1. L'ensemble $\mathbb{C}$

On admet qu'il existe un ensemble noté $\mathbb{C}$, ses éléments s'appellent des nombres complexes qui vérifie :

On définit dans l'ensemble $\mathbb{C}$ deux opérations appelées la somme et le produit et qui prolongent la somme et le produit dans $\mathbb{R}$.

• • L'ensemble $\mathbb{C}$ contient un nombre non réel noté $i$ et qui vérifie : $i^2 = -1$.
• • Tout nombre complexe $Z$ s'écrit et de façon unique comme : $Z = a + ib$ où $a$ et $b$ sont des réels.
• - Le réel $a$ est la partie réelle du nombre complexe $Z$, on écrit $a = \text{Re}(Z)$.
• - Le réel $b$ est la partie imaginaire du nombre complexe $Z$, on écrit $b = \text{im}(Z)$.
• • L'écriture $Z = a + ib$ s'appelle l'écriture algébrique du nombre complexe $Z$.
• • L'ensemble des nombres de la forme $ib$ ($b \in \mathbb{R}$) s'appelle l'ensemble des nombres imaginaires purs, noté $i\mathbb{R}$.

2. Relations algébriques :

1. Calculer $i^3, i^4, i^5, i^{2022}$, déduire $i^{4k}, i^{4k+1}, i^{4k+2}, i^{4k+3}$.
2. Écrire sous la forme algébrique les nombres : $Z_1 = \frac{2+3i}{1+2i}$ et $Z_2 = \frac{(1-i)^3}{(2+i)(3-2i)}$.
3. Calculer $1 + i + i^2 + \dots + i^{2022}$.

1) $i^3 = i^2 \times i = -i$ ; $i^5 = i^4 \times i^1 = 1 \times i = i$ ; $i^4 = i^2 \times i^2 = 1$ ; $i^{2022} = (i^2)^{1011} = (-1)^{1011} = -1$ ($1011$ est impair).

2) $Z_1 = \frac{2+3i}{1+2i} = \frac{(2+3i)(1-2i)}{5} = \frac{2-4i+3i-6i^2}{5} = \frac{8-i}{5} = \frac{8}{5} - \frac{1}{5}i$

$Z_2 = \frac{(1-i)^3}{(2+i)(3-2i)} = \frac{(1-i)^3(2-i)(3+2i)}{(4-i^2)(9-4i^2)} = \frac{(1-i)^3(2-i)(3+2i)}{70} = \frac{(1-3i-3+i)(2-i)(3+2i)}{70} = -\frac{14}{65} - \frac{18}{65}i$

3) $1 + i + i^2 + \dots + i^{2022} = \left(\frac{1-i^{2023}}{1-i}\right) \times 1 = \frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{2} = i$

1. Factoriser $2x^2 + 5$.
2. Résoudre $2x^2 + 5 = 0$.

1) $2x^2 + 5 = 2x^2 - i^2 5 = (\sqrt{2}x - i\sqrt{5})(\sqrt{2}x + i\sqrt{5})$

2) $(\sqrt{2}x - i\sqrt{5}) = 0 \quad$ ou $\quad \sqrt{2}x + i\sqrt{5} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{i\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \quad$ ou $\quad x = \frac{-i\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

1- $3z^2 + 2iz - 3z + 2i = (z+2i)(3z-1) + 2i$

2- $P(-2i) = 0 + 2i = 2i \neq 0$. Donc $(-2i)$ n'est pas une racine de $P$.

Le plan $P$ est rapporté orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$. On considère l'application $f : \mathbb{C} \to P$.

Cette application est bijective : $Z = a + ib \mapsto f(Z) = M(a, b)$.

• • Le point $M(a, b)$ s'appelle l'image de $Z$.
• • $Z$ s'appelle l'affixe de $M(a, b)$, on le note $\text{aff}(M)$ ou $Z_M$.
• • L'axe des abscisses s'appelle l'axe des réels et l'axe des ordonnées s'appelle l'axe des imaginaires.

Affixe du milieu d'un segment :

Démonstration : On a $I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Donc : $Z_I = \frac{x_A+x_B}{2} + i \left(\frac{y_A+y_B}{2}\right) = \frac{x_A+iy_A + x_B+iy_B}{2} = \frac{Z_A+Z_B}{2}$.

