d'où : $S = \left\{\left(e; \frac{1}{e}\right)\right\}$
2) Résolvons dans $\mathbb{R}^2$ le système : $\begin{cases} \ln(x^2 \cdot y^3) = -4 \\ \ln\left(\frac{x^3}{y^4}\right) = 11 \end{cases}$
• Déterminons $D$.
On a : $(x, y) \in E \iff \begin{cases} x^2 \cdot y^3 > 0 \\ \frac{x^3}{y^4} > 0 \text{ et } y \neq 0 \end{cases}$
$\iff \begin{cases} y > 0 \text{ et } x \neq 0 \\ x > 0 \text{ et } y \neq 0 \end{cases}$
$\iff x > 0 \text{ et } y > 0$
Donc : $E = (\mathbb{R}^{*+})^2$
• Déterminons $S$ :
Soit $(x, y)$ un élément de $E$ :
On a : $\begin{cases} \ln(x^2 y^3) = -4 \\ \ln\left(\frac{x^3}{y^4}\right) = 11 \end{cases} \iff \begin{cases} \ln(x^2) + \ln(y^3) = -4 \\ \ln(x^3) - \ln(y^4) = 11 \end{cases} \iff \begin{cases} 2\ln(x) + 3\ln(y) = -4 \\ 3\ln(x) - 4\ln(y) = 11 \end{cases}$
$\iff \ln(x) = 1 \text{ et } \ln y = -2$
$\iff x = e \text{ et } y = e^{-2}$
Donc : $S = \{(e; e^{-2})\}$
3) Résolvons dans $\mathbb{R}^2$ le système : $\begin{cases} (\ln(x)) \cdot (\ln(y)) = -15 \\ \ln(xy) = -2 \end{cases}$
On a : $E = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 / x > 0 \text{ et } y > 0 \text{ et } xy > 0\}$
$= \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 / x > 0 \text{ et } y > 0\}$
Donc : $E = (\mathbb{R}^{*+})^2$.
Soit $(x, y)$ un élément de $E$, on a :
$\begin{cases} \ln(x) \cdot \ln(y) = -15 \\ \ln(xy) = -2 \end{cases} \iff \begin{cases} \ln(x) \cdot \ln(y) = -15 \\ \ln(x) + \ln(y) = -2 \end{cases}$
Posons : $a = \ln(x)$ et $b = \ln(y)$, le système devient : $\begin{cases} a + b = -2 \\ a \cdot b = -15 \end{cases}$
Donc : $a$ et $b$ sont les solutions (si elles existent) de l'équation $t^2 + 2t - 15 = 0$ dans $\mathbb{R}$
et on a : $t^2 + 2t - 15 = 0 \iff t = 3 \text{ ou } t = -5$
Donc : $(a; b) = (3; -5) \text{ ou } (a; b) = (-5; 3)$
D'où : $(x; y) = (e^3; e^{-5}) \text{ ou } (x; y) = (e^{-5}; e^3)$
Par conséquent : $S = \{(e^3; e^{-5}) ; (e^{-5}; e^3)\}$
4) Résolvons dans $\mathbb{R}^2$ le système : $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ \ln(x) + \ln(y) = \ln(3) \end{cases}$
On a : $E = (\mathbb{R}^{*+})^2$
Soit $(x, y)$ un élément de $E$.
Puisque : $\ln(x) + \ln(y) = \ln(3) \iff \ln(xy) = \ln(3) \iff xy = 3$
alors le système devient : $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases}$ c'est-à-dire $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x^2 \cdot y^2 = 9 \end{cases}$
Donc : $x^2$ et $y^2$ sont les solutions (si elles existent) de l'équation $t^2 - 10t + 9 = 0$ dans $\mathbb{R}$
D'où : $\begin{cases} x^2 = 1 \\ y^2 = 9 \end{cases}$ ou $\begin{cases} x^2 = 9 \\ y^2 = 1 \end{cases}$
Et puisque : $x > 0$ et $y > 0$ alors : $(x; y) \in \{(1; 3); (3; 1)\}$, par conséquent :
$S = \{(1; 3); (3; 1)\}$
Montrons que : $(\ln(a - b)) \cdot (\ln(a + b)) \le (\ln(a))^2$
On a $a > 1$ et $0 \le b < a$, donc : $a - b > 0$ et $0 \le \frac{b}{a} < 1$, d'où : $1 - \frac{b}{a} > 0$
Et puisque : $a - b = a\left(1 - \frac{b}{a}\right)$ alors : $\ln(a - b) = \ln(a) + \ln\left(1 - \frac{b}{a}\right)$
et on a aussi : $a + b > 0$ et $1 + \frac{b}{a} > 0$. Et puisque : $a + b = a\left(1 + \frac{b}{a}\right)$
alors : $\ln(a + b) = \ln(a) + \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)$
Donc : $\ln(a - b) \times \ln(a + b) = \left(\ln(a) + \ln\left(1 - \frac{b}{a}\right)\right)\left(\ln(a) + \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)\right)$
c'est-à-dire :
$(\ln(a - b))(\ln(a + b)) = (\ln(a))^2 + \ln(a)\left(\ln\left(1 + \frac{b}{a}\right) + \ln\left(1 - \frac{b}{a}\right)\right) + \ln\left(1 - \frac{b}{a}\right) \times \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)$
$= (\ln(a))^2 + \ln(a) \cdot \ln\left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2\right) + \ln\left(1 - \frac{b}{a}\right) \cdot \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right)$
et on a : $0 \le \frac{b}{a} < 1$, donc : $0 < 1 - \frac{b}{a} \le 1$ et $0 < 1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2 \le 1$
Donc : $\ln\left(1 - \frac{b}{a}\right) \le 0$ et $\ln\left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2\right) \le 0$
Et on a : $\ln(a) > 0$ (car $a > 1$) et $\ln\left(1 + \frac{b}{a}\right) > 0$ (car $1 + \frac{b}{a} > 1$)
D'où : $\left(\ln(a)\right) \cdot \ln\left(1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2\right) + \ln\left(1 - \frac{b}{a}\right) \cdot \ln\left(1 + \frac{b}{a}\right) \le 0$
Par suite : $(\ln(a - b)) \cdot (\ln(a + b)) \le (\ln(a))^2$
1) Déterminons $D$, où $f(x) = \ln|x - 1| + \ln(x)$
Soit $x \in \mathbb{R}$, on a :
$x \in D \iff |x - 1| > 0 \text{ et } x > 0$
$\iff x - 1 \neq 0 \text{ et } x > 0$
$\iff x \neq 1 \text{ et } x > 0$
Donc : $D = ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$
2) Déterminons $D$, où $f(x) = x \ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$
Soit $x \in \mathbb{R}$, on a :
$x \in D \iff x + 1 \neq 0 \text{ et } \frac{x - 1}{x + 1} > 0$
$\iff (x + 1)(x - 1) > 0$
$\iff x \in ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$
(La suite de la correction sera fournie dans le prochain envoi).
3) Déterminons $D$, où $f(x) = \frac{\ln(x)}{1 - \ln(x)}$
Soit $x \in \mathbb{R}$, on a :
$x \in D \iff x > 0 \text{ et } 1 - \ln(x) \neq 0$
$\iff x > 0 \text{ et } \ln(x) \neq 1$
$\iff x > 0 \text{ et } x \neq e$
Donc : $D = ]0; e[ \cup ]e; +\infty[$
4) Déterminons $D$, où $f(x) = \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x - 2}$
Soit $x \in \mathbb{R}$, on a :
$x \in D \iff x > 0 \text{ et } \ln(x) \ge 0 \text{ et } x - 2 \neq 0$
$\iff x \ge 1 \text{ et } x > 0 \text{ et } x \neq 2$
$\iff x \ge 1 \text{ et } x \neq 2$
$\iff x \in [1; 2[ \cup ]2; +\infty[$
Donc : $D = [1; 2[ \cup ]2; +\infty[$
5) Déterminons $D$, où $f(x) = \frac{1}{2} \ln\left(x - \frac{1}{x}\right)$
Soit $x \in \mathbb{R}$, on a :
$x \in D \iff x \neq 0 \text{ et } x - \frac{1}{x} > 0$
$\iff x \neq 0 \text{ et } \frac{x^2 - 1}{x} > 0$
$\iff x(x^2 - 1) > 0$
En dressant le tableau de signe de $x(x^2 - 1)$, on trouve que :
$x(x^2 - 1) > 0 \iff x \in ]-1; 0[ \cup ]1; +\infty[$
D'où : $D = ]-1; 0[ \cup ]1; +\infty[$
6) Déterminons $D$, où $f(x) = \ln(k^2 - 2k\cos(x) + 1)$
Soit $x \in \mathbb{R}$, on a :
$x \in D \iff k^2 - 2k\cos(x) + 1 > 0$
Et puisque : $k^2 - 2k\cos(x) + 1 = k^2 - 2k\cos(x) + \cos^2(x) + \sin^2(x) = (k - \cos(x))^2 + \sin^2(x)$
alors : $k^2 - 2k\cos(x) + 1 \ge 0$
Donc : $x \in D \iff k^2 - 2k\cos(x) + 1 \neq 0$
$\iff (k - \cos(x))^2 + \sin^2(x) \neq 0$
$\iff \cos(x) \neq k \text{ ou } \sin(x) \neq 0$
et on a : $(k - \cos(x))^2 + \sin^2(x) = 0 \iff \cos(x) = k \text{ et } \sin(x) = 0$
D'où : $\begin{cases} \cos(x) = k \\ \sin(x) = 0 \end{cases}$ ainsi $1 = \cos^2(x) + \sin^2(x) = k^2$
alors : $k = 1 \text{ ou } k = -1$
• Si $k = 1$ alors : $x \in D \iff 2 - 2\cos(x) \neq 0 \iff \cos(x) \neq 1 \iff x \neq 2k\pi ; k \in \mathbb{Z}$
Donc : $D = \mathbb{R} \setminus \{2k\pi / k \in \mathbb{Z}\}$
• Si $k = -1$ alors : $x \in D \iff 2 + 2\cos(x) \neq 0 \iff \cos(x) \neq -1 \iff x \neq \pi + 2k\pi ; k \in \mathbb{Z}$
Donc : $D = \mathbb{R} \setminus \{\pi + 2k\pi / k \in \mathbb{Z}\}$
• Si $k \neq 1$ et $k \neq -1$ alors : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; (k - \cos(x))^2 + \sin^2(x) \neq 0$
Donc : $D = \mathbb{R}$.
1) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x)}{x^3}$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a : $\frac{\ln^2(x)}{x^3} = \frac{1}{x} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right)^2$
Et puisque : $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\ln x}{x}\right) = 0$ alors : $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 = 0$
Or : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ donc : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \left(\frac{\ln(x)}{x}\right)^2 = 0$ par conséquent : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x)}{x^3} = 0$
2) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x)}{\sqrt{x}}$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a : $\ln(x) = 2\ln(\sqrt{x})$, donc : $\frac{\ln^2(x)}{\sqrt{x}} = \frac{4\ln^2(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$
On pose : $\sqrt{x} = t^2$ avec $t > 0$. Si $x$ tend vers $+\infty$ alors $t$ tend vers $+\infty$,
et $\frac{4\ln^2(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} = \frac{4\ln^2(t^2)}{t^2} = 4\frac{(2\ln t)^2}{t^2} = 16\left(\frac{\ln(t)}{t}\right)^2$
Et puisque $\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(t)}{t} = 0$ alors $\lim_{t \to +\infty} 16\left(\frac{\ln(t)}{t}\right)^2 = 0$ donc : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x)}{\sqrt{x}} = 0$
3) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + x)}{x^2}$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a : $\frac{\ln(1 + x)}{x^2} = \frac{\ln(1 + x)}{(1 + x)} \cdot \frac{1 + x}{x^2}$
posons : $t = x + 1$ on a : $x \to +\infty \iff t \to +\infty$
donc : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + x)}{1 + x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(t)}{t} = 0$
Et comme : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ alors : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + x)}{x^2} = 0$
4) Calculons : $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(x^2 - x + 1)}{2x + 1}$
Soit $x \in ]-\infty; -\frac{1}{2}[$, on a : $\ln(x^2 - x + 1) = \ln\left(x^2\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)\right)$
$= \ln(x^2) + \ln\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = 2\ln(-x) + \ln\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)$
Donc : $\frac{\ln(x^2 - x + 1)}{2x + 1} = 2 \times \frac{\ln(-x)}{2x + 1} + \frac{\ln\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{2x + 1}$
$= 2 \cdot \frac{\ln(-x)}{-x} \cdot \frac{-x}{2x + 1} + \frac{\ln\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{2x + 1}$
et puisque : $\lim_{x \to -\infty} \left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = 1$ et la fonction $\ln$ est continue en 1
alors $\lim_{x \to -\infty} \ln\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = \ln(1) = 0$ et on a : $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2x + 1} = 0$
donc : $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{2x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2x + 1} \times \left(\ln\left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)\right) = 0$
posons : $t = -x$, on a : $x \to -\infty \iff t \to +\infty$
Donc : $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(-x)}{-x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(t)}{t} = 0$
et on a : $\lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{2x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{2x} = \lim_{x \to -\infty} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$
D'où : $\lim_{x \to -\infty} 2 \cdot \frac{\ln(-x)}{-x} \cdot \frac{-x}{2x + 1} = 0$, par suite : $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(x^2 - x + 1)}{2x + 1} = 0$
5) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 2)}{\ln(2x + 1)}$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a :
$\ln(x + 2) = \ln\left(x\left(1 + \frac{2}{x}\right)\right) = \ln(x) + \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) = \ln(x) \left[1 + \frac{\ln(1 + \frac{2}{x})}{\ln(x)}\right]$
et $\ln(2x + 1) = \ln\left(x\left(2 + \frac{1}{x}\right)\right) = \ln(x) + \ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) = \ln(x) \left[1 + \frac{\ln(2 + \frac{1}{x})}{\ln(x)}\right]$
Donc : $\frac{\ln(x + 2)}{\ln(2x + 1)} = \frac{1 + \frac{\ln(1 + 2/x)}{\ln(x)}}{1 + \frac{\ln(2 + 1/x)}{\ln(x)}}$
et puisque : $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(2 + \frac{1}{x}\right) = \ln(2)$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
alors : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(1 + 2/x)}{\ln(x)} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(2 + 1/x)}{\ln(x)} = 0$ par conséquent :
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 2)}{\ln(2x + 1)} = 1$
6) Calculons : $\lim_{x \to 0^+} x^3 \cdot \ln^2(x)$
On a : $\lim_{x \to 0^+} x^3 \cdot \ln^2(x) = \lim_{x \to 0^+} x \cdot (x\ln x)^2 = 0$
Car $\lim_{x \to 0^+} (x\ln x)^2 = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x = 0$
7) Calculons : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} \cdot \ln^2(x)$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a : $\ln(\sqrt[6]{x}) = \frac{1}{6}\ln(x)$
c'est-à-dire : $\ln(x) = 6\ln(\sqrt[6]{x})$ et on a : $(\sqrt[6]{x})^2 = \sqrt[3]{x}$
Donc : $\sqrt[3]{x} \cdot \ln^2(x) = (\sqrt[6]{x})^2 \cdot (6\ln(\sqrt[6]{x}))^2 = 36(\sqrt[6]{x} \cdot \ln(\sqrt[6]{x}))^2$
Posons : $t = \sqrt[6]{x}$, on a : $x \to 0^+ \iff t \to 0^+$
Donc : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} \cdot \ln^2(x) = \lim_{t \to 0^+} 36(t\ln(t))^2 = 0$, d'où : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x} \cdot \ln^2(x) = 0$
8) Calculons : $\lim_{x \to 0^+} x \cdot \sqrt{|\ln x|}$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a : $x \cdot \sqrt{|\ln x|} = \sqrt{x^2|\ln x|} = \sqrt{x \cdot |x\ln x|}$
et puisque $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ alors $\lim_{x \to 0^+} x|x\ln x| = 0$, donc : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x|x\ln x|} = 0$
D'où : $\lim_{x \to 0^+} x\sqrt{|\ln x|} = 0$
9) Calculons : $\lim_{x \to -1^+} \left(\frac{2x}{x - 1} + \ln(x + 1)\right)$
Soit $x \in ]-1; +\infty[$, on a : $\frac{2x}{x - 1} + \ln(x + 1) = \frac{1}{x - 1}(2x + (x - 1)\ln(x + 1))$
posons : $x + 1 = t$, on a : $x \to -1^+ \iff t \to 0^+$
Donc : $\lim_{x \to -1^+} (x - 1)\ln(x + 1) = \lim_{t \to 0^+} (t - 2)\ln(t) = 0$
D'où : $\lim_{x \to -1^+} (2x + (x - 1)\ln(x + 1)) = -2$
et puisque : $\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x - 1} = -\frac{1}{2}$ alors : $\lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x - 1}(2x + (x - 1)\ln(x + 1)) = 1$
D'où : $\lim_{x \to -1^+} \left(\frac{2x}{x - 1} + \ln(x + 1)\right) = 1$
10) Calculons : $\lim_{x \to 2^+} (x - 2)\ln(x^2 - 2x)$
Soit $x \in ]2; +\infty[$, on a : $(x - 2)\ln(x^2 - 2x) = (x - 2)\ln(x(x - 2))$
$= (x - 2)(\ln(x) + \ln(x - 2))$
$= (x - 2)\ln(x) + (x - 2)\ln(x - 2)$
posons : $t = x - 2$ on a : $x \to 2^+ \iff t \to 0^+$
Donc : $\lim_{x \to 2^+} (x - 2)\ln(x - 2) = \lim_{t \to 0^+} t\ln(t) = 0$
et puisque : $\lim_{x \to 2^+} \ln(x) = \ln(2)$ et $\lim_{x \to 2^+} (x - 2) = 0$, alors : $\lim_{x \to 2^+} (x - 2)\ln(x) = 0$
D'où : $\lim_{x \to 2^+} (x - 2)\ln(x^2 - 2x) = 0$
1) Calculons : $\lim_{|x| \to +\infty} \ln(\sqrt{1 + x^2} - x)$
On a : $\lim_{x \to -\infty} 1 + x^2 = +\infty$, donc $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 + x^2} = +\infty$
et on a : $\lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$, donc : $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 + x^2} - x = +\infty$
et puisque $\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$ alors : $\lim_{x \to -\infty} \ln(\sqrt{1 + x^2} - x) = +\infty$
* Calculons : $\lim_{x \to +\infty} \ln(\sqrt{1 + x^2} - x)$
On a : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{1 + x^2} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} = 0^+$ et $\lim_{X \to 0^+} \ln(X) = -\infty$
Donc : $\lim_{x \to +\infty} \ln(\sqrt{1 + x^2} - x) = -\infty$
2) Calculons : $\lim_{x \to 1^+} \ln\left(\frac{x}{x - 1}\right)$
On a : $\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{x - 1} = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$, donc : $\lim_{x \to 1^+} \ln\left(\frac{x}{x - 1}\right) = +\infty$
3) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} (2x^2 - x - \ln(x + 1))$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a : $2x^2 - x - \ln(x + 1) = (x + 1)\left(\frac{2x^2 - x}{x + 1} - \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}\right)$
On a : $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - x}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} 2x = +\infty$
on pose : $t = x + 1$,
on a : $x \to +\infty \iff t \to +\infty$
Donc : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1)}{x + 1} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$, d'où : $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x^2 - x}{x + 1} - \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}\right) = +\infty$
et puisque : $\lim_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty$ alors : $\lim_{x \to +\infty} (2x^2 - x - \ln(x + 1)) = +\infty$
4) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} (3x - \ln(x^2 + 1))$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a : $3x - \ln(x^2 + 1) = 3x - \ln\left(x^2\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)\right)$
$= 3x - 2\ln(x) - \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = x\left(3 - 2\frac{\ln(x)}{x}\right) - \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right)$
On a : $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = 1$ et la fonction $\ln$ est continue en 1,
donc $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{x^2}\right) = \ln(1) = 0$
Or : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ donc : $\lim_{x \to +\infty} x\left(3 - \frac{\ln(x)}{x}\right) = +\infty$
D'où : $\lim_{x \to +\infty} 3x - \ln(x^2 + 1) = +\infty$
5) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} x\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right)$
On pose $h = \frac{2}{x}$, on a : $x \to +\infty \iff h \to 0^+$
Donc : $\lim_{x \to +\infty} x\ln\left(1 + \frac{2}{x}\right) = \lim_{h \to 0^+} \frac{2}{h} \ln(1 + h) = 2 \cdot \lim_{h \to 0^+} \frac{\ln(1 + h)}{h} = 2 \times 1 = 2$
6) Calculons : $\lim_{x \to -\infty} x\ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)$
Soit $x \in ]-\infty; -1[$, on a :
