Exercice 1

1) a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}^*_+) ; \text{Arc}\tan(x) + \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$

b) En déduire : $(\forall x \in \mathbb{R}^*_-) ; \text{Arc}\tan(x) + \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2}$

2) Montrer que : $\lim_{x \to 0} \frac{\text{Arc}\tan x}{x} = 1$

3) Calculer les limites suivantes :

4) Résoudre dans $\mathbb{R}^+$ l'équation : $\text{Arc}\tan x + \text{Arc}\tan(x - 1) = \frac{\pi}{2}$

Exercice 2

Soit $f$ une fonction numérique définie et continue sur $\mathbb{R}$ telle qu'il existe au moins un réel $a$ qui vérifie : $(f \circ f)(a) = a$

Montrer que : $(\exists c \in \mathbb{R}) ; f(c) = c$

Exercice 3

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que : $f(x) \neq 0$ pour tout $x$ de $I$.

Montrer que : $((\forall x \in I) ; f(x) > 0)$ ou $((\forall x \in I) ; f(x) < 0)$

Exercice 4

1) Soit $f$ une fonction définie et continue sur le segment $[a ; b]$ telle que $f(x) > 0$ pour tout $x$ de $[a ; b]$.
Montrer que : $(\exists \alpha \in \mathbb{R}^*_+) ; (\forall x \in [a ; b]) ; f(x) \ge \alpha$

2) Soit $g$ fonction définie et continue sur le segment $[a ; b]$ telle que $g(x) \neq x$ pour tout $x$ de $[a ; b]$.
Montrer que : $(\exists \beta \in \mathbb{R}^*_+) ; (\forall x \in [a ; b]) ; |g(x) - x| \ge \beta$

Exercice 5

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques et continues sur le segment $[0 ; 1]$ telles que : $g(0) = f(1)$ et $g(1) = f(0)$.

Montrer que : $(\exists c \in [0 ; 1]) ; f(c) = g(c)$

Exercice 6

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \frac{1}{x}\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt{x^2 + 2x}\right) - 1$

1) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de $f$.

2) Montrer que : $(\exists (\alpha ; \beta) \in \mathbb{R}^2) ; \left(\forall x \in \left[\frac{1}{2} ; 1\right]\right) : \alpha x \le \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt{x^2 + 2x} \le \beta x$

3) Montrer que : $\left(\exists c \in \left]\frac{1}{2} ; 1\right[\right) : \sqrt{1 + \frac{1}{c}} - \sqrt{c^2 + 2c} = c$

Exercice 7

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x^3 + x - 1$

1) a) Montrer que la fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.

b) En déduire la monotonie de $f^{-1}$ sur $J$

2) a) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et que : $0 < \alpha < 1$

b) Calculer $\lim_{x \to \alpha^+} \frac{\sqrt{f(x)}}{x - \alpha}$

Exercice 8

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty ; 3]$ par : $f(x) = \text{Arc}\tan\sqrt{3 - x}$

1) Calculer $\lim_{x \to 3^-} \frac{f(x)}{x - 3}$.

2) Montrer que $f$ est bijective de l'intervalle $]-\infty ; 3]$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

3) Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$.

4) Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ de l'intervalle $]2 ; 3[$ tel que : $f(\alpha) = 1 - \frac{\alpha}{4}$

Exercice 9

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ puis simplifier son expression

(Calculer $\tan(3\alpha)$ en fonction de $\tan \alpha$).

Exercice 10

1) Soit $g$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $g(x) = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}$

a- Montrer que $g$ est une bijection de $[0 ; +\infty[$ sur $]-1 ; 1]$;
b- Déterminer $g^{-1}(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]-1 ; 1]$;

2) Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $f(x) = \text{Arc}\tan\left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)$

a- Montrer que $f$ est une bijection de $[0 ; +\infty[$ sur un intervalle $J$ à déterminer ;
b- Déterminer $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $J$ ;
c- Calculer : $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)}{x - 1}$

Exercice 11

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3x + 2}$

1) a) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.

b) Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$

2) a) Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite et à gauche au point $x_0 = 1$

b) Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à gauche en $x_1 = -2$

3) a) Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $D - \{-2 ; 1\}$.

b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

Exercice 12

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ par : $f(x) = \sqrt[3]{1 - \cos x}$

1) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; \pi]$.

2) Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0 ; \pi]$

3) Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en 0, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

Exercice 13

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = \left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$ par : $f(x) = 1 + \frac{1}{\sin x}$

1) Montrer que $f$ admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.

2) Montrer que : $(\forall x \in I) ; f'(x) = (f(x) - 1) \times \sqrt{(f(x))^2 - 2f(x)}$

3) Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$, et que : $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{(x - 1)\sqrt{x^2 - 2x}}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]2 ; +\infty[$

Exercice 14

Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ après avoir déterminé $D_f$ son ensemble définition, puis déterminer l'expression de sa fonction dérivée :

Exercice 15

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 4x + 1$

1) a) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.

b) Montrer que la fonction dérivée $f'$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, en déduire que : $(\exists! \alpha \in \mathbb{R}) / f'(\alpha) = 0$

c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

2) a) Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}) / f(x) = \left(\frac{1}{4}x - \frac{1}{8}\right)f'(x) + \left(3x^2 - \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}\right)$

b) Montrer que : $f(\alpha) > 0$

c) En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}) / f(x) > 0$

Correction de l'exercice 11

1) a) Déterminons $D$ :
Soit $x$ un réel, on a : $x \in D \iff x^3 - 3x + 2 \ge 0 \iff (x - 1)(x^2 + x - 2) \ge 0 \iff (x - 1)^2(x + 2) \ge 0 \iff x = 1 \text{ ou } x \ge -2 \iff x \ge -2 \iff x \in [-2 ; +\infty[$
Donc : $D = [-2 ; +\infty[$

b) Calculons $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ :
On a : $\lim_{x \to +\infty} x^3 - 3x + 2 = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \sqrt[3]{X} = +\infty$,
Donc : $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 - 3x + 2} = +\infty$, c'est-à-dire : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