Affixe d'un vecteur :

Soit $\vec{u}(a, b)$ un vecteur de $V$ (l'ensemble des vecteurs dans le plan). Le nombre complexe $Z = a + ib$ s'appelle l'affixe de $\vec{u}$, on le note $\text{aff}(\vec{u})$ ou $Z_{\vec{u}}$.

Démonstration :

• - On a $\vec{u}(a, b)$ et $\vec{v}(a', b')$ et $\vec{u}+\vec{v}(a+a', b+b')$. Donc : $Z_{\vec{u}+\vec{v}} = (a+a') + i(b+b') = (a+ib) + (a'+ib') = Z_{\vec{u}} + Z_{\vec{v}}$.
• - On a si $\vec{u}(a, b)$ alors $K\vec{u}(Ka, Kb)$. Donc $Z_{K\vec{u}} = Ka + iKb = K(a+ib) = K Z_{\vec{u}}$.
• - On a $A(x, y)$ et $B(x', y') \Rightarrow \vec{AB}(x'-x, y'-y)$. Donc $Z_{\vec{AB}} = (x'-x) + i(y'-y) = (x'+iy') - (x+iy) = Z_B - Z_A$.

Affixe du barycentre :

On a $G = \text{bary}\{(A_1, \alpha_1) ; \dots ; (A_n, \alpha_n)\}$. Montrons que $Z_G = \frac{\sum_{k=1}^n \alpha_k Z_{A_k}}{\sum_{k=1}^n \alpha_k}$.

Démonstration :

Trois points alignés :

Démonstration : $A, B$ et $C$ alignés $\iff \exists K \in \mathbb{R} / \vec{AC} = K \vec{AB} \iff Z_{\vec{AC}} = Z_{K\vec{AB}} \iff Z_C - Z_A = K(Z_B - Z_A) \iff \frac{Z_C - Z_A}{Z_B - Z_A} = K \in \mathbb{R}$.

1. Racines carrées d'un nombre complexe :

a- Définition : Soit $Z$ un nombre complexe non nul. On dit que $z$ est une racine carrée de $Z$ sssi $z^2 = Z$.
Exemple : $(1+i)^2 = 2i$ donc $1+i$ est une racine carrée de $2i$ ; $(i)^2 = -1$ donc $i$ est une racine carrée de $-1$.

b- Proposition : Les racines carrées d'un nombre complexe non nul sont opposées.
ex: les racines carrées de $Z=3+4i$. Soit $z^2 = 3+4i$. On pose $z = a+ib$ :

Exercices d'application :

• Déterminer les racines carrées de $Z = 5 + 12i$ :
$\begin{cases} a^2 - b^2 = 5 \\ a^2 + b^2 = \sqrt{25+144} = 13 \\ 2ab = 12 \end{cases} \Rightarrow 2a^2 = 18 \Rightarrow a = \pm 3$. Comme $ab = 6 > 0$, $a$ et $b$ ont le même signe, donc si $a=3, b=2$ et si $a=-3, b=-2$. $S = \{3+2i ; -3-2i\}$.

• Cas particuliers (astuces) :

• 1) $Z = -3 = (\sqrt{3}i)^2 \Rightarrow S = \{\sqrt{3}i ; -\sqrt{3}i\}$.
• 2) $Z = 5i = \frac{5}{2}(2i) = \frac{5}{2}(1+i)^2 = \left(\sqrt{\frac{5}{2}}(1+i)\right)^2$.
• 3) $Z = -8i = -4 \times 2i = 4(1-i)^2 = (2(1-i))^2 \Rightarrow S = \{2(1-i) ; -2(1-i)\}$.

2. Solutions de $aZ^2 + bZ + c = 0$ ($a \neq 0$) :

Soient $a, b, c$ trois nombres complexes ($a \neq 0$). On pose $\Delta = b^2 - 4ac$.

• • Si $\Delta = 0$, l'équation admet une solution double : $Z = \frac{-b}{2a}$.
• • Si $\Delta \neq 0$, alors $\Delta$ admet une racine carrée $\delta$ ($\delta^2 = \Delta$). Les solutions sont : $Z_1 = \frac{-b-\delta}{2a}$ et $Z_2 = \frac{-b+\delta}{2a}$.

Exercices : Résoudre dans $\mathbb{C}$

1) $Z^2 + Z + 1 = 0 \Rightarrow \Delta = 1 - 4 = -3 = (\sqrt{3}i)^2 \Rightarrow Z_1 = \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} ; Z_2 = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$.