$x\ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = \left[\frac{\ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)}{\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) - 1}\right] \cdot \left[\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) - 1\right] \frac{1}{x} = \left[\frac{\ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)}{\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) - 1}\right] \cdot \left(\frac{-2x}{x + 1}\right)$
Posons : $t = \frac{x - 1}{x + 1}$, on a : si $x$ tend vers $-\infty$ alors $t$ tend vers 1
Donc : $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)}{\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{\ln(t)}{t - 1} = 1$
et on a : $\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{x + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{x} = \lim_{x \to -\infty} (-2) = -2$. Donc : $\lim_{x \to -\infty} x\ln\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right) = -2$
7) Calculons : $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\ln\left(\frac{x}{3}\right)}$
Méthode 1 :
On pose : $\frac{x}{3} = 1 + h$ c'est-à-dire $x - 3 = 3h$ et on a : $x \to 3 \iff h \to 0$
Donc : $\frac{x - 3}{\ln\left(\frac{x}{3}\right)} = \frac{3(1 + h) - 3}{\ln(1 + h)} = 3\frac{h}{\ln(1 + h)} = \frac{3}{\frac{\ln(1 + h)}{h}}$
Puisque : $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(1 + h)}{h} = 1$ et $\lim_{h \to 0} 3 = 3$ alors : $\lim_{h \to 0} \frac{3}{\frac{\ln(1 + h)}{h}} = 3$
Donc : $\lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{\ln\left(\frac{x}{3}\right)} = 3$
Méthode 2 :
On a : $\frac{x - 3}{\ln\left(\frac{x}{3}\right)} = \frac{x - 3}{\ln(x) - \ln(3)} = \frac{1}{\frac{\ln(x) - \ln(3)}{x - 3}}$
et puisque la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$,
alors $\lim_{x \to 3} \frac{\ln(x) - \ln(3)}{x - 3} = (\ln)'(3) = \frac{1}{3}$
et on a : $\lim_{x \to 3} 1 = 1$ donc : $\lim_{x \to 3} \frac{1}{\frac{\ln(x) - \ln(3)}{x - 3}} = \frac{1}{1/3} = 3$
8) Calculons : $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln(\cos x)$
On a : $\frac{1}{x^2} \ln(\cos x) = \frac{\ln(\cos x)}{\cos x - 1} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2}$
Posons : $t = \cos x$. On a : $x \to 0 \iff t \to 1$
donc : $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\cos x - 1} = \lim_{t \to 1} \frac{\ln(t)}{t - 1} = 1$
et on a : $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}$, donc : $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln(\cos x) = -\frac{1}{2}$
9) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x) - \ln(x)}{1 + 2\ln(x)}$
On pose : $t = \ln(x)$. On a : $x \to +\infty \iff t \to +\infty$
Donc : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^2(x) - \ln(x)}{1 + 2\ln(x)} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^2 - t}{1 + 2t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^2}{2t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t}{2} = +\infty$
10) Calculons : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 1})}{2x}$
Soit $x \in ]0; +\infty[$, on a :
$\ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 1}) = \ln\left(x\left(1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right)\right) = \ln(x) + \ln\left(1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right)$
Donc : $\frac{\ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 1})}{2x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln(x)}{x} + \frac{1}{2x} \ln\left(1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right)$
On a : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right) = 2$ et la fonction $\ln$ est continue en 2
Donc : $\lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right) = \ln(2)$ et comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x} = 0$
Alors : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x} \ln\left(1 + \frac{1}{x} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}\right) = 0$
Par conséquent : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x + 1 + \sqrt{x^2 + 1})}{2x} = 0$
Dans tous ce qui suit ; on désigne par $D_f$ l'ensemble de définition de la fonction $f$
1) Déterminons $D_f$, où $f(x) = \frac{x}{\ln x}$
On a : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } \ln(x) \neq 0\}$
$= \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } x \neq 1\}$
Donc : $D_f = ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$
• Calculons $f'(x)$.
$f$ est dérivable en tout point de $D_f$, et on a : $(\forall x \in D_f) ; f'(x) = \frac{\ln(x) - 1}{(\ln(x))^2}$
2) Déterminons $D_f$, où $f(x) = \frac{x\ln x}{x - 1}$
$D_f = \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } x \neq 1\} = \mathbb{R}^{*+} \setminus \{1\} = ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$
• Calculons $f'(x)$.
Soit $x \in D_f$; on a : $f(x) = \frac{x\ln x}{x - 1}$
Donc : $f'(x) = \frac{(1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x})(x - 1) - x\ln x}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)(\ln x + 1) - x\ln x}{(x - 1)^2} = \frac{x - 1 - \ln x}{(x - 1)^2}$
3) Déterminons $D_f$, où $f(x) = x\ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$
On a : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / \frac{x + 1}{x - 1} > 0 \text{ et } x - 1 \neq 0\} = ]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$
• Calculons $f'(x)$.
$f$ est dérivable en tout point de $D_f$
Soit $x \in D_f$; on a : $f(x) = x\ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)$ :
Donc : $f'(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) + x \frac{\frac{-2}{(x - 1)^2}}{\frac{x + 1}{x - 1}} = \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) + x \frac{-2}{x^2 - 1}$
D'où : $(\forall x \in D_f) ; f'(x) = \ln\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right) - \frac{2x}{x^2 - 1}$
4) Déterminons $D_f$, où $f(x) = x\left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)^2$
On a : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x > 0 \text{ et } \ln(x) \neq 0\} = ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$
• Calculons $f'(x)$.
$f$ est dérivable en tout point de $D_f$
Soit $x \in D_f$, on a : $f(x) = x\left(1 - \frac{1}{\ln(x)}\right)^2$
Donc : $f'(x) = \left(1 - \frac{1}{\ln(x)}\right)^2 + 2x\left(1 - \frac{1}{\ln(x)}\right)' \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)$
$= \left(1 - \frac{1}{\ln(x)}\right)^2 + 2x \left(\frac{1/x}{\ln^2(x)}\right) \left(1 - \frac{1}{\ln x}\right)$
$= \left(1 - \frac{1}{\ln(x)}\right) \left(1 - \frac{1}{\ln(x)} + \frac{2}{\ln^2(x)}\right)$
D'où : $(\forall x \in D_f) ; f'(x) = \left(1 - \frac{1}{\ln(x)}\right) \left(\frac{\ln^2(x) - \ln(x) + 2}{\ln^2(x)}\right)$
5) Déterminons $D_f$, où $f(x) = x^2 \sqrt{\ln x}$
On a : $f(x) = x^2\sqrt{\ln x}$, donc : $D_f = [1; +\infty[$
Soit $x \in D_f$; on a : $f(x) = x^2\sqrt{\ln(x)}$ ; $x \ge 1$
$f(x) = x^2 \cdot \sqrt{\ln(x)} ; 0 < x \le 1$
• Calculons $f'(x)$.
$f$ est dérivable en tout point de $]1; +\infty[$.
Si $x > 1$ alors : $f'(x) = 2x\sqrt{\ln(x)} + x^2 \frac{\frac{1}{x}}{2\sqrt{\ln(x)}} = \frac{4x\ln(x) - x}{2\sqrt{\ln(x)}} = \frac{x(4\ln(x) - 1)}{2\sqrt{\ln(x)}}$
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \frac{1}{\ln(x)} + \ln(|\ln(x)|)$ et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ ; $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
c- Etudier les branches infinies de la courbe $(\mathscr{C})$.
2) a- Montrer que : $(\forall x \in D) ; f'(x) = \frac{-1 + \ln(x)}{x(\ln(x))^2}$
b- Dresser le tableau de variations de $f$.
3) a- Montrer que : $(\forall x \in D) ; f''(x) = \frac{\ln(x) \cdot (2 - (\ln x)^2)}{(x \ln^2(x))^2}$
b- Déterminer les points d'inflexion de la courbe $(\mathscr{C})$.
4) Construire $(\mathscr{C})$
1ère Partie: Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$g(x) = \ln(\ln(x)) - \frac{x + 1}{x \ln(x)}$
1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $g$ puis calculer les limites aux bornes de $D$.
2) Etudier les variations de $g$.
3) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ telle que $6,4 < \alpha < 6,5$.
b- En déduire le signe de $g(x)$ sur $D$.
2ème partie: On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]1; +\infty[ \setminus \{e\}$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{x + 1}{\ln(\ln(x))} ; x > 1 \\ f(1) = 0 \end{cases}$
et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que $f$ est continue à droite en 1.
b- Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2) a- Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
b- Calculer : $\lim_{x \to e^-} f(x)$ et $\lim_{x \to e^+} f(x)$.
3) Etudier les branches infinies de la courbe $(\mathscr{C})$.
4) a- Dresser le tableau de variations de $f$.
b- Construire la courbe $(\mathscr{C})$.
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \frac{\sqrt{\ln(1 - x)}}{1 - x}$ et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$
1) a- Déterminons $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b- Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et étudier la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $-\infty$.
2) Etudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $x_0 = 0$, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3) a- Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ élément de $D \setminus \{0\}$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
b- Construire la courbe $(\mathscr{C})$.
Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \ln((\sqrt{x - 1} - 1)^2)$ et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$ et calculer ses limites aux bornes de $D$.
2) Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3) Etudier les variations de $f$.
4) a- Etudier les branches infinies.
b- Etudier la concavité de $(\mathscr{C})$.
5) a- Ecrire une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathscr{C})$ au point d'abscisse 5.
b- Construire $(\mathscr{C})$ et $(T)$.
1ère partie:
Soit $g$ la fonction numérique définie sur $I = [-1, 0[ \cup ]0, +\infty[$ par :
$g(x) = \frac{(x + 1)^2}{x(x + 2)} - \ln|x(x + 2)|$
1) Dresser le tableau de variations de la fonction $g$
2) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$
b- En déduire le signe de $g(x)$ sur $I$.
2ème partie:
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{\ln|x(x + 2)|}{(x + 1)^2} ; x \neq -1 \\ f(-1) = -1 \end{cases}$
et soit $(\mathscr{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$
1) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $x = -1$ est un axe de symétrie pour $(\mathscr{C}_f)$.