Calculons $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ :
Soit $x$ un réel de l'intervalle $]0 ; +\infty[$, on a : $\frac{f(x)}{x} = \frac{\sqrt[3]{x^3\left(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}\right)}}{x} = \frac{x\sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}}{x} = \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}$
Puisque : $\lim_{x \to +\infty} 1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3} = 1$ et la fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est continue en 1,
alors : $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}} = \sqrt[3]{1} = 1$ c'est-à-dire : $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$

Calculons $\lim_{x \to +\infty} f(x) - x$ :
Soit $x$ un élément de l'intervalle $]0 ; +\infty[$, on a : $f(x) - x = \sqrt[3]{x^3 - 3x + 2} - x = \frac{-3x + 2}{\left(\sqrt[3]{x^3 - 3x + 2}\right)^2 + x\sqrt[3]{x^3 - 3x + 2} + x^2}$
$= \frac{x^2\left(\frac{-3}{x} + \frac{2}{x^2}\right)}{x^2 \times \left(\sqrt[3]{\left(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}\right)^2} + \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}} + 1\right)}$
$= \frac{\frac{-3}{x} + \frac{2}{x^2}}{\left(\sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}\right)^2 + \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}} + 1}$
Puisque : $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{-3}{x} + \frac{2}{x^2}\right) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{\left(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}\right)^2} + \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}} + 1 = 3$
Alors : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{-3}{x} + \frac{2}{x^2}}{\sqrt[3]{\left(1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}\right)^2} + \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}} + 1} = 0$ C'est-à-dire : $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 0$

2) a) Etudions la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 1$ :
Soit $x$ un élément de l'intervalle $]1 ; +\infty[$, on a : $f(1) = 0$ et $\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{\sqrt[3]{(x - 1)^2(x + 2)}}{x - 1} = \sqrt[3]{\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^3}} = \sqrt[3]{\frac{x + 2}{x - 1}}$
Puisque : $\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1} = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \sqrt[3]{X} = +\infty$, alors : $\lim_{x \to 1^+} \sqrt[3]{\frac{x + 2}{x - 1}} = +\infty$
C'est-à-dire : $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = +\infty$ Donc la fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $x_0 = 1$.

Etudions la dérivabilité de $f$ à gauche en $x_0 = 1$ :
Soit $x$ un élément de l'intervalle $]-2 ; 1[$, on a : $\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{\sqrt[3]{(x - 1)^2(x + 2)}}{x - 1} = -\sqrt[3]{\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{-(x - 1)^3}} = -\sqrt[3]{\frac{x + 2}{1 - x}}$
Puisque : $\lim_{x \to 1^-} \frac{x + 2}{1 - x} = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \sqrt[3]{X} = +\infty$, alors : $\lim_{x \to 1^-} \sqrt[3]{\frac{x + 2}{1 - x}} = +\infty$
C'est-à-dire : $\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = -\infty$ Donc la fonction $f$ n'est pas dérivable à gauche en $x_0 = 1$.

b) Etudions la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_1 = -2$ :
Soit $x$ un élément de l'intervalle $]-2 ; +\infty[$, on a : $f(-2) = 0$ et $\frac{f(x) - f(-2)}{x + 2} = \frac{\sqrt[3]{(x - 1)^2(x + 2)}}{x + 2} = \sqrt[3]{\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x + 2)^3}} = \sqrt[3]{\frac{(x - 1)^2}{(x + 2)^2}}$
Puisque : $\lim_{x \to -2^+} \left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)^2 = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \sqrt[3]{X} = +\infty$, alors : $\lim_{x \to -2^+} \sqrt[3]{\left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)^2} = +\infty$
C'est-à-dire : $\lim_{x \to -2^+} \frac{f(x) - f(-2)}{x + 2} = +\infty$ Signifie que la fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $x_1 = -2$.

3) a) Calculons $f'(x)$ où $x \in D - \{-2 ; 1\}$ :
La fonction $u : x \mapsto x^3 - 3x + 2$ est dérivable sur chacun des intervalles $]-2 ; 1[$ et $]1 ; +\infty[$ et $u(x) > 0$ pour tout réel $x$ de $]-2 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$ et la fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
Donc la fonction $f = \sqrt[3]{u}$ est dérivable sur chacun des intervalles $]-2 ; 1[$ et $]1 ; +\infty[$.
Soit $x$ un élément de $D - \{-2 ; 1\}$, on a : $u'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$ et $f'(x) = \frac{u'(x)}{3\sqrt[3]{(u(x))^2}} = \frac{3(x^2 - 1)}{3\sqrt[3]{(x^3 - 3x + 2)^2}} = \frac{x^2 - 1}{\sqrt[3]{(x^3 - 3x + 2)^2}}$
Ainsi : $(\forall x \in D - \{-2 ; 1\}) ; f'(x) = \frac{x^2 - 1}{\sqrt[3]{(x^3 - 3x + 2)^2}}$

b) Tableau de variations de la fonction $f$ :
Le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2 - 1$ sur $D - \{-2 ; 1\}$, donc le tableau de variations de $f$ est comme suit

(La fonction est croissante de $0$ à $\sqrt[3]{4}$ sur $[-2; -1]$, décroissante de $\sqrt[3]{4}$ à $0$ sur $[-1; 1]$, puis croissante vers $+\infty$ sur $[1; +\infty[$).