2) $Z^2 + \sqrt{3}Z + i = 0 \Rightarrow \Delta = 3 - 4i = (2-i)^2 \Rightarrow Z_1 = \frac{-\sqrt{3}-(2-i)}{2} ; Z_2 = \frac{-\sqrt{3}+(2-i)}{2}$.

3) $Z^2 + (1+i)Z + 3i = 0 \Rightarrow \Delta = (1+i)^2 - 12i = 2i - 12i = -10i = 5(-2i) = 5(1-i)^2 = (\sqrt{5}(1-i))^2 \Rightarrow Z_1 = \frac{-(1+i)-\sqrt{5}(1-i)}{2} ; Z_2 = \frac{-(1+i)+\sqrt{5}(1-i)}{2}$.

Exercice (Équation de degré 3) :

Soit $(E) : P(Z) = Z^3 + (\sqrt{3}-i)Z^2 + (1-i\sqrt{3})Z - i = 0$.

1. Mq. l'équation $P(Z) = 0$ admet un imaginaire pur comme racine (on trouve $Z_0 = i$).
2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : On factorise par $(Z-i) \Rightarrow (Z-i)(Z^2 + \sqrt{3}Z + 1) = 0 \Rightarrow Z=i$ ou $Z^2+\sqrt{3}Z+1=0$ ($\Delta = -1 = i^2$), d'où $Z = \frac{-\sqrt{3} \pm i}{2}$.

1. Définition et Propriétés :

On pose $Z = a+ib$. Le nombre $a-ib$ s'appelle le conjugué de $Z$ et se note $\bar{Z}$.
Exemples : $\overline{2+3i} = 2-3i$ ; $\overline{-5i} = 5i$ ; $\overline{2} = 2$.

Exercice d'application :

1) $Z_1 = \frac{(2-i)(5+2i)}{(3-2i)^{10}} \Rightarrow \overline{Z_1} = \frac{(2+i)(5-2i)}{(3+2i)^{10}}$.

2) On pose $Z_2 = (2+i)^n + (2-i)^n$ et $Z_3 = (2+i)^n - (2-i)^n$. Montrer que $Z_2 \in \mathbb{R}$ et $Z_3 \in i\mathbb{R}$.
- On a $\overline{Z_2} = \overline{(2+i)^n} + \overline{(2-i)^n} = (2-i)^n + (2+i)^n = Z_2 \Rightarrow Z_2 \in \mathbb{R}$.
- On a $\overline{Z_3} = (2-i)^n - (2+i)^n = -Z_3 \Rightarrow Z_3 \in i\mathbb{R}$.

1. Définition et Propriétés :

Soit $Z = a+ib$. Le nombre $\sqrt{a^2+b^2}$ s'appelle le module de $Z$ et se note $|Z| = \sqrt{Z\bar{Z}}$.
Exemples : $|3+4i| = \sqrt{9+16} = 5$ ; $|-5i| = 5$ ; $|3| = 3$. Note : Dans $\mathbb{R}$, le module est la valeur absolue.

Exercice :

Soit $u \in \mathbb{C}$ tel que $|u| = 1$ et $u \neq -1$. Montrer que $\forall z \in \mathbb{C}, \frac{z+u\bar{z}}{1+u} \in \mathbb{R}$.
(On montre que le conjugué est égal au nombre lui-même en utilisant $\bar{u} = \frac{1}{u}$).

2. Interprétation géométrique :

Soient $A(Z_A)$ et $B(Z_B)$ deux points du plan. La distance $AB = |Z_B - Z_A|$.

• • Cercle : $M(Z) \in \mathcal{C}(\Omega, R) \iff \Omega M = R \iff |Z - Z_\Omega| = R$.
• • Médiatrice : $M(Z) \in \mathcal{D}$ (médiatrice de $[AB]$) $\iff AM = BM \iff |Z - Z_A| = |Z - Z_B|$.

Exemple : L'ensemble des points $M(Z)$ tels que $|Z - 1 - i| = |Z - 7 + 2i|$ est la médiatrice du segment $[AB]$ avec $Z_A = 1+i$ et $Z_B = 7-2i$. L'ensemble tels que $|Z - 3 + i| = 5$ est le cercle de centre $\Omega(3-i)$ et de rayon $R=5$.

1. Définition et Propriétés :

Soit $Z \in \mathbb{C}^*$ et $M(Z)$. La mesure de l'angle $(\vec{i}, \vec{OM})$ s'appelle l'argument de $Z$ et se note $\text{Arg}(Z) \equiv (\vec{i}, \vec{OM}) [2\pi]$.
Exemples : $\text{Arg}(2i) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ ; $\text{Arg}(-3i) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$ ; $\text{Arg}(-2) \equiv \pi [2\pi]$ ; $\text{Arg}(1-i) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$.