2) a- Calculer : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x)$
b- Montrer que la fonction $f$ est continue en $-1$ (on peut utiliser le résultat suivant : $(\forall t \in ]0, \frac{1}{4}[) ; -\frac{t^2}{2} - t^3 \le \ln(1 - t) \le -t - \frac{t^2}{2}$)
4) a- Montrer que : $(\forall x \in I \setminus \{-1\}) ; f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^3} \cdot g(x)$.
b- Vérifier que $f(\alpha) = \frac{1}{\alpha(\alpha + 2)}$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $D$.
5) a- Déterminer les points d'intersection de $(O; \vec{i})$ avec la courbe $(\mathscr{C}_f)$.
b- Tracer $(\mathscr{C}_f)$ (on prend : $\alpha \simeq 1,14$ et $f(\alpha) \simeq 0,28$).
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $\begin{cases} u_1 = 1 \\ (\forall n \in \mathbb{N}^*) ; (u_{n+1})^2 = 4u_n \end{cases}$
1) Ecrire $u_2$ et $u_3$ en fonction de $2^\alpha$ où $\alpha \in \mathbb{Q}$
2) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; v_n = \ln(u_n) - \ln(4)$
a- Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b- En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
On considère les fonctions numériques $u$ et $v$ définies par : $u(x) = x - 1 - \ln x$ et $v(x) = \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{3}{2} + \ln(x)$
1) a- Dresser les tableaux des variations des fonction $u$ et $v$.
b- En déduire que : $(\forall a \in ]0; +\infty[) ; a - \frac{a^2}{2} < \ln(1 + a) < a$
2) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $P_n = \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{k}{n^2}\right)$
a- Montrer que :
$(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{1}{12} \frac{(n + 1)(2n + 1)}{n^3} < \ln(P_n) < \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)$.
b- En déduire $\lim_{n \to +\infty} P_n$.
On considère la fonction $f_n$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f_n(x) = x - n + \frac{n}{2} \ln(x)$ où $n \in \mathbb{N}^*$
1) Dresser le tableau de variations de $f_n$
2) a- Montrer que : $(\exists! \alpha_n \in ]0, +\infty[), f_n(\alpha_n) = 0$
b- Montrer que : $1 \le \alpha_n < e^2$
c- Vérifier que : $\ln(\alpha_n) = 2 - \frac{2}{n}\alpha_n$
3) Ecrire $f_{n+1}(\alpha_n)$ en fonction de $\alpha_n$ et $n$, puis déduire que $\alpha_{n+1} > \alpha_n$
4) a- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est convergente. On pose $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = \ell$
b- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} \ln(\alpha_n)$
1) On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$
a- Calculer $u_1, u_2$ et $u_3$.
b- Montrer que : $(\forall x \in ]0, +\infty[) ; \ln(1 + x) \le x \text{ et } \frac{x}{x + 1} \le \ln(1 + x)$
En déduire que : $(\forall k \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{1 + k} \le \ln(1 + k) - \ln(k) \le \frac{1}{k}$
c- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_{n+1} - 1 \le \ln(n + 1) \le u_n$ ; en déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \ln(1 + n) \le u_n \le 1 + \ln(n)$
d- Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
2) On considère la suite numérique $(c_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{1\}) ; c_n = u_n - \ln(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)$
a- Soit $n$ un entier tel que $n \ge 2$. Calculer $c_{n+1} - c_n$, et en déduire la monotonie de la suite $(c_n)$.
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}) ; c_n \le 1 + \ln(n - 1) - \ln(n)$
c- En déduire que la suite $(c_n)$ est convergente (le nombre $\lim_{n \to +\infty} c_n = \gamma$, appelé la constante d'Euler et on a $\gamma \simeq 0,577215\dots$).
$n$ est un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = x + n(1 + \ln x)$
1) a- Dresser le tableau de variations de la fonction $f_n$.
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* )(\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; f_n(\alpha_n) = 0$
2) a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{e^2} < \alpha_n < \frac{1}{e}$
b- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est convergente puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n$.
$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = nx^2 + \ln(x)$
1) Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; (\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; f_n(\alpha_n) = 0$
2) Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 2}$ est strictement décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
3) a- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; x - \frac{1}{2}\ln(x) > 0$
b- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; \alpha_n < n^{-\frac{1}{4}}$, puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n$.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\alpha_n} = 1$
$n$ est un entier naturel.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = x - n\ln(x)$
1) Montrer que si : $n \ge 3$ alors l'équation $f_n(x) = 0$ admet exactement 2 solutions $a_n$ et $b_n$ telles que : $0 < a_n < n < b_n$.
2) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} b_n$.
3) a- Montrer que : $(\forall n \ge 3) ; 1 < a_n < 2$
b- Montrer que la suite $(a_n)_{n \ge 3}$ est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1$
Soit $n$ est un élément de $\mathbb{N}^* \setminus \{1\}$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = -x^2 + 2 + n\ln(x)$
1) a- Calculer : $\lim_{x \to 0^+} f_n(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$.
b- Etudier les variations de $f_n$.
2) On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = x\ln x + 2 - x$
3) Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{*+}$ ; puis étudier les variations de $g$.
b- En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{*+}) ; g(x) > 0$
3) a- Montrer que : $f_n\left(\sqrt{\frac{n}{2}}\right) > 0$
b- En déduire que l'équation $f_n(x) = 0$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ dans $\mathbb{R}^{*+}$ (On suppose que : $u_n < v_n$).
c- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} v_n$
4) a- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; u_n \le 1$
b- Vérifier que : $(\forall n \ge 2) ; f_{n+1}(u_n) = \ln(u_n)$
c- Montrer que $(u_n)_{n \ge 2}$ est croissante et convergente.
d- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = x^2 \ln(1 + \frac{1}{x}) ; x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $x_0 = 0$.
b- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c- Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
2) Soit $u$ et $v$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $u(t) = t - \ln(1 + t)$ et $v(t) = t^2$
a- Montrer que : $(\forall t > 0) ; (\exists c \in ]0; t[) ; \frac{u(t)}{v(t)} = \frac{u'(c)}{v'(c)}$
Appliquer le théorème de Rolle sur l'intervalle $[0; t]$ ($t > 0$) à la fonction : $\varphi : x \mapsto u(t)v(x) - u(x)v(t)$
b- En déduire que : $\lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2} = \frac{1}{2}$
3) Montrer que la droite d'équation : $y = x - \frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
4) a- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f'(x) = x\left(2\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{1 + x}\right)$
b- Montrer que : $(\forall x > 0) ; \ln(1 + \frac{1}{x}) > \frac{1}{1 + x}$
En déduire que : $f'(x) > 0$ pour tout réel $x$ de $]0; +\infty[$.
c- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
5) a- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
b- Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $\ln(2)$ et calculer $(f^{-1})'(\ln 2)$.
c- Montrer que : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f^{-1}(x)}{x} = +\infty$
d- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f^{-1}(x) > x$
6) Tracer dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, la courbe $(\mathscr{C})$ et la courbe $(\mathscr{C}')$ de $f^{-1}$.
A/ 1) Montrer que : $(\forall x > -1) ; x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3(x + 1)} \le \ln(1 + x) \le x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$
2) Montrer que : $\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1 + x)}{x^2} = \frac{1}{2}$
B/ On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{x}{\ln(1 + x)} ; x \neq -1 \text{ et } x \neq 0 \\ f(0) = 1 \text{ et } f(-1) = 0 \end{cases}$
Soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[-1; +\infty[$.
b- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $-1$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c- Montrer que la fonction $f$ est dérivable en $0$, puis déterminer une équation de tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A(0; 1)$.
2) a- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
b- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur les intervalles $]-1; 0[$ et $]0; +\infty[$ puis calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]-1; 0[ \cup ]0; +\infty[$.
3) a- Montrer que : $(\forall x > -1) ; (x + 1)\ln(x + 1) - x \ge 0$
b- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
c- Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.
4) Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ la suite définie par : $\begin{cases} u_0 = e \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$
a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_n > e - 1$
b- Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = e - 1$.
I/ On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = -x\ln(x) + 2x - 2$
1) Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
2) Montrer que $g$ est strictement croissante sur $]0; e]$ et strictement décroissante sur $[e; +\infty[$.
3) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]e; +\infty[$ et que $4 < \alpha < 5$ (On donne : $\ln 2 < \frac{3}{4}$ et $\ln 5 > \frac{8}{5}$)
b- En déduire que $g$ est positive sur $[1; \alpha]$ et négative sur $]0; 1]$ et sur $[\alpha; +\infty[$ (Remarquer que : $g(1) = 0$)
II/ Soit la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f(x) = \frac{\ln^2(x)}{x - 1} ; x \neq 1 \\ f(1) = 0 \end{cases}$
1) a- Montrer que $f$ est continue en 1.
b- Montrer que $f$ est dérivable en 1.
2) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
3) a- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[ \setminus \{1\}) ; f'(x) = \frac{\ln(x)}{x(x - 1)^2} \times g(x)$
b- Montrer que : $f(\alpha) = 4\frac{(\alpha - 1)}{\alpha^2}$
c- Montrer que : $f(\alpha) \in ]0; 1[$
d- Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]0; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha; +\infty[$.
III/ Soit $F$ la fonction primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$ telle que : $F(\alpha) = \alpha$.
1) Montrer que $F$ est strictement décroissante sur $]0; 1]$ et strictement croissante sur $[1; +\infty[$.
2) Montrer que : $(\forall x \in ]0; \alpha]) ; F(x) \ge x$
3) Montrer que : $(\exists c \in ]1; \alpha[) ; \alpha - F(1) = f(c)(\alpha - 1)$
4) On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = c$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1} = F(u_n)$
a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; c \le u_n \le \alpha$
b- Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante, en déduire qu'elle est convergente.
c- En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : $(\forall (x; y) \in ([c; \alpha])^2) ; |F(x) - F(y)| \le f(\alpha)|x - y|$
d- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; |u_n - \alpha| \le (f(\alpha))^n(\alpha - c)$
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f_n(x) = x^n \cdot \ln(x) ; x > 0 \\ f_n(0) = 0 \end{cases}$
Soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable à droite en 0.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a- Calculer $f_n'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f_n$.
b- Etudier la position relative des courbes $(C_n)$ et $(C_{n+1})$
c- Tracer, dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, les courbes $(C_1)$ et $(C_2)$ en précisant la tangente au point $O$ et la tangente au point $A(1; 0)$.