Correction de l'exercice 12

1) Montrons que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; \pi]$ :
On a la fonction $x \mapsto \cos x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, en particulier sur l'intervalle $]0 ; \pi]$, donc la fonction $u : x \mapsto 1 - \cos x$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; \pi]$.
Et puisque $u(x) > 0$ pour tout $x$ de $]0 ; \pi]$ et la fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ alors la fonction $f = \sqrt[3]{u}$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; \pi]$.

2) Calculons $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0 ; \pi]$ :
Soit $x$ un élément de $]0 ; \pi]$, on a : $f'(x) = \frac{u'(x)}{3\sqrt[3]{(u(x))^2}}$
et comme : $u'(x) = \sin(x)$ alors : $f'(x) = \frac{\sin x}{3\sqrt[3]{(1 - \cos x)^2}}$ Donc : $(\forall x \in ]0 ; \pi]) ; f'(x) = \frac{\sin x}{3\sqrt[3]{(1 - \cos x)^2}}$

3) Etudions la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en 0 :
Soit $x$ un élément de l'intervalle $]0 ; \pi]$, on a : $f(0) = 0$ et $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{\sqrt[3]{1 - \cos x}}{x} = \sqrt[3]{\frac{1 - \cos x}{x^3}}$
Puisque : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ alors : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos x}{x^3} = +\infty$. Et comme $\lim_{X \to +\infty} \sqrt[3]{X} = +\infty$
Donc : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{\frac{1 - \cos x}{x^3}} = +\infty$, c'est-à-dire : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = +\infty$
Finalement la fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en 0.
Interprétation graphique : On a la fonction est continue à droite en 0 et $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = +\infty$, donc la courbe de la fonction $f$ admet une demi-tangente verticale au point $O$ dirigée vers le haut.

Correction de l'exercice 13

1) Montrons que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ :
La fonction $x \mapsto \sin x$ est dérivable et ne s'annule pas sur l'intervalle $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$ donc la fonction $f : x \mapsto 1 + \frac{1}{\sin x}$ est dérivable sur $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$.
Et on a : $\left(\forall x \in \left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[\right) ; f'(x) = -\frac{\cos x}{\sin^2(x)}$
Puisque : $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $\left]\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$ et $f'(x) = 0 \iff x = \frac{\pi}{2}$, alors $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$.
Donc la fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $I = \left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$. Par suite, $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f(I)$ où $J = \left[f\left(\frac{\pi}{2}\right) ; \lim_{x \to \pi^-} f(x)\right[ = [2 ; +\infty[$
Ainsi $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle $J = [2 ; +\infty[$.

2) Montrons que $(\forall x \in I) ; f'(x) = (f(x) - 1) \times \sqrt{(f(x))^2 - 2f(x)}$ :
Soit $x$ un élément de l'intervalle $I = \left[\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$, on a : $f'(x) = -\frac{\cos x}{\sin^2(x)}$
et $(f(x))^2 - 2f(x) = (f(x) - 1)^2 - 1 = \frac{1}{\sin^2(x)} - 1 = \frac{1 - \sin^2(x)}{\sin^2(x)} = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2$
Puisque : $\frac{\pi}{2} \le x < \pi$ alors : $\frac{\cos x}{\sin x} \le 0$. Il s'ensuit que : $\sqrt{\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2} = -\frac{\cos x}{\sin x}$. Par suite : $\sqrt{(f(x))^2 - 2f(x)} = -\frac{\cos x}{\sin x}$
Donc : $(f(x) - 1) \times \sqrt{(f(x))^2 - 2f(x)} = \frac{1}{\sin x} \times \left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right) = -\frac{\cos x}{\sin^2(x)} = f'(x)$
Finalement : $(\forall x \in I) ; f'(x) = (f(x) - 1) \times \sqrt{(f(x))^2 - 2f(x)}$

3) • Montrons que la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$ :
La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$ et $f'(x) \neq 0$ pour tout réel $x \in \left]\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$, donc la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $f\left(\left]\frac{\pi}{2} ; \pi\right[\right)$ où $f\left(\left]\frac{\pi}{2} ; \pi\right[\right) = \left]f\left(\frac{\pi}{2}\right) ; \lim_{x \to \pi^-} f(x)\right[ = ]2 ; +\infty[$
Donc la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $]2 ; +\infty[$.

• Montrons que $(\forall x \in ]2 ; +\infty[) ; (f^{-1})'(x) = \frac{1}{(x - 1)\times\sqrt{x^2 - 2x}}$ :
Soit $x$ un élément de l'intervalle $]2 ; +\infty[$, on a : $f^{-1}(x) \in \left]\frac{\pi}{2} ; \pi\right[$
Donc, d'après la question précédente : $f'(f^{-1}(x)) = (f(f^{-1}(x)) - 1) \times \sqrt{(f(f^{-1}(x)))^2 - 2f(f^{-1}(x))} = (x - 1) \times \sqrt{x^2 - 2x}$
Et comme $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$, il s'ensuit que : $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{(x - 1)\times\sqrt{x^2 - 2x}}$
Finalement : $(\forall x \in ]2 ; +\infty[) ; (f^{-1})'(x) = \frac{1}{(x - 1)\times\sqrt{x^2 - 2x}}$