2. Mesure d'angles et géométrie :

• Angle d'un vecteur : $(\vec{i}, \vec{AB}) \equiv \text{Arg}(Z_B - Z_A) [2\pi]$.

• Angle entre deux vecteurs : $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \text{Arg}\left(\frac{Z_D - Z_C}{Z_B - Z_A}\right) [2\pi]$.

1. Définitions :

Soit $Z = a+ib \in \mathbb{C}^*$, de module $r = |Z|$ et d'argument $\theta \equiv \text{Arg}(Z) [2\pi]$.

• • Forme trigonométrique : $Z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = [r, \theta]$.
• • Forme exponentielle : On note $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, d'où $Z = r e^{i\theta}$.

2. Formules fondamentales :

Exercices (Factorisation de l'arc moitié / Linéarisation) :

• Montrer que $e^{i\theta} + 1 = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$ et $e^{i\theta} - 1 = 2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$.
(On factorise par $e^{i\frac{\theta}{2}}$ et on utilise les formules d'Euler).

• Linéariser $\cos^3 x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}(e^{i3x} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-i3x}) = \frac{1}{4}\cos(3x) + \frac{3}{4}\cos x$.

Soient $M(Z)$ un point et $M'(Z')$ son image par une transformation du plan.

• 1) Translation $t_{\vec{u}}$ de vecteur $\vec{u}(Z_{\vec{u}})$ :
  $t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \vec{MM'} = \vec{u} \iff Z' = Z + Z_{\vec{u}}$.
• 2) Homothétie $h(\Omega, k)$ de centre $\Omega(Z_\Omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ :
  $h(M) = M' \iff \vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M} \iff Z' = k Z + (1-k) Z_\Omega$.
• 3) Rotation $R(\Omega, \theta)$ de centre $\Omega(Z_\Omega)$ et d'angle $\theta$ :
  $R(M) = M' \iff \begin{cases} \Omega M = \Omega M' \\ (\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \theta [2\pi] \end{cases} \iff Z' = e^{i\theta} Z + (1-e^{i\theta}) Z_\Omega$.

1. Définition et Résolution de $z^n = Z$ :

Soit $Z = [r, \theta] = r e^{i\theta} \in \mathbb{C}^*$. On dit que $z$ est une racine $n^{\text{ème}}$ de $Z$ sssi $z^n = Z$.

Exemple : Racines cubiques ($n=3$) de $Z = 1+i = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$ :
$z_k = \sqrt[6]{2} e^{i\left(\frac{\pi/4 + 2k\pi}{3}\right)} = \sqrt[6]{2} e^{i\left(\frac{\pi + 8k\pi}{12}\right)}$ pour $k \in \{0, 1, 2\}$. On obtient $z_0 = \sqrt[6]{2} e^{i\frac{\pi}{12}}$, $z_1 = \sqrt[6]{2} e^{i\frac{3\pi}{4}}$ et $z_2 = \sqrt[6]{2} e^{i\frac{17\pi}{12}}$.

2. Propriétés des racines $n^{\text{èmes}}$ :

• • La somme des racines $n^{\text{èmes}}$ d'un nombre complexe est toujours nulle : $\sum_{k=0}^{n-1} z_k = 0$.
• • Les images des $n$ racines appartiennent toutes au cercle de centre $O$ et de rayon $R = \sqrt[n]{r}$.
• • Pour $n \geqslant 3$, les points images forment un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans ce cercle.
• • On obtient toutes les racines $n^{\text{èmes}}$ de $Z$ en multipliant l'une d'elles par les racines $n^{\text{èmes}}$ de l'unité ($1 = e^{i0}$).

Annexe - Ensembles de points usuels à retenir :

• 1) $\left\{M(z) / \frac{z - Z_A}{z - Z_B} \in \mathbb{R}\right\}$ est la droite $(AB)$ privée du point $B$.
• 2) $\left\{M(z) / \frac{z - Z_A}{z - Z_B} \in i\mathbb{R}\right\}$ est le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point $B$.
• 3) $\{M(z) / \text{Arg}(z) \equiv \theta [2\pi]\}$ est la demi-droite d'origine $O$ et d'angle $\theta$ avec $\vec{i}$, privée de $O$.
• 4) $\{M(z) / \text{Arg}(z) \equiv \theta [\pi]\}$ est la droite passant par $O$ et d'angle $\theta$ avec $\vec{i}$, privée de $O$.