3) a- Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, il existe un unique réel $x_n$ dans l'intervalle $]0; +\infty[$ tel que : $f_n(x_n) = 1$.
b- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; f_{n+1}(x_n) > 1$
c- En déduire que la suite $(x_n)_{n \ge 2}$ est strictement décroissante et qu'elle est convergente.
4) On pose : $b_n = x_n^n$ pour tout $n \ge 2$.
a- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; b_n \cdot \ln(b_n) = n$
b- Montrer que : $(\forall x \in [1; +\infty[) ; x - 1 \le x\ln(x)$
c- En déduire que : $(\forall n \ge 2) ; 1 < b_n \le n + 1$
5) a- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n+1} = 1$
b- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} x_n = 1$
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f(x) = \sqrt{x}(\ln(x))^2 ; x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $x_0 = 0$.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, puis donner la nature de la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
2) a- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$, et que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f'(x) = \frac{\ln(x)(\ln(x) + 4)}{2\sqrt{x}}$
c- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
d- Montrer que : $(\forall x \in [0; 1]) ; 0 \le f(x) \le \left(\frac{4}{e}\right)^2$
3) a- Montrer que : $f''(x) = \frac{1}{4x\sqrt{x}}(8 - (\ln x)^2)$ pour tout $x$ de $]0; +\infty[$.
b- Etudier la concavité de la courbe $(\mathscr{C})$ et montrer qu'elle admet deux points d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
4) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1; +\infty[$.
a- Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ et calculer $(g^{-1})'(e)$
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) (\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; g^{-1}(\alpha_n) = \frac{1}{n} + e$
c- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
d- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = \sqrt{e}$.
Leçon 4
La fonction logarithme népérienne est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$ qui s'annule en 1 ; on la note $\ln$.
Soit $a$ et $b$ deux éléments de $]0; +\infty[$ et $r$ un élément de $\mathbb{Q}$, on a :
Remarques : Si $xy > 0$ alors $\ln(xy) = \ln|x| + \ln|y|$ et $\ln(\frac{x}{y}) = \ln|x| - \ln|y|$. Si $x \in \mathbb{R}^*$ alors $\ln x^2 = 2\ln|x|$.
| $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ | $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$ |
| $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x + 1)}{x} = 1$ |
| $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ | $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \lim_{x \to 0^+} x^n\ln x = 0$ |
Définition : Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et ne s'annule pas sur $I$ : c'est-à-dire : $((\forall x \in I) ; u(x) \neq 0)$.
La fonction : $x \mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}$ (où $u'$ est la fonction dérivée de $u$) est appelée la dérivée logarithmique de la fonction $u$ sur l'intervalle $I$.
Définition : Soit $a$ un nombre réel strictement positif et distinct de 1. La fonction logarithme de base $a$ est la fonction notée $\log_a$ et qui est définie sur $]0; +\infty[$ par : $\log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a}$.
La fonction $\log_a$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; (\log_a)'(x) = \frac{1}{x \ln a}$.
Cas où $a > 1$ La fonction est strictement croissante car $\ln a > 0$. | Cas où $0 < a < 1$ La fonction est strictement décroissante car $\ln a < 0$. |
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \frac{1}{\ln(x)} + \ln(|\ln(x)|)$ et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ ; $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
c- Etudier les branches infinies de la courbe $(\mathscr{C})$.
2) a- Montrer que : $(\forall x \in D) ; f'(x) = \frac{-1 + \ln(x)}{x(\ln(x))^2}$
b- Dresser le tableau de variations de $f$.
3) a- Montrer que : $(\forall x \in D) ; f''(x) = \frac{\ln(x) \cdot (2 - (\ln x)^2)}{(x \ln^2(x))^2}$
b- Déterminer les points d'inflexion de la courbe $(\mathscr{C})$.
4) Construire $(\mathscr{C})$
1ère Partie: Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$g(x) = \ln(\ln(x)) - \frac{x + 1}{x \ln(x)}$
1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $g$ puis calculer les limites aux bornes de $D$.
2) Etudier les variations de $g$.
3) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ telle que $6,4 < \alpha < 6,5$.
b- En déduire le signe de $g(x)$ sur $D$.
2ème partie: On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]1; +\infty[ \setminus \{e\}$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{x + 1}{\ln(\ln(x))} ; x > 1 \\ f(1) = 0 \end{cases}$
et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que $f$ est continue à droite en 1.
b- Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2) a- Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
b- Calculer : $\lim_{x \to e^-} f(x)$ et $\lim_{x \to e^+} f(x)$.
3) Etudier les branches infinies de la courbe $(\mathscr{C})$.
4) a- Dresser le tableau de variations de $f$.
b- Construire la courbe $(\mathscr{C})$.
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \frac{\sqrt{\ln(1 - x)}}{1 - x}$ et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$
1) a- Déterminons $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b- Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et étudier la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $-\infty$.
2) Etudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $x_0 = 0$, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3) a- Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ élément de $D \setminus \{0\}$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
b- Construire la courbe $(\mathscr{C})$.
Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \ln((\sqrt{x - 1} - 1)^2)$ et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$ et calculer ses limites aux bornes de $D$.
2) Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3) Etudier les variations de $f$.
4) a- Etudier les branches infinies.
b- Etudier la concavité de $(\mathscr{C})$.
5) a- Ecrire une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathscr{C})$ au point d'abscisse 5.
b- Construire $(\mathscr{C})$ et $(T)$.
1ère partie:
Soit $g$ la fonction numérique définie sur $I = [-1, 0[ \cup ]0, +\infty[$ par :
$g(x) = \frac{(x + 1)^2}{x(x + 2)} - \ln|x(x + 2)|$
1) Dresser le tableau de variations de la fonction $g$
2) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$
b- En déduire le signe de $g(x)$ sur $I$.
2ème partie:
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{\ln|x(x + 2)|}{(x + 1)^2} ; x \neq -1 \\ f(-1) = -1 \end{cases}$
et soit $(\mathscr{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$
1) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $x = -1$ est un axe de symétrie pour $(\mathscr{C}_f)$.
2) a- Calculer : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x)$
b- Montrer que la fonction $f$ est continue en $-1$ (on peut utiliser le résultat suivant : $(\forall t \in ]0, \frac{1}{4}[) ; -\frac{t^2}{2} - t^3 \le \ln(1 - t) \le -t - \frac{t^2}{2}$)
4) a- Montrer que : $(\forall x \in I \setminus \{-1\}) ; f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^3} \cdot g(x)$.
b- Vérifier que $f(\alpha) = \frac{1}{\alpha(\alpha + 2)}$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $D$.
5) a- Déterminer les points d'intersection de $(O; \vec{i})$ avec la courbe $(\mathscr{C}_f)$.
b- Tracer $(\mathscr{C}_f)$ (on prend : $\alpha \simeq 1,14$ et $f(\alpha) \simeq 0,28$).
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $\begin{cases} u_1 = 1 \\ (\forall n \in \mathbb{N}^*) ; (u_{n+1})^2 = 4u_n \end{cases}$
1) Ecrire $u_2$ et $u_3$ en fonction de $2^\alpha$ où $\alpha \in \mathbb{Q}$
2) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; v_n = \ln(u_n) - \ln(4)$
a- Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b- En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
On considère les fonctions numériques $u$ et $v$ définies par : $u(x) = x - 1 - \ln x$ et $v(x) = \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{3}{2} + \ln(x)$
1) a- Dresser les tableaux des variations des fonction $u$ et $v$.
b- En déduire que : $(\forall a \in ]0; +\infty[) ; a - \frac{a^2}{2} < \ln(1 + a) < a$
2) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $P_n = \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{k}{n^2}\right)$
a- Montrer que :
$(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{1}{12} \frac{(n + 1)(2n + 1)}{n^3} < \ln(P_n) < \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)$.
b- En déduire $\lim_{n \to +\infty} P_n$.
On considère la fonction $f_n$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f_n(x) = x - n + \frac{n}{2} \ln(x)$ où $n \in \mathbb{N}^*$
1) Dresser le tableau de variations de $f_n$
2) a- Montrer que : $(\exists! \alpha_n \in ]0, +\infty[), f_n(\alpha_n) = 0$
b- Montrer que : $1 \le \alpha_n < e^2$
c- Vérifier que : $\ln(\alpha_n) = 2 - \frac{2}{n}\alpha_n$
3) Ecrire $f_{n+1}(\alpha_n)$ en fonction de $\alpha_n$ et $n$, puis déduire que $\alpha_{n+1} > \alpha_n$
4) a- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est convergente. On pose $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = \ell$
b- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} \ln(\alpha_n)$
1) On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$
a- Calculer $u_1, u_2$ et $u_3$.
b- Montrer que : $(\forall x \in ]0, +\infty[) ; \ln(1 + x) \le x \text{ et } \frac{x}{x + 1} \le \ln(1 + x)$
En déduire que : $(\forall k \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{1 + k} \le \ln(1 + k) - \ln(k) \le \frac{1}{k}$
c- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_{n+1} - 1 \le \ln(n + 1) \le u_n$ ; en déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \ln(1 + n) \le u_n \le 1 + \ln(n)$
d- Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
2) On considère la suite numérique $(c_n)$ définie par :
$(\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{1\}) ; c_n = u_n - \ln(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)$
a- Soit $n$ un entier tel que $n \ge 2$. Calculer $c_{n+1} - c_n$, et en déduire la monotonie de la suite $(c_n)$.
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}) ; c_n \le 1 + \ln(n - 1) - \ln(n)$
c- En déduire que la suite $(c_n)$ est convergente (le nombre $\lim_{n \to +\infty} c_n = \gamma$, appelé la constante d'Euler et on a $\gamma \simeq 0,577215\dots$).
$n$ est un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = x + n(1 + \ln x)$
1) a- Dresser le tableau de variations de la fonction $f_n$.
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* )(\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; f_n(\alpha_n) = 0$
2) a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{e^2} < \alpha_n < \frac{1}{e}$
b- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est convergente puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n$.