Correction de l'exercice 14

1) $f(x) = (x - 1)\sqrt[3]{2x}$ :
• Ensemble de définition : $D_f = [0 ; +\infty[$
• Etude de la dérivabilité : Les fonctions $u : x \mapsto (x - 1)$ et $v : x \mapsto \sqrt[3]{2x}$ sont dérivables sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$, donc la fonction $f = u \times v$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
• Soit $x$ un élément de $]0 ; +\infty[$, on a : $f(0) = 0$ et $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{(x - 1) \times \sqrt[3]{2x}}{x} = (x - 1) \times \sqrt[3]{\frac{2}{x^2}}$
Puisque : $\lim_{x \to 0^+} (x - 1) = -1$ et $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{\frac{2}{x^2}} = +\infty$ alors : $\lim_{x \to 0^+} (x - 1) \times \sqrt[3]{\frac{2}{x^2}} = -\infty$
C'est-à-dire : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = -\infty$ signifie que la fonction $f$ est non dérivable à droite en 0.
• Calculons $f'(x)$ où $x \in ]0 ; +\infty[$ : Soit $x \in ]0 ; +\infty[$, on a : $f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)$
Et comme $u'(x) = 1$ et $v'(x) = \frac{2}{3 \times \sqrt[3]{4x^2}}$ alors : $f'(x) = \sqrt[3]{2x} + \frac{2(x - 1)}{3 \times \sqrt[3]{4x^2}} = \frac{6x + 2(x - 1)}{3 \times \sqrt[3]{4x^2}} = \frac{2(4x - 1)}{3 \times \sqrt[3]{4x^2}}$
Ainsi : $(\forall x \in ]0 ; +\infty[) ; f'(x) = \frac{2(4x - 1)}{3 \times \sqrt[3]{4x^2}}$

2) $f(x) = \frac{\sqrt[3]{x - 1}}{x + 2}$ :
• Ensemble de définition : $D_f = [1 ; +\infty[$
• Etude de la dérivabilité : Les fonctions $u : x \mapsto \sqrt[3]{x - 1}$ et $v : x \mapsto x + 2$ sont dérivables sur l'intervalle $]1 ; +\infty[$, donc la fonction $f = \frac{u}{v}$ est dérivable sur $]1 ; +\infty[$.
• Soit $x$ un élément de $]1 ; +\infty[$, on a : $f(1) = 0$ et $\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{\frac{\sqrt[3]{x - 1}}{x + 2}}{x - 1} = \frac{1}{x + 2} \times \frac{\sqrt[3]{x - 1}}{x - 1} = \frac{1}{x + 2} \times \sqrt[3]{\frac{1}{(x - 1)^2}}$
Puisque : $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{3}$ et $\lim_{x \to 1^+} \sqrt[3]{\frac{1}{(x - 1)^2}} = +\infty$ alors : $\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x + 2} \times \sqrt[3]{\frac{1}{(x - 1)^2}} = +\infty$
C'est-à-dire : $\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = +\infty$ signifie que la fonction $f$ est non dérivable à droite en 1.
• Calculons $f'(x)$ où $x \in ]1 ; +\infty[$ : Soit $x \in ]0 ; +\infty[$, on a : $f'(x) = \frac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}$
Et comme $u'(x) = \frac{1}{3 \times \sqrt[3]{(x - 1)^2}}$ et $v'(x) = 1$ alors : $f'(x) = \frac{\frac{1}{(x + 2)^2} \left((x + 2) \times \frac{1}{3 \times \sqrt[3]{(x - 1)^2}} - \sqrt[3]{x - 1}\right)} {(x + 2)^2}$
$= \frac{1}{(x + 2)^2} \left(\frac{(x + 2) - 3(x - 1)}{3 \times \sqrt[3]{(x - 1)^2}}\right) = \frac{5 - 2x}{3(x + 2)^2 \times \sqrt[3]{(x - 1)^2}}$
Ainsi : $(\forall x \in ]1 ; +\infty[) ; f'(x) = \frac{5 - 2x}{3(x + 2)^2 \times \sqrt[3]{(x - 1)^2}}$

3) $f(x) = \frac{2\sqrt[3]{x}}{1 + x\sqrt{x}}$ :
• Ensemble de définition : $D_f = [0 ; +\infty[$
• Etude de la dérivabilité : La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ en tant que quotient de deux fonctions dérivables sur $]0 ; +\infty[$ qui sont : $u : x \mapsto 2\sqrt[3]{x}$ et $v : x \mapsto 1 + x\sqrt{x}$ ($f = \frac{u}{v}$)
• Soit $x \in ]0 ; +\infty[$, on a : $f(0) = 0$ et $\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{2\sqrt[3]{x}}{x(1 + x\sqrt{x})} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}(1 + x\sqrt{x})}$
Puisque : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x^2} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} 1 + x\sqrt{x} = 1$ alors : $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x^2}(1 + x\sqrt{x}) = 0^+$, il s'ensuit que : $\lim_{x \to 0^+} \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}(1 + x\sqrt{x})} = +\infty$
C'est-à-dire : $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = +\infty$ signifie que la fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en 0.
• Calculons $f'(x)$ où $x \in ]0 ; +\infty[$ : Soit $x \in ]0 ; +\infty[$, on a : $f'(x) = \frac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{(v(x))^2}$
Et comme $u'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$ et $v'(x) = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$ alors : $f'(x) = \frac{1}{(1 + x\sqrt{x})^2} \left(\frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}(1 + x\sqrt{x}) - 3x\sqrt{x}\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^2}}\right)$
$= \frac{1}{(1 + x\sqrt{x})^2} \times \left(\frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}(1 + x\sqrt{x}) - \frac{3x\sqrt{x}}{x^{2/3}}\right) = \frac{1}{(1 + x\sqrt{x})^2} \times \left(\frac{2 + 2x\sqrt{x} - 9x\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{x^2}}\right) = \frac{2 - 7x\sqrt{x}}{3(1 + x\sqrt{x})^2 \times \sqrt[3]{x^2}}$

(Les solutions des autres cas de l'exercice 14 et de l'exercice 15 n'étaient pas visibles dans les documents sources).