Leçon 4

Nombres Complexes

Fiche de Résumé

• 🔸 $i$ est une solution de l'équation $x^2 + 1 = 0$ dans l'ensemble $\mathbb{C}$.
• 🔸 Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme $z = a + bi$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
• 🔸 Cette forme $a + bi$ est appelée la forme algébrique du nombre complexe $z$.
• 🔸 Le réel $a$ est appelé la partie réelle de $z$ et notée : $\text{Re}(z)$.
• 🔸 Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ et notée : $\text{Im}(z)$.
• 🔸 Si $a = 0$ alors $z = bi$, on dit dans ce cas : $z$ est imaginaire pur.
• 🔸 L'ensemble des nombres imaginaires purs se note $i\mathbb{R}$ et on a : $i\mathbb{R} = \{bi \mid b \in \mathbb{R}\}$.

Égalité de deux nombres complexes

Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes :

$z = z' \iff \begin{cases} \text{Re}(z) = \text{Re}(z') \\ \text{Im}(z) = \text{Im}(z') \end{cases}$

En particulier : $a + bi = 0 \iff a = b = 0$ (où $a$ et $b$ sont deux nombres réels).

C'est-à-dire : $z = 0 \iff \text{Re}(z) = 0 \text{ et } \text{Im}(z) = 0$.

L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

Soit $z = a + bi$ et $z' = a' + b'i$ où $a; b; a'$ et $b'$ sont des réels.

II · Conjugué d’un nombre complexe forme algébrique & propriétés

Pour tous \( z, z' \in \mathbb{C} \) :

III · Représentation géométrique d’un nombre complexe plan complexe · affixe · vecteurs

Méthode 1 · Les trois formes d'un complexe

algébrique · trigonométrique · exponentielle

• Forme algébrique : \( z = x + iy \) avec \( x,y \in \mathbb{R} \). \( \Re(z)=x \), \( \Im(z)=y \).
• Forme trigonométrique : \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \) avec \( r>0 \), \( \theta \in \mathbb{R} \).
• Forme exponentielle : \( z = r e^{i\theta} \) avec \( r>0 \), \( \theta \in \mathbb{R} \).
• Passage : \( r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} \), \( \cos\theta=\dfrac{x}{r} \), \( \sin\theta=\dfrac{y}{r} \).

Méthode 2 · Module et conjugué

propriétés fondamentales

• Conjugué : \( \overline{z} = x - iy \). \( z\overline{z} = |z|^2 \).
• Module : \( |z| = \sqrt{z\overline{z}} \). \( |z|^2 = x^2+y^2 \).
• Propriétés :
  • \( |z_1 z_2| = |z_1||z_2| \)
  • \( \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} \)
  • \( \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2} \)
  • \( \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1}\overline{z_2} \)

Méthode 3 · Argument d'un complexe

\( \arg(z) = \theta \mod 2\pi \)

• Définition : \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \). \( \arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi} \).
• Propriétés :
  • \( \arg(z_1 z_2) \equiv \arg(z_1)+\arg(z_2) \pmod{2\pi} \)
  • \( \arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) \equiv \arg(z_1)-\arg(z_2) \pmod{2\pi} \)
  • \( \arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \pmod{2\pi} \)
  • \( \arg(-z) \equiv \arg(z)+\pi \pmod{2\pi} \)

• Valeurs particulières : \( \arg(1)=0 \), \( \arg(i)=\frac{\pi}{2} \), \( \arg(-1)=\pi \), \( \arg(-i)=-\frac{\pi}{2} \).

Méthode 4 · Équations dans \( \mathbb{C} \)

\( az^2+bz+c=0 \) · \( z^n = a \)

• Équation du second degré : \( az^2+bz+c=0 \). \( \Delta = b^2-4ac \).
• Si \( \Delta \in \mathbb{C} \) : les racines sont \( z_{1,2}=\dfrac{-b \pm \delta}{2a} \) où \( \delta^2=\Delta \).
• Équation \( z^n = a \) : \( a = \rho e^{i\theta} \). Les solutions sont \( z_k = \rho^{1/n} e^{i(\theta+2k\pi)/n} \), \( k=0,\dots,n-1 \).
• Racines \( n \)-ièmes de l'unité : \( z^n=1 \) → \( z_k = e^{2ik\pi/n} \).