$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = nx^2 + \ln(x)$
1) Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; (\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; f_n(\alpha_n) = 0$
2) Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 2}$ est strictement décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
3) a- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; x - \frac{1}{2}\ln(x) > 0$
b- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; \alpha_n < n^{-\frac{1}{4}}$, puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n$.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\alpha_n} = 1$
$n$ est un entier naturel.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = x - n\ln(x)$
1) Montrer que si : $n \ge 3$ alors l'équation $f_n(x) = 0$ admet exactement 2 solutions $a_n$ et $b_n$ telles que : $0 < a_n < n < b_n$.
2) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} b_n$.
3) a- Montrer que : $(\forall n \ge 3) ; 1 < a_n < 2$
b- Montrer que la suite $(a_n)_{n \ge 3}$ est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1$
Soit $n$ est un élément de $\mathbb{N}^* \setminus \{1\}$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = -x^2 + 2 + n\ln(x)$
1) a- Calculer : $\lim_{x \to 0^+} f_n(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$.
b- Etudier les variations de $f_n$.
2) On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = x\ln x + 2 - x$
3) Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{*+}$ ; puis étudier les variations de $g$.
b- En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{*+}) ; g(x) > 0$
3) a- Montrer que : $f_n\left(\sqrt{\frac{n}{2}}\right) > 0$
b- En déduire que l'équation $f_n(x) = 0$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ dans $\mathbb{R}^{*+}$ (On suppose que : $u_n < v_n$).
c- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} v_n$
4) a- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; u_n \le 1$
b- Vérifier que : $(\forall n \ge 2) ; f_{n+1}(u_n) = \ln(u_n)$
c- Montrer que $(u_n)_{n \ge 2}$ est croissante et convergente.
d- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = x^2 \ln(1 + \frac{1}{x}) ; x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $x_0 = 0$.
b- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c- Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
2) Soit $u$ et $v$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par :
$u(t) = t - \ln(1 + t)$ et $v(t) = t^2$
a- Montrer que : $(\forall t > 0) ; (\exists c \in ]0; t[) ; \frac{u(t)}{v(t)} = \frac{u'(c)}{v'(c)}$
Appliquer le théorème de Rolle sur l'intervalle $[0; t]$ ($t > 0$) à la fonction :
$\varphi : x \mapsto u(t)v(x) - u(x)v(t)$
b- En déduire que : $\lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2} = \frac{1}{2}$
3) Montrer que la droite d'équation : $y = x - \frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
4) a- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et que :
$(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f'(x) = x\left(2\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{1 + x}\right)$
b- Montrer que : $(\forall x > 0) ; \ln(1 + \frac{1}{x}) > \frac{1}{1 + x}$
En déduire que : $f'(x) > 0$ pour tout réel $x$ de $]0; +\infty[$.
c- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
5) a- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
b- Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $\ln(2)$ et calculer $(f^{-1})'(\ln 2)$.
c- Montrer que : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f^{-1}(x)}{x} = +\infty$
d- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f^{-1}(x) > x$
6) Tracer dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, la courbe $(\mathscr{C})$ et la courbe $(\mathscr{C}')$ de $f^{-1}$.
A/ 1) Montrer que :
$(\forall x > -1) ; x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3(x + 1)} \le \ln(1 + x) \le x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$
2) Montrer que : $\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1 + x)}{x^2} = \frac{1}{2}$
B/ On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{x}{\ln(1 + x)} ; x \neq -1 \text{ et } x \neq 0 \\ f(0) = 1 \text{ et } f(-1) = 0 \end{cases}$
Soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[-1; +\infty[$.
b- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $-1$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c- Montrer que la fonction $f$ est dérivable en $0$, puis déterminer une équation de tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A(0; 1)$.
2) a- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
b- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur les intervalles $]-1; 0[$ et $]0; +\infty[$ puis calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]-1; 0[ \cup ]0; +\infty[$.
3) a- Montrer que : $(\forall x > -1) ; (x + 1)\ln(x + 1) - x \ge 0$
b- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
c- Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.
4) Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ la suite définie par : $\begin{cases} u_0 = e \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$
a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_n > e - 1$
b- Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = e - 1$.
I/ On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par :
$g(x) = -x\ln(x) + 2x - 2$
1) Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
2) Montrer que $g$ est strictement croissante sur $]0; e]$ et strictement décroissante sur $[e; +\infty[$.
3) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]e; +\infty[$ et que $4 < \alpha < 5$ (On donne : $\ln 2 < \frac{3}{4}$ et $\ln 5 > \frac{8}{5}$)
b- En déduire que $g$ est positive sur $[1; \alpha]$ et négative sur $]0; 1]$ et sur $[\alpha; +\infty[$ (Remarquer que : $g(1) = 0$)
II/ Soit la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f(x) = \frac{\ln^2(x)}{x - 1} ; x \neq 1 \\ f(1) = 0 \end{cases}$
1) a- Montrer que $f$ est continue en 1.
b- Montrer que $f$ est dérivable en 1.
2) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
3) a- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[ \setminus \{1\}) ; f'(x) = \frac{\ln(x)}{x(x - 1)^2} \times g(x)$
b- Montrer que : $f(\alpha) = 4\frac{(\alpha - 1)}{\alpha^2}$
c- Montrer que : $f(\alpha) \in ]0; 1[$
d- Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]0; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha; +\infty[$.
III/ Soit $F$ la fonction primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$ telle que : $F(\alpha) = \alpha$.
1) Montrer que $F$ est strictement décroissante sur $]0; 1]$ et strictement croissante sur $[1; +\infty[$.
2) Montrer que : $(\forall x \in ]0; \alpha]) ; F(x) \ge x$
3) Montrer que : $(\exists c \in ]1; \alpha[) ; \alpha - F(1) = f(c)(\alpha - 1)$
4) On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = c$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1} = F(u_n)$
a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; c \le u_n \le \alpha$
b- Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante, en déduire qu'elle est convergente.
c- En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : $(\forall (x; y) \in ([c; \alpha])^2) ; |F(x) - F(y)| \le f(\alpha)|x - y|$
d- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; |u_n - \alpha| \le (f(\alpha))^n(\alpha - c)$
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f_n(x) = x^n \cdot \ln(x) ; x > 0 \\ f_n(0) = 0 \end{cases}$
Soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable à droite en 0.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a- Calculer $f_n'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f_n$.
b- Etudier la position relative des courbes $(C_n)$ et $(C_{n+1})$
c- Tracer, dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, les courbes $(C_1)$ et $(C_2)$ en précisant la tangente au point $O$ et la tangente au point $A(1; 0)$.
3) a- Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, il existe un unique réel $x_n$ dans l'intervalle $]0; +\infty[$ tel que : $f_n(x_n) = 1$.
b- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; f_{n+1}(x_n) > 1$
c- En déduire que la suite $(x_n)_{n \ge 2}$ est strictement décroissante et qu'elle est convergente.
4) On pose : $b_n = x_n^n$ pour tout $n \ge 2$.
a- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; b_n \cdot \ln(b_n) = n$
b- Montrer que : $(\forall x \in [1; +\infty[) ; x - 1 \le x\ln(x)$
c- En déduire que : $(\forall n \ge 2) ; 1 < b_n \le n + 1$
5) a- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n+1} = 1$
b- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} x_n = 1$
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = \sqrt{x}(\ln(x))^2 ; x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $x_0 = 0$.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, puis donner la nature de la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
2) a- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$, et que :
$(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f'(x) = \frac{\ln(x)(\ln(x) + 4)}{2\sqrt{x}}$
c- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
d- Montrer que : $(\forall x \in [0; 1]) ; 0 \le f(x) \le \left(\frac{4}{e}\right)^2$
3) a- Montrer que : $f''(x) = \frac{1}{4x\sqrt{x}}(8 - (\ln x)^2)$ pour tout $x$ de $]0; +\infty[$.
b- Etudier la concavité de la courbe $(\mathscr{C})$ et montrer qu'elle admet deux points d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
4) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1; +\infty[$.
a- Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ et calculer $(g^{-1})'(e)$
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) (\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; g^{-1}(\alpha_n) = \frac{1}{n} + e$
c- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
d- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = \sqrt{e}$.
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \frac{1}{\ln(x)} + \ln(|\ln(x)|)$ et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ ; $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ ; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
c- Etudier les branches infinies de la courbe $(\mathscr{C})$.
2) a- Montrer que : $(\forall x \in D) ; f'(x) = \frac{-1 + \ln(x)}{x(\ln(x))^2}$
b- Dresser le tableau de variations de $f$.
3) a- Montrer que : $(\forall x \in D) ; f''(x) = \frac{\ln(x) \cdot (2 - (\ln x)^2)}{(x \ln^2(x))^2}$
b- Déterminer les points d'inflexion de la courbe $(\mathscr{C})$.
4) Construire $(\mathscr{C})$.
1ère Partie: Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$g(x) = \ln(\ln(x)) - \frac{x + 1}{x \ln(x)}$
1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $g$ puis calculer les limites aux bornes de $D$.
2) Etudier les variations de $g$.
3) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ telle que $6,4 < \alpha < 6,5$.
b- En déduire le signe de $g(x)$ sur $D$.
2ème partie: On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]1; +\infty[ \setminus \{e\}$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{x + 1}{\ln(\ln(x))} ; x > 1 \\ f(1) = 0 \end{cases}$
et soit $(\mathscr{C})$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que $f$ est continue à droite en 1.
b- Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
2) a- Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
b- Calculer : $\lim_{x \to e^-} f(x)$ et $\lim_{x \to e^+} f(x)$.
3) Etudier les branches infinies de la courbe $(\mathscr{C})$.
4) a- Dresser le tableau de variations de $f$.
b- Construire la courbe $(\mathscr{C})$.
Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \frac{\sqrt{\ln(1 - x)}}{1 - x}$ et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$
1) a- Déterminons $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b- Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et étudier la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $-\infty$.
2) Etudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $x_0 = 0$, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3) a- Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ élément de $D \setminus \{0\}$, puis dresser le tableau de variations de $f$.
b- Construire la courbe $(\mathscr{C})$.
Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \ln((\sqrt{x - 1} - 1)^2)$ et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$ et calculer ses limites aux bornes de $D$.
2) Etudier la dérivabilité de $f$ à droite en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
3) Etudier les variations de $f$.
4) a- Etudier les branches infinies.
b- Etudier la concavité de $(\mathscr{C})$.
5) a- Ecrire une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathscr{C})$ au point d'abscisse 5.
b- Construire $(\mathscr{C})$ et $(T)$.