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ après avoir déterminé $D$ son ensemble de définition, puis déterminer l'expression de sa dérivée.

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction $f$ après avoir déterminé $D$ son ensemble de définition, et en déduire une simplification de l'expression de $f(x)$ pour tout réel $x$ de $D$ :

Exercice 3

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \text{Arc}\tan\left(\frac{x - 1}{x}\right) - \text{Arc}\tan\left(\frac{x}{1 + x}\right)$

1) a) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de la fonction $f$.
b) Calculer les limites : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x)$

2) a) Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $D$.
b) En déduire que : $(\forall x \in ]-1 ; 0[) ; f(x) = \text{Arc}\tan(2x^2) + \frac{\pi}{2}$
et $(\forall x \in ]-\infty ; -1[ \cup ]0 ; +\infty[) ; f(x) = \text{Arc}\tan(2x^2) - \frac{\pi}{2}$

Exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1 ; 1[$ par : $f(x) = 2x + \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)$

1) a) Montrer que la fonction $f$ réalise une bijection de l'intervalle $]-1 ; 1[$ sur un ensemble $J$ à préciser.
b) Déterminer $f''(x)$ pour tout réel $x$ de $]-1 ; 1[$.

2) On pose $g = f^{-1}$ où $f^{-1}$ est la bijection réciproque de la fonction $f$.
a) Montrer que la fonction $g$ est deux fois dérivable sur $J$.
b) Calculer chacun des nombres suivants : $f\left(\frac{1}{2}\right) ; \ g'(2)$ et $g''(2)$

Exercice 5

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = x - \frac{1}{\text{Arc}\tan(x)}$

1) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

2) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0 ; +\infty[$ et que : $1 < \alpha < \sqrt{3}$

3) a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$.
b) Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
c) Montrer que : $(f^{-1})'(0) = \frac{1 + \alpha^2}{1 + 2\alpha^2}$

Correction de l'exercice 1

1) $f(x) = x \times \text{Arc}\tan(\sqrt{x})$

• $D = [0 ; +\infty[$

• La fonction $u : x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$, donc la fonction $\text{Arc}\tan \circ u$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$. Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ en tant que produit de deux fonctions dérivables sur $]0 ; +\infty[$.

• Soit $x$ un élément de $]0 ; +\infty[$, on a :
$f'(x) = \text{Arc}\tan(\sqrt{x}) + x \times \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1 + x} = \text{Arc}\tan(\sqrt{x}) + \frac{x}{2\sqrt{x}(1 + x)} = \text{Arc}\tan(\sqrt{x}) + \frac{\sqrt{x}}{2(1 + x)}$
Ainsi : $(\forall x \in ]0 ; +\infty[) ; f'(x) = \text{Arc}\tan(\sqrt{x}) + \frac{\sqrt{x}}{2(1 + x)}$

2) $f(x) = \frac{\text{Arc}\tan x}{\sqrt{x}}$

• $D = ]0 ; +\infty[$

• La fonction $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$, en tant que quotient de deux fonctions dérivables sur $]0 ; +\infty[$ (à savoir : $x \mapsto \text{Arc}\tan x$ et $x \mapsto \sqrt{x}$).

• Soit $x \in ]0 ; +\infty[$, on a :
$f'(x) = \frac{\frac{1}{1 + x^2}\sqrt{x} - \text{Arc}\tan(x)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2x - (1 + x^2)\text{Arc}\tan x}{2\sqrt{x}(1 + x^2)}}{x} = \frac{2x - (1 + x^2)\text{Arc}\tan x}{2x\sqrt{x}(1 + x^2)}$
Ainsi : $(\forall x \in ]0 ; +\infty[) ; f'(x) = \frac{2x - (1 + x^2)\text{Arc}\tan x}{2x\sqrt{x}(1 + x^2)}$

3) $f(x) = \sqrt[3]{\text{Arc}\tan x}$

• Soit $x$ un réel, on a : $x \in D \iff \text{Arc}\tan x \ge 0 \iff x \ge 0 \iff x \in [0 ; +\infty[$.
Donc : $D = [0 ; +\infty[$

• La fonction $x \mapsto \text{Arc}\tan x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en particulier sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ et $\text{Arc}\tan x > 0$ pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$, il s'ensuit que la fonction $f : x \mapsto \sqrt[3]{\text{Arc}\tan x}$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$,
et on a : $(\forall x \in ]0 ; +\infty[) ; f'(x) = \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{3\sqrt[3]{(\text{Arc}\tan x)^2}} = \frac{1}{3(1 + x^2)\sqrt[3]{(\text{Arc}\tan x)^2}}$