Méthode 5 · Formules de Moivre et d'Euler

linéarisation · exponentielle

• Formule de Moivre : \( (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \).
• Formules d'Euler :
  • \( \cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \)
  • \( \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} \)

• Linéarisation : utiliser les formules d'Euler pour exprimer \( \cos^n\theta \) ou \( \sin^n\theta \) en somme de cosinus/sinus.

Méthode 6 · Transformations du plan complexe

translation · homothétie · rotation

• Translation : \( z' = z + b \) (vecteur \( \overrightarrow{OM} \)).
• Homothétie : \( z' = kz \) (\( k\in\mathbb{R}^* \), centre O).
• Rotation : \( z' = e^{i\theta} z \) (angle \( \theta \), centre O).
• Similitude directe : \( z' = az + b \) avec \( a\in\mathbb{C}^* \), \( b\in\mathbb{C} \).
• Similitude indirecte : \( z' = a\overline{z} + b \).

Méthode 7 · Racines \( n \)-ièmes d'un complexe

\( z^n = a \)

• Méthode : écrire \( a = \rho e^{i\theta} \).
• Solutions : \( z_k = \rho^{1/n} e^{i(\theta+2k\pi)/n} \), \( k=0,1,\dots,n-1 \).
• Propriété : les \( n \) racines forment un polygone régulier de centre O.
• Cas particulier : racines \( n \)-ièmes de l'unité (\( a=1 \)) : \( z_k = e^{2ik\pi/n} \).

Méthode 8 · Interprétation géométrique

distances · angles

• Distance : \( AB = |z_B - z_A| \).
• Angle : \( \arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_D}\right) = \angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \).
• Alignement : A, B, C alignés ⇔ \( \dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A} \in \mathbb{R} \).
• Orthogonalité : \( \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD} \) ⇔ \( \dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C} \in i\mathbb{R} \).

Méthode 9 · Lieux géométriques dans le plan complexe

cercles · droites · médiatrices

• Cercle : \( |z-a| = r \) (cercle de centre \( a \), rayon \( r \)).
• Disque : \( |z-a| \le r \).
• Médiatrice : \( |z-a| = |z-b| \) (droite perpendiculaire à \( [AB] \)).
• Droite : \( z = a + t b \), \( t\in\mathbb{R} \) ou \( \arg(z-a) \equiv \theta \pmod{\pi} \).
• Demi-plan : \( \arg(z-a) \in [\alpha,\beta] \).

Méthode 10 · Factorisation \( z^n - a^n \)

racines \( n \)-ièmes

• Formule : \( z^n - a^n = \prod_{k=0}^{n-1} (z - a e^{2ik\pi/n}) \).
• Cas \( a=1 \) : \( z^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (z - e^{2ik\pi/n}) \).
• Somme géométrique : \( 1+z+\cdots+z^{n-1} = \dfrac{z^n-1}{z-1} \) pour \( z\neq1 \).

Devoir Surveillé N°1

Exercice 1 · (2 points) – Facile

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique \( x+iy \) :

1. \( z_1 = (2+3i)(1-4i) \)
2. \( z_2 = \dfrac{1+2i}{3-i} \)
3. \( z_3 = i^{2025} \)

Exercice 2 · (2 points) – Facile

Soit \( z = 2 - 2i \).

1. Calculer \( |z| \) et \( \arg(z) \).
2. Donner la forme trigonométrique et exponentielle de \( z \).
3. Calculer \( z^4 \) sous forme algébrique.

Exercice 3 · (2 points) – Facile

Résoudre dans \( \mathbb{C} \) les équations suivantes :

1. \( z^2 + 4z + 13 = 0 \)
2. \( z^2 = -9 \)
3. \( z^3 = 1 \) (donner les trois solutions sous forme exponentielle)

Exercice 4 · (3 points) – Moyen

On considère les nombres complexes : \( z_1 = \sqrt{3} + i \) et \( z_2 = 1 - i \).

1. Déterminer le module et l'argument de \( z_1 \) et \( z_2 \).
2. En déduire la forme trigonométrique de \( z_1 z_2 \) et \( \dfrac{z_1}{z_2} \).
3. En déduire les valeurs exactes de \( \cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) \) et \( \sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) \).

Exercice 5 · (3 points) – Moyen

Soit \( z = \cos\theta + i\sin\theta \) avec \( \theta \in \mathbb{R} \).