1ère partie:
Soit $g$ la fonction numérique définie sur $I = [-1, 0[ \cup ]0, +\infty[$ par :
$g(x) = \frac{(x + 1)^2}{x(x + 2)} - \ln|x(x + 2)|$
1) Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
2) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $]0, +\infty[$.
b- En déduire le signe de $g(x)$ sur $I$.
2ème partie:
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 0\}$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{\ln|x(x + 2)|}{(x + 1)^2} ; x \neq -1 \\ f(-1) = -1 \end{cases}$
et soit $(\mathscr{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $x = -1$ est un axe de symétrie pour $(\mathscr{C}_f)$.
2) a- Calculer : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.
b- Montrer que la fonction $f$ est continue en $-1$ (on peut utiliser le résultat suivant : $(\forall t \in \left]0, \frac{1}{4}\right[) ; -\frac{t^2}{2} - t^3 \le \ln(1 - t) \le -t - \frac{t^2}{2}$).
4) a- Montrer que : $(\forall x \in I \setminus \{-1\}) ; f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^3} \cdot g(x)$.
b- Vérifier que $f(\alpha) = \frac{1}{\alpha(\alpha + 2)}$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $D$.
5) a- Déterminer les points d'intersection de $(O; \vec{i})$ avec la courbe $(\mathscr{C}_f)$.
b- Tracer $(\mathscr{C}_f)$ (on prend : $\alpha \simeq 1,14$ et $f(\alpha) \simeq 0,28$).
On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $\begin{cases} u_1 = 1 \\ (\forall n \in \mathbb{N}^*) ; (u_{n+1})^2 = 4u_n \end{cases}$
1) Ecrire $u_2$ et $u_3$ en fonction de $2^\alpha$ où $\alpha \in \mathbb{Q}$.
2) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; v_n = \ln(u_n) - \ln(4)$.
a- Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b- En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
On considère les fonctions numériques $u$ et $v$ définies par : $u(x) = x - 1 - \ln x$ et $v(x) = \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{3}{2} + \ln(x)$.
1) a- Dresser les tableaux des variations des fonction $u$ et $v$.
b- En déduire que : $(\forall a \in ]0; +\infty[) ; a - \frac{a^2}{2} < \ln(1 + a) < a$.
2) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}^*$, on pose : $P_n = \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{k}{n^2}\right)$.
a- Montrer que :
$(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{1}{12} \frac{(n + 1)(2n + 1)}{n^3} < \ln(P_n) < \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)$.
b- En déduire $\lim_{n \to +\infty} P_n$.
On considère la fonction $f_n$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f_n(x) = x - n + \frac{n}{2} \ln(x)$ où $n \in \mathbb{N}^*$.
1) Dresser le tableau de variations de $f_n$.
2) a- Montrer que : $(\exists! \alpha_n \in ]0, +\infty[), f_n(\alpha_n) = 0$.
b- Montrer que : $1 \le \alpha_n < e^2$.
c- Vérifier que : $\ln(\alpha_n) = 2 - \frac{2}{n}\alpha_n$.
3) Ecrire $f_{n+1}(\alpha_n)$ en fonction de $\alpha_n$ et $n$, puis déduire que $\alpha_{n+1} > \alpha_n$.
4) a- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est convergente. On pose $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = \ell$.
b- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} \ln(\alpha_n)$.
1) On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.
a- Calculer $u_1, u_2$ et $u_3$.
b- Montrer que : $(\forall x \in ]0, +\infty[) ; \ln(1 + x) \le x \text{ et } \frac{x}{x + 1} \le \ln(1 + x)$.
En déduire que : $(\forall k \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{1 + k} \le \ln(1 + k) - \ln(k) \le \frac{1}{k}$.
c- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; u_{n+1} - 1 \le \ln(n + 1) \le u_n$ ; en déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \ln(1 + n) \le u_n \le 1 + \ln(n)$.
d- Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
2) On considère la suite numérique $(c_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{1\}) ; c_n = u_n - \ln(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)$.
a- Soit $n$ un entier tel que $n \ge 2$. Calculer $c_{n+1} - c_n$, et en déduire la monotonie de la suite $(c_n)$.
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}) ; c_n \le 1 + \ln(n - 1) - \ln(n)$.
c- En déduire que la suite $(c_n)$ est convergente (le nombre $\lim_{n \to +\infty} c_n = \gamma$, appelé la constante d'Euler et on a $\gamma \simeq 0,577215\dots$).
$n$ est un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = x + n(1 + \ln x)$.
1) a- Dresser le tableau de variations de la fonction $f_n$.
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* )(\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; f_n(\alpha_n) = 0$.
2) a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \frac{1}{e^2} < \alpha_n < \frac{1}{e}$.
b- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est convergente puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n$.
$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = nx^2 + \ln(x)$.
1) Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; (\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; f_n(\alpha_n) = 0$.
2) Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 2}$ est strictement décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
3) a- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; x - \frac{1}{2}\ln(x) > 0$.
b- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; \alpha_n < n^{-\frac{1}{4}}$, puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n$.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{\alpha_n} = 1$.
$n$ est un entier naturel.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = x - n\ln(x)$.
1) Montrer que si : $n \ge 3$ alors l'équation $f_n(x) = 0$ admet exactement 2 solutions $a_n$ et $b_n$ telles que : $0 < a_n < n < b_n$.
2) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} b_n$.
3) a- Montrer que : $(\forall n \ge 3) ; 1 < a_n < 2$.
b- Montrer que la suite $(a_n)_{n \ge 3}$ est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1$.
Soit $n$ est un élément de $\mathbb{N}^* \setminus \{1\}$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $f_n(x) = -x^2 + 2 + n\ln(x)$.
1) a- Calculer : $\lim_{x \to 0^+} f_n(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$.
b- Etudier les variations de $f_n$.
2) On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = x\ln x + 2 - x$.
a- Calculer $g'(x)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}^{*+}$ ; puis étudier les variations de $g$.
b- En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{*+}) ; g(x) > 0$.
3) a- Montrer que : $f_n\left(\sqrt{\frac{n}{2}}\right) > 0$.
b- En déduire que l'équation $f_n(x) = 0$ admet deux solutions $u_n$ et $v_n$ dans $\mathbb{R}^{*+}$ (On suppose que : $u_n < v_n$).
c- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} v_n$.
4) a- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; u_n \le 1$.
b- Vérifier que : $(\forall n \ge 2) ; f_{n+1}(u_n) = \ln(u_n)$.
c- Montrer que $(u_n)_{n \ge 2}$ est croissante et convergente.
d- Calculer : $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = x^2 \ln(1 + \frac{1}{x}) ; x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $x_0 = 0$.
b- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c- Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
2) Soit $u$ et $v$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $u(t) = t - \ln(1 + t)$ et $v(t) = t^2$.
a- Montrer que : $(\forall t > 0) ; (\exists c \in ]0; t[) ; \frac{u(t)}{v(t)} = \frac{u'(c)}{v'(c)}$.
Appliquer le théorème de Rolle sur l'intervalle $[0; t]$ ($t > 0$) à la fonction : $\varphi : x \mapsto u(t)v(x) - u(x)v(t)$.
b- En déduire que : $\lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln(1 + t)}{t^2} = \frac{1}{2}$.
3) Montrer que la droite d'équation : $y = x - \frac{1}{2}$ est une asymptote à la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
4) a- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f'(x) = x\left(2\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{1 + x}\right)$.
b- Montrer que : $(\forall x > 0) ; \ln(1 + \frac{1}{x}) > \frac{1}{1 + x}$.
En déduire que : $f'(x) > 0$ pour tout réel $x$ de $]0; +\infty[$.
c- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
5) a- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
b- Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $\ln(2)$ et calculer $(f^{-1})'(\ln 2)$.
c- Montrer que : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f^{-1}(x)}{x} = +\infty$.
d- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f^{-1}(x) > x$.
6) Tracer dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, la courbe $(\mathscr{C})$ et la courbe $(\mathscr{C}')$ de $f^{-1}$.
A/ 1) Montrer que : $(\forall x > -1) ; x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3(x + 1)} \le \ln(1 + x) \le x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$.
2) Montrer que : $\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1 + x)}{x^2} = \frac{1}{2}$.
B/ On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{x}{\ln(1 + x)} ; x \neq -1 \text{ et } x \neq 0 \\ f(0) = 1 \text{ et } f(-1) = 0 \end{cases}$
Soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[-1; +\infty[$.
b- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $-1$ puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c- Montrer que la fonction $f$ est dérivable en $0$, puis déterminer une équation de tangente à la courbe $(\mathscr{C})$ au point $A(0; 1)$.
2) a- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
b- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur les intervalles $]-1; 0[$ et $]0; +\infty[$ puis calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]-1; 0[ \cup ]0; +\infty[$.
3) a- Montrer que : $(\forall x > -1) ; (x + 1)\ln(x + 1) - x \ge 0$.
b- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
c- Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.
4) Soit $(u_n)_{n \ge 0}$ la suite définie par : $\begin{cases} u_0 = e \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$
a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_n > e - 1$.
b- Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
c- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = e - 1$.
I/ On considère la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = -x\ln(x) + 2x - 2$.
1) Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$.
2) Montrer que $g$ est strictement croissante sur $]0; e]$ et strictement décroissante sur $[e; +\infty[$.
3) a- Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]e; +\infty[$ et que $4 < \alpha < 5$ (On donne : $\ln 2 < \frac{3}{4}$ et $\ln 5 > \frac{8}{5}$).
b- En déduire que $g$ est positive sur $[1; \alpha]$ et négative sur $]0; 1]$ et sur $[\alpha; +\infty[$ (Remarquer que : $g(1) = 0$).
II/ Soit la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f(x) = \frac{\ln^2(x)}{x - 1} ; x \neq 1 \\ f(1) = 0 \end{cases}$
1) a- Montrer que $f$ est continue en 1.
b- Montrer que $f$ est dérivable en 1.
2) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
3) a- Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[ \setminus \{1\}) ; f'(x) = \frac{\ln(x)}{x(x - 1)^2} \times g(x)$.
b- Montrer que : $f(\alpha) = 4\frac{(\alpha - 1)}{\alpha^2}$.
c- Montrer que : $f(\alpha) \in ]0; 1[$.
d- Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]0; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha; +\infty[$.
III/ Soit $F$ la fonction primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$ telle que : $F(\alpha) = \alpha$.