4) $f(x) = \text{Arc}\tan(\sqrt[3]{(x + 2)^2})$

• $D = \mathbb{R}$

• La fonction $u : x \mapsto (x + 2)^2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en particulier sur les intervalles $]-\infty ; -2[$ et $]-2 ; +\infty[$ et $u(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.
Par suite la fonction $v : x \mapsto \sqrt[3]{u(x)}$ est dérivable sur les deux intervalles $]-\infty ; -2[$ et $]-2 ; +\infty[$.
Il s'ensuit que la fonction $f = \text{Arc}\tan \circ v$ est dérivable en tout point de $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$, et on a :
$\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} ; f'(x) = \frac{v'(x)}{1 + (v(x))^2}$
Et $\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\} ; v'(x) = \frac{2(x + 2)}{3\sqrt[3]{(x + 2)^4}}$ et $1 + (v(x))^2 = 1 + \sqrt[3]{(x + 2)^4}$.
Ainsi : $(\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}) ; f'(x) = \frac{2(x + 2)}{3\sqrt[3]{(x + 2)^4} \times (1 + \sqrt[3]{(x + 2)^4})}$

Correction de l'exercice 2

1) $f(x) = \text{Arc}\tan(\sqrt{1 + x^2} - x)$ :

• Déterminons $D$ : Soit $x \in \mathbb{R}$, on a : $x \in D \iff 1 + x^2 \ge 0 \iff x \in \mathbb{R}$. Donc : $D = \mathbb{R}$

• Déterminons la dérivée de $f$ : La fonction $u : x \mapsto \sqrt{1 + x^2} - x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $f = \text{Arc}\tan \circ u$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
Soit $x \in \mathbb{R}$, on a : $u'(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} - 1 = \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}}$
Donc : $f'(x) = \frac{u'(x)}{1 + (u(x))^2} = \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} \times \frac{1}{1 + (1 + x^2 - 2x\sqrt{1 + x^2} + x^2)}$
$= \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} \times \frac{1}{2(1 + x^2 - x\sqrt{1 + x^2})} = \frac{x - \sqrt{1 + x^2}}{2(1 + x^2)(\sqrt{1 + x^2} - x)} = -\frac{1}{2(1 + x^2)}$
Ainsi : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; f'(x) = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{1 + x^2}$

• Simplifions l'expression de $f(x)$ :
On a : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; \left(-\frac{1}{2}\text{Arc}\tan x\right)' = -\frac{1}{2} \times \frac{1}{1 + x^2} = f'(x)$.
Donc : $(\exists c \in \mathbb{R}) / (\forall x \in \mathbb{R}) ; f(x) = -\frac{1}{2}\text{Arc}\tan(x) + c$
Et on a : $f(0) = \text{Arc}\tan(1) = \frac{\pi}{4}$ donc $c = \frac{\pi}{4}$
Finalement : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; f(x) = -\frac{1}{2}\text{Arc}\tan(x) + \frac{\pi}{4}$

2) $f(x) = \text{Arc}\tan\left(\frac{2x + 1}{2 - x}\right)$ :

• Déterminons $D$ : $x \in D \iff x \in \mathbb{R} \text{ et } 2 - x \neq 0 \iff x \in \mathbb{R} \text{ et } x \neq 2 \iff x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Donc $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

• Déterminons la dérivée de $f$ : la fonction $f$ est dérivable en tout point de $D$, en plus on a :
$(\forall x \in D) ; f'(x) = \frac{\frac{5}{(2 - x)^2}}{1 + \left(\frac{2x + 1}{2 - x}\right)^2} = \frac{5}{(2 - x)^2} \times \frac{(2 - x)^2}{5(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2}$

• Simplification de l'expression de $f(x)$ :
On a : $(\forall x \in D) ; f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} = (\text{Arc}\tan)'(x)$
Donc : $(\exists c_1 \in \mathbb{R}) / (\forall x \in ]-\infty ; 2[) ; f(x) = \text{Arc}\tan(x) + c_1$
Et $(\exists c_2 \in \mathbb{R}) / (\forall x \in ]2 ; +\infty[) ; f(x) = \text{Arc}\tan(x) + c_2$
Et puisque : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \text{Arc}\tan(-2) = -\text{Arc}\tan(2)$
Alors : $c_1 = \frac{\pi}{2} - \text{Arc}\tan(2) = \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{2}\right)$
Et $c_2 = -\frac{\pi}{2} - \text{Arc}\tan(2) = -\pi + \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{2}\right)$
Finalement : $f(x) = \text{Arc}\tan(x) + \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{2}\right)$ si $x \in ]-\infty ; 2[$, et $f(x) = \text{Arc}\tan(x) + \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{2}\right) - \pi$ si $x \in ]2 ; +\infty[$.

3) $f(x) = \text{Arc}\tan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + \text{Arc}\tan\left(\frac{2 - x}{x\sqrt{3}}\right)$ :

• $D = \mathbb{R}^*$

• La fonction $f$ est dérivable en tout point de $\mathbb{R}^*$. Soit $x$ un réel non nul, on a :
$f'(x) = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right)^2} + \frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3x^2}}{1 + \left(\frac{2 - x}{x\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{3}{4x^2 - 4x + 4} - \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{3}{4x^2 - 4x + 4} = 0$
Par suite : $(\exists c_1 \in \mathbb{R}) / (\forall x \in ]0 ; +\infty[) ; f(x) = c_1$
Et $(\exists c_2 \in \mathbb{R}) / (\forall x \in ]-\infty ; 0[) ; f(x) = c_2$
Puisque : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \text{Arc}\tan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}$
Et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \text{Arc}\tan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{2\pi}{3}$
Alors $c_1 = \frac{\pi}{3}$ et $c_2 = -\frac{2\pi}{3}$.
Ainsi : $f(x) = \frac{\pi}{3}$ si $x \in ]0 ; +\infty[$, et $f(x) = -\frac{2\pi}{3}$ si $x \in ]-\infty ; 0[$.