1. Montrer que \( z + \dfrac{1}{z} = 2\cos\theta \).
2. En déduire que \( \cos^3\theta = \dfrac{1}{4}\cos(3\theta) + \dfrac{3}{4}\cos\theta \).
3. Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation \( z^5 = 1 \). Représenter les solutions dans le plan complexe.

Exercice 6 · (3 points) – Moyen

Dans le plan complexe, on considère les points \( A, B, C \) d'affixes respectives :

\( z_A = 1+i \), \( z_B = 3+2i \), \( z_C = 2-3i \).

1. Calculer les distances \( AB \), \( AC \) et \( BC \).
2. Montrer que le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \).
3. Déterminer l'affixe du point \( D \) tel que \( ABCD \) soit un carré.

Exercice 7 · (3 points) – Moyen

Soit \( z = \dfrac{1+i\tan\theta}{1-i\tan\theta} \) où \( \theta \in \mathbb{R} \).

1. Montrer que \( z = e^{2i\theta} \).
2. En déduire que \( \dfrac{1+i\tan\theta}{1-i\tan\theta} = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta) \).
3. Déterminer \( z \) pour \( \theta = \dfrac{\pi}{6} \).

Exercice 8 · (4 points) – Difficile

Soit \( z \) un nombre complexe non nul. On pose \( Z = z + \dfrac{1}{z} \).

1. Montrer que si \( |z| = 1 \), alors \( Z \in \mathbb{R} \).
2. Réciproquement, montrer que si \( Z \in \mathbb{R} \), alors \( |z| = 1 \) ou \( z \in \mathbb{R}^* \).
3. Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation : \( z^4 - 4z^3 + 6z^2 - 4z + 1 = 0 \).
   (Indice : diviser par \( z^2 \) et poser \( Z = z + \dfrac{1}{z} \))

Exercice 9 · (4 points) – Difficile

On considère l'équation : \( z^3 - (2+i)z^2 + (1+2i)z - i = 0 \).

1. Vérifier que \( z = i \) est une solution de l'équation.
2. Déterminer les deux autres solutions de l'équation.
3. Soient \( z_1, z_2, z_3 \) les trois solutions. Montrer que \( z_1 + z_2 + z_3 = 2+i \).
4. Dans le plan complexe, on note \( A, B, C \) les points d'affixes respectives les solutions. Montrer que le triangle \( ABC \) est isocèle.

Exercice 10 · (4 points) – Difficile

Soit \( \omega = e^{2i\pi/5} \) une racine cinquième de l'unité.

1. Montrer que \( 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0 \).
2. En déduire que \( \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) + \cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) = -\dfrac{1}{2} \).
3. Montrer que \( \cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4} \) et \( \cos\left(\dfrac{4\pi}{5}\right) = -\dfrac{\sqrt{5}+1}{4} \).
   (Indice : poser \( X = \cos(2\pi/5) \) et utiliser \( \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 \))
4. En déduire les valeurs exactes de \( \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right) \) et \( \sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right) \).

Devoir Surveillé N°2

Exercice 1 · (3 points)

Soit \( z = 1 + i\sqrt{3} \).

1. Déterminer la forme exponentielle de \( z \).
2. En déduire la forme exponentielle de \( z^{2025} \).
3. Déterminer les racines carrées de \( z \) sous forme exponentielle.
4. Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation : \( Z^2 = z \).

Exercice 2 · (4 points)

On considère l'équation : \( z^3 - (1+2i)z^2 + (1+3i)z - 2i = 0 \).

1. Vérifier que \( z = 2i \) est une solution de l'équation.
2. Déterminer les deux autres solutions \( z_2 \) et \( z_3 \).
3. Soient \( A, B, C \) les points d'affixes respectives les trois solutions. Montrer que le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \).
4. Déterminer l'affixe du point \( D \) tel que \( ABCD \) soit un rectangle.

Exercice 3 · (4 points)

Dans le plan complexe, on considère les points \( A, B, C, D \) d'affixes respectives :

\( z_A = 2+3i \), \( z_B = 5+i \), \( z_C = 3-2i \), \( z_D = 0+? \) (à déterminer).

1. Montrer que le quadrilatère \( ABCD \) est un carré.
2. Déterminer l'affixe du point \( D \).
3. Calculer l'affixe du centre \( I \) du carré \( ABCD \).
4. Déterminer l'image du point \( A \) par la rotation de centre \( I \) et d'angle \( \dfrac{\pi}{2} \).