1) Montrer que $F$ est strictement décroissante sur $]0; 1]$ et strictement croissante sur $[1; +\infty[$.
2) Montrer que : $(\forall x \in ]0; \alpha]) ; F(x) \ge x$.
3) Montrer que : $(\exists c \in ]1; \alpha[) ; \alpha - F(1) = f(c)(\alpha - 1)$.
4) On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = c$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : $u_{n+1} = F(u_n)$.
a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; c \le u_n \le \alpha$.
b- Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante, en déduire qu'elle est convergente.
c- En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : $(\forall (x; y) \in ([c; \alpha])^2) ; |F(x) - F(y)| \le f(\alpha)|x - y|$.
d- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; |u_n - \alpha| \le (f(\alpha))^n(\alpha - c)$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f_n(x) = x^n \cdot \ln(x) ; x > 0 \\ f_n(0) = 0 \end{cases}$
Soit $(C_n)$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable à droite en 0.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f_n(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f_n(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a- Calculer $f_n'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f_n$.
b- Etudier la position relative des courbes $(C_n)$ et $(C_{n+1})$.
c- Tracer, dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, les courbes $(C_1)$ et $(C_2)$ en précisant la tangente au point $O$ et la tangente au point $A(1; 0)$.
3) a- Montrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, il existe un unique réel $x_n$ dans l'intervalle $]0; +\infty[$ tel que : $f_n(x_n) = 1$.
b- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; f_{n+1}(x_n) > 1$.
c- En déduire que la suite $(x_n)_{n \ge 2}$ est strictement décroissante et qu'elle est convergente.
4) On pose : $b_n = x_n^n$ pour tout $n \ge 2$.
a- Montrer que : $(\forall n \ge 2) ; b_n \cdot \ln(b_n) = n$.
b- Montrer que : $(\forall x \in [1; +\infty[) ; x - 1 \le x\ln(x)$.
c- En déduire que : $(\forall n \ge 2) ; 1 < b_n \le n + 1$.
5) a- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n+1} = 1$.
b- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} x_n = 1$.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f(x) = \sqrt{x}(\ln(x))^2 ; x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $x_0 = 0$.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, puis donner la nature de la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
2) a- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$, et que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f'(x) = \frac{\ln(x)(\ln(x) + 4)}{2\sqrt{x}}$.
c- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
d- Montrer que : $(\forall x \in [0; 1]) ; 0 \le f(x) \le \left(\frac{4}{e}\right)^2$.
3) a- Montrer que : $f''(x) = \frac{1}{4x\sqrt{x}}(8 - (\ln x)^2)$ pour tout $x$ de $]0; +\infty[$.
b- Etudier la concavité de la courbe $(\mathscr{C})$ et montrer qu'elle admet deux points d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
4) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1; +\infty[$.
a- Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ et calculer $(g^{-1})'(e)$.
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) (\exists! \alpha_n \in ]0; +\infty[) ; g^{-1}(\alpha_n) = \frac{1}{n} + e$.
c- Montrer que la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
d- Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} \alpha_n = \sqrt{e}$.
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $\begin{cases} f(x) = x(1 + \ln^2(x)) ; x > 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $f$ est continue à droite en $x_0 = 0$.
b- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$, puis donner la nature de la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
c- Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a- Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$, et que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f'(x) = (1 + \ln x)^2$.
b- Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
c- Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(\mathscr{C})$ au point d'abscisse $e$.
d- Montrer que : $f([e^{-1}; e]) \subset [e^{-1}; e]$.
3) a- Etudier la concavité de la courbe $(\mathscr{C})$ et déterminer ses points d'inflexion s'ils existent.
b- Etudier la position relative de la courbe $(\mathscr{C})$ par rapport à la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$.
4) a- Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$.
b- Tracer, dans le même repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$, la courbe $(\mathscr{C})$ et la courbe $(\Gamma)$ de $f^{-1}$.
5) Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que : $e^{-1} < a < b$.
Montrer que : $-1 + \ln^2(ea) < \frac{b\ln^2(b) - a\ln^2(a)}{b - a} < -1 + \ln^2(eb)$.
II/ On considère la suite $(u_n)$ définie sur : $\begin{cases} u_0 = e^{-1} \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$
1) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; e^{-1} \le u_n \le 1$.
2) Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante et en déduire qu'elle est convergente.
3) Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.
On considère la fonction $f$ définie sur $]-1 ; +\infty[$ par : $\begin{cases} f(x) = \frac{\ln(1 + x)}{x} ; x \neq 0 \\ f(0) = 1 \end{cases}$
et $(C)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
Partie 1 :
1) Montrer que $f$ est continue sur $]-1 ; +\infty[$.
2) Soit $k$ un nombre réel non nul tel que : $|k| \le \frac{1}{2}$ et $g$ la fonction définie sur l'intervalle $I = [-|k| ; |k|]$ par : $g(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{x^2}{2}$.
a- Montrer que $g$ est dérivable sur l'intervalle $I$ et que : $(\forall x \in I) ; g'(x) = \frac{x^2}{1 + x}$.
b- En déduire que : $(\forall x \in I) ; |g(x)| \le 2k^2$.
c- Montrer que : $\left|\ln(1 + k) - k + \frac{k^2}{2}\right| \le 2|k|^3$.
3) Montrer que la fonction $f$ est dérivable en 0 et $f'(0) = -\frac{1}{2}$.
4) Calculer $\lim_{x \to -1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et donner une interprétation géométrique de chaque résultat.
5) a- Montrer que : $(\forall x \in ]-1 ; +\infty[) ; \frac{x}{x + 1} \le \ln(1 + x)$.
b- Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-1 ; +\infty[$.
6) Tracer $(C)$.
Partie 2 :
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1) Montrer que : $\left(\lim_{n \to +\infty} (u_n) = \ell\right) \iff \left(\lim_{n \to +\infty} (x_n) = \ell \text{ et } \lim_{n \to +\infty} (y_n) = \ell\right)$.
2) Soit $(v_n)$ une suite numérique décroissante ayant pour limite 0.
a) On suppose que : $u_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k v_k$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$.
Montrer que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont adjacentes. Que peut-on déduire ?
b) Montrer que la suite numérique $(a_n)$ définie par : $a_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}$ est convergente.
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[-\frac{1}{2}; +\infty\right[$ par :
$\begin{cases} g(x) = 2x - (1 + 2x)\ln(1 + 2x) ; x \neq -\frac{1}{2} \\ g\left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \end{cases}$
Soit $(C)$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a- Montrer que la fonction $g$ est continue à droite en $-\frac{1}{2}$.
b- Etudier la dérivabilité de la fonction $g$ à droite en $-\frac{1}{2}$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c- Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x) ; \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x}$, interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a- Montrer que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left]-\frac{1}{2}; +\infty\right[$.
b- Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
c- Tracer la courbe $(C)$.
3) Soit $h$ la restriction de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.
a- Montrer que la fonction $h$ réalise une bijection de l'intervalle $[0; +\infty[$ vers l'intervalle $]-\infty ; 0]$.
b- Montrer que la fonction $h^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$.
c- Etudier la dérivabilité de la fonction $h^{-1}$ à gauche en 0.
d- Tracer la courbe de la fonction $h^{-1}$ dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
4) a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; (\exists! \alpha_n \in ]-\infty ; 0[) ; h^{-1}(\alpha_n) = \frac{1}{n}$.
b- Déterminer la monotonie de la suite $(\alpha_n)_{n \ge 1}$, puis en déduire qu'elle est convergente.
c- Calculer $\lim_{n \to +\infty} n\alpha_n$.
Partie 2 :
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = \left[-\frac{1}{2}; +\infty\right[$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{\ln(1 + 2x)}{x} ; x \neq 0 \\ f(0) = 2 \end{cases}$
Soit $(\Gamma)$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) Montrer que la fonction $f$ est continue en 0.
2) Pour tout réel non nul $a$ de l'intervalle $I$, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $I$ par :
$h_a(x) = (\ln(1 + 2a) - 2a)x^2 - (\ln(1 + 2x) - 2x)a^2$
a- Calculer $h_a(0), h_a(a)$, puis en déduire qu'il existe un réel $b$ compris strictement entre 0 et $a$ tels que : $\frac{\ln(1 + 2a) - 2a}{a^2} = -\frac{2}{1 + 2b}$.
b- En déduire que la fonction $f$ est dérivable en 0 et que $f'(0) = -2$.
3) a- Montrer que la fonction $f$ est dérivable en tout point de $I \setminus \{0\}$ et que : $(\forall x \in I \setminus \{0\}) ; f'(x) = \frac{g(x)}{x^2(1 + 2x)}$.
b- Calculer $\lim_{x \to -1/2^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, interpréter les résultats obtenus.
c- Montrer qu'il existe un réel unique $\alpha$ de l'intervalle $[1 ; 2]$ tel que : $f(\alpha) = 1$.
d- Tracer la courbe $(\Gamma)$ (on prend $\alpha \simeq 1,3$).
Partie 3 :
1) On pose : $(\forall x \in I) ; \varphi(x) = \ln(1 + 2x)$ et $J = [1 ; \alpha]$
a- Montrer que la fonction $\varphi$ est dérivable sur $I$ et que : $(\forall x \ge 1) ; 0 < \varphi'(x) \le \frac{2}{3}$.
b- Vérifier que : $\varphi(\alpha) = \alpha$ et que : $\varphi(J) \subset J$.
2) On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par : $\begin{cases} u_0 = 1 \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = \ln(1 + 2u_n) \end{cases}$
a- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_n \in J$
b- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; |u_{n+1} - \alpha| \le \frac{2}{3}|u_n - \alpha|$
c- Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; |u_n - \alpha| \le \left(\frac{2}{3}\right)^n$
d- En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
condition : \( u(x) > 0 \)
Règle : \( \ln(u(x)) \) est définie si et seulement si \( u(x) > 0 \).
formule : \( (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \)
Règle : Si \( u \) est dérivable et \( u(x)>0 \), alors \( \left(\ln(u(x))\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)} \).
à connaître par cœur
ln "l'emporte" moins vite
strictement croissante sur \( ]0;+\infty[ \)
\( \ln x \) est concave sur \( ]0;+\infty[ \)
dérivée : \( x^{n-1}(n\ln x + 1) \)
primitives usuelles
utilisation de \( \ln \) pour les suites
intégration par parties
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