4) $f(x) = \text{Arc}\tan\left(\frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1}\right)$ :

• Déterminons $D$ : Soit $x$ un réel on a : $x \in D \iff x^2 + 2x - 1 \neq 0 \iff x \neq -1 - \sqrt{2} \text{ et } x \neq -1 + \sqrt{2}$. Donc : $D = \mathbb{R} \setminus \{-1 - \sqrt{2} ; -1 + \sqrt{2}\}$

• Déterminons la dérivée de $f$ : La fonction $f$ est dérivable en tout point de $D$, soit $x$ un élément de $D$, on pose : $u(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{x^2 + 2x - 1}$
On a : $u'(x) = \frac{(2x - 2)(x^2 + 2x - 1) - (2x + 2)(x^2 - 2x - 1)}{(x^2 + 2x - 1)^2} = \frac{4(x^2 + 1)}{(x^2 + 2x - 1)^2}$
Donc : $f'(x) = \frac{u'(x)}{1 + (u(x))^2} = \frac{4(x^2 + 1)}{(x^2 + 2x - 1)^2} \times \frac{(x^2 + 2x - 1)^2}{(x^2 + 2x - 1)^2 + (x^2 - 2x - 1)^2} = \frac{2}{1 + x^2}$
Ainsi : $(\forall x \in D) ; f'(x) = 2 \times \frac{1}{1 + x^2}$

• Simplification de l'expression de $f(x)$ :
On a : $(\forall x \in D) ; f'(x) = (2\text{Arc}\tan)'(x)$
Donc on aura trois constantes $c_1, c_2, c_3$ sur les trois intervalles du domaine de définition. 
Et on a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{\pi}{4} ; \lim_{x \to +\infty} \text{Arc}\tan x = \frac{\pi}{2}$ et $\lim_{x \to -\infty} \text{Arc}\tan x = -\frac{\pi}{2}$
Donc : $c_1 = \frac{5\pi}{4}$ et $c_3 = -\frac{3\pi}{4}$. Et on a : $f(0) = \frac{\pi}{4}$ et $\text{Arc}\tan(0) = 0$, donc : $c_2 = \frac{\pi}{4}$.
Finalement : $f(x) = 2\text{Arc}\tan(x) + \frac{5\pi}{4}$ sur $]-\infty ; -1 - \sqrt{2}[$
$f(x) = 2\text{Arc}\tan(x) + \frac{\pi}{4}$ sur $]-1 - \sqrt{2} ; -1 + \sqrt{2}[$
$f(x) = 2\text{Arc}\tan(x) - \frac{3\pi}{4}$ sur $]-1 + \sqrt{2} ; +\infty[$

Correction de l'exercice 3

1) a- Déterminons $D$ l'ensemble de définition de $f$ :
Soit $x$ un réel, on a : $f(x) = \text{Arc}\tan\left(\frac{x - 1}{x}\right) - \text{Arc}\tan\left(\frac{x}{1 + x}\right)$
donc : $x \in D \iff x \neq 0$ et $1 + x \neq 0 \iff x \neq 0$ et $x \neq -1$
D'où : $D = \mathbb{R} \setminus \{0 ; -1\} = ]-\infty ; -1[ \cup ]-1 ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$

b- Calculons les limites suivantes :
• $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ : on a $\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} = 1$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} = 1$ et comme la fonction $\text{Arc}\tan$ est continue en 1 alors :
$\lim_{x \to +\infty} \text{Arc}\tan\left(\frac{x - 1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} \text{Arc}\tan\left(\frac{x}{x + 1}\right) = \text{Arc}\tan(1) = \frac{\pi}{4}$
Donc : $\lim_{x \to +\infty} \text{Arc}\tan\left(\frac{x - 1}{x}\right) - \text{Arc}\tan\left(\frac{x}{1 + x}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$
C'est-à-dire : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$. On trouve de même $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$.
• $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ : $\lim_{x \to 0^-} \frac{x - 1}{x} = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \text{Arc}\tan(X) = \frac{\pi}{2}$, donc $\lim_{x \to 0^-} \text{Arc}\tan\left(\frac{x - 1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
Par suite $\lim_{x \to 0^-} \text{Arc}\tan\left(\frac{x - 1}{x}\right) - \text{Arc}\tan\left(\frac{x}{1 + x}\right) = \frac{\pi}{2}$. C'est-à-dire : $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{\pi}{2}$.

2) a- Déterminons $f'(x)$ où $x \in D$ :
La fonction $f$ est dérivable en tout point de l'ensemble $D$. Soit $x \in D$, on pose : $u(x) = \frac{x - 1}{x}$ et $v(x) = \frac{x}{1 + x}$
alors $f(x) = \text{Arc}\tan(u(x)) - \text{Arc}\tan(v(x))$. Donc : $f'(x) = \frac{u'(x)}{1 + (u(x))^2} - \frac{v'(x)}{1 + (v(x))^2}$
On a : $u'(x) = \frac{1}{x^2}$ et $v'(x) = \frac{1}{(1 + x)^2}$.
Puisque : $1 + (u(x))^2 = 1 + \left(\frac{x - 1}{x}\right)^2 = \frac{x^2 + x^2 - 2x + 1}{x^2} = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x^2}$
$1 + (v(x))^2 = 1 + \left(\frac{x}{1 + x}\right)^2 = \frac{2x^2 + 2x + 1}{(1 + x)^2}$
Alors : $\frac{u'(x)}{1 + (u(x))^2} = \frac{1}{x^2} \times \frac{x^2}{2x^2 - 2x + 1} = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1}$
et $\frac{v'(x)}{1 + (v(x))^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \times \frac{(1 + x)^2}{2x^2 + 2x + 1} = \frac{1}{2x^2 + 2x + 1}$
Donc : $f'(x) = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{2x^2 + 2x + 1}$.
Ainsi : $(\forall x \in D) ; f'(x) = \frac{1}{2x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{2x^2 + 2x + 1}$