Exercice 4 · (4 points)

Soit \( \theta \in \mathbb{R} \). On pose \( z = \dfrac{e^{i\theta}}{1+e^{i\theta}} \).

1. Montrer que \( z = \dfrac{1}{2}\left(1 + i\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\right) \).
2. En déduire que \( \Re(z) = \dfrac{1}{2} \) pour tout \( \theta \).
3. Déterminer l'ensemble des points \( M \) d'affixe \( z \) lorsque \( \theta \) décrit \( \mathbb{R} \).
4. Calculer \( |z|^2 \) en fonction de \( \theta \).

Exercice 5 · (5 points)

On considère l'équation : \( z^4 - 2z^3 + 4z^2 - 2z + 1 = 0 \).

1. Vérifier que \( z=0 \) n'est pas solution. Diviser l'équation par \( z^2 \).
2. Poser \( w = z + \dfrac{1}{z} \). Montrer que l'équation devient \( w^2 - 2w + 2 = 0 \).
3. Résoudre cette équation en \( w \), puis en déduire les solutions de l'équation initiale.
4. Soient \( z_1, z_2, z_3, z_4 \) les solutions. Montrer que \( \prod_{k=1}^{4} z_k = 1 \).
5. Dans le plan complexe, placer les points \( M_k \) d'affixes \( z_k \). Quelle est la nature du quadrilatère formé ?

Exercice 6 · (5 points)

Soit \( a \in \mathbb{C}^* \). On considère la transformation \( T \) du plan complexe définie par :

\( z' = \dfrac{z + a}{z - a} \).

1. Montrer que \( T \) est une bijection de \( \mathbb{C}\setminus\{a\} \) vers \( \mathbb{C}\setminus\{1\} \).
2. Soit \( |a| = 1 \). Montrer que si \( |z| = 1 \), alors \( |z'| = 1 \).
3. Réciproquement, si \( |z'| = 1 \), montrer que \( |z| = 1 \) ou \( z = a \).
4. Déterminer l'image du cercle unité par \( T \).
5. Application : déterminer l'image de l'axe réel par \( T \).

Exercice 7 · (5 points)

Soit \( \omega = e^{2i\pi/7} \). On considère la somme :

\( S = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^6 \).

1. Montrer que \( S = 0 \).
2. En déduire que \( 1 + 2\cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) + 2\cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) + 2\cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right) = 0 \).
3. Montrer que \( \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\dfrac{4\pi}{7}\right) + \cos\left(\dfrac{6\pi}{7}\right) = -\dfrac{1}{2} \).
4. En posant \( X = \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \), établir que \( 8X^3 + 4X^2 - 4X - 1 = 0 \).
5. En déduire la valeur exacte de \( \cos\left(\dfrac{2\pi}{7}\right) \).

Exercice 8 · (5 points)

Soit \( f \) l'application du plan complexe définie par : \( f(z) = z^2 - 2z + 2 \).

1. Déterminer les points fixes de \( f \).
2. Montrer que \( f(z) - 1 = (z-1)^2 \).
3. En déduire que \( f \) est une application contractante sur le disque \( D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z-1| < 1 \} \).
4. On considère la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 0 \) et \( u_{n+1} = f(u_n) \). Montrer que \( u_n \to 1 \).
5. Déterminer le rayon de convergence de la série entière \( \sum u_n z^n \).

Exercice 9 · (4 points)

Soit \( z \) un nombre complexe tel que \( |z| = 1 \). On pose \( Z = z^2 + z + 1 \).

1. Montrer que \( Z = e^{i\theta}(2\cos\theta + 1) \) avec \( \theta = \arg(z) \).
2. En déduire que \( Z \) est réel si et seulement si \( \cos\theta = 0 \) ou \( \cos\theta = -\dfrac{1}{2} \).
3. Résoudre dans \( \mathbb{C} \) l'équation : \( z^2 + z + 1 = 0 \).
4. Montrer que \( |Z| \le 3 \) et que \( |Z| \ge 0 \).

Exercice 10 · (5 points)

Soit \( n \in \mathbb{N}^* \). On considère l'équation \( z^n = \overline{z} \).

1. Montrer que si \( z \) est solution, alors \( |z|^{n-1} = 1 \).
2. En déduire que \( |z| = 1 \) (sauf cas particulier à préciser).
3. Résoudre l'équation pour \( n = 2 \).
4. Résoudre l'équation pour \( n = 3 \).
5. Généraliser : donner toutes les solutions de l'équation pour \( n \) quelconque.