b) Déduction :
Soit $x \in D$, on a : $f'(x) = \frac{2x^2 + 2x + 1 - (2x^2 - 2x + 1)}{(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)} = \frac{4x}{(2x^2 + 1)^2 - 4x^2} = \frac{4x}{1 + 4x^4}$.
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = \text{Arc}\tan(2x^2)$.
La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a :
$(\forall x \in \mathbb{R}) ; h'(x) = (\text{Arc}\tan(2x^2))' = \frac{(2x^2)'}{1 + (2x^2)^2} = \frac{4x}{1 + 4x^4}$
Par suite les fonctions $f$ et $h$ sont dérivables en tout point de $D$ et on a : $(\forall x \in D), \ f'(x) = h'(x)$.
Par conséquent :
• $(\exists c_1 \in \mathbb{R}) / (\forall x \in ]-\infty ; -1[) ; f(x) = h(x) + c_1$
• $(\exists c_2 \in \mathbb{R}) / (\forall x \in ]-1 ; 0[) ; f(x) = h(x) + c_2$
• $(\exists c_3 \in \mathbb{R}) / (\forall x \in ]0 ; +\infty[) ; f(x) = h(x) + c_3$
Déterminons les constantes $c_1, c_2 \text{ et } c_3$ :
On a : $(\forall x \in ]-\infty ; -1[) ; f(x) = h(x) + c_1$, donc : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (h(x) + c_1) = \lim_{x \to -\infty} h(x) + c_1$.
Or $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} \text{Arc}\tan(2x^2) = \frac{\pi}{2}$, d'où $c_1 = -\frac{\pi}{2}$.
De même on a : $\forall x \in ]0 ; +\infty[ ; f(x) = h(x) + c_3$, alors $c_3 = \lim_{x \to +\infty} f(x) - h(x) \implies c_3 = -\frac{\pi}{2}$.
Ainsi : $(\forall x \in ]-\infty ; -1[ \cup ]0 ; +\infty[) ; f(x) = \text{Arc}\tan(2x^2) - \frac{\pi}{2}$.
D'autre part : on a : $(\forall x \in ]-1 ; 0[) ; f(x) = h(x) + c_2$, donc : $c_2 = \lim_{x \to 0^-} (f(x) - h(x))$.
Or : $\lim_{x \to 0^-} h(x) = \lim_{x \to 0^-} \text{Arc}\tan(2x^2) = \text{Arc}\tan(0)$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{\pi}{2}$ d'où $c_2 = \frac{\pi}{2}$.
Ainsi : $(\forall x \in ]-1 ; 0[) ; f(x) = \text{Arc}\tan(2x^2) + \frac{\pi}{2}$.

Correction de l'exercice 4

1) a- Montrons que $f$ est une bijection de $]-1 ; 1[$ sur $J$ :
• Continuité de $f$ : La fonction $u : x \mapsto \frac{\pi}{2}x$ est continue sur $]-1 ; 1[$ et $u(]-1 ; 1[) = \left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[$, et la fonction $\tan$ est continue sur $\left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[$, donc la fonction $x \mapsto \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = (\tan \circ u)(x)$ est continue sur $]-1 ; 1[$.
La fonction $x \mapsto 2x$ est continue sur $]-1 ; 1[$, donc $f$ est continue sur $]-1 ; 1[$ en tant que somme de deux fonctions continues sur $]-1 ; 1[$.
• Monotonie de $f$ : La fonction $x \mapsto 2x$ est dérivable sur $]-1 ; 1[$ et la fonction $x \mapsto \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ est dérivable sur $]-1 ; 1[$, donc $f$ est dérivable sur $]-1 ; 1[$ en tant que somme de deux fonctions dérivables sur $]-1 ; 1[$.
Et on a : $(\forall x \in ]-1 ; 1[) ; f'(x) = 2 + \frac{\pi}{2}\left(1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)$. Puisque $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de $]-1 ; 1[$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-1 ; 1[$.
Par suite, $f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]-1 ; 1[$, donc $f$ réalise une bijection de $]-1 ; 1[$ sur l'intervalle $J = f(]-1 ; 1[) = \left]\lim_{x \to -1^+} f(x) ; \lim_{x \to 1^-} f(x)\right[$.
Puisque : $\lim_{x \to 1^-} \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = +\infty$ et $\lim_{x \to 1^-} 2x = 2$, alors $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$.
Et on a $\lim_{x \to -1^+} \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = -\infty$ et $\lim_{x \to -1^+} 2x = -2$, alors $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$.
Donc $J = ]-\infty ; +\infty[ = \mathbb{R}$.

b- Déterminer $f''(x)$ :
La fonction $f'$ est dérivable sur $]-1 ; 1[$ et on a :
$(\forall x \in ]-1 ; 1[) ; f''(x) = \frac{\pi}{2} \times 2 \times \frac{\pi}{2} \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) \left(1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right) = \frac{\pi^2}{2} \tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) \left(1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right)$

2) a- Montrons que la fonction $g$ est deux fois dérivable sur $J = \mathbb{R}$ :
La fonction $f$ est dérivable sur $]-1 ; 1[$ et $f'(x) \neq 0$ pour tout réel $x \in ]-1 ; 1[$, donc $g = f^{-1}$ est dérivable sur $J = \mathbb{R}$.
Puisque $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, $f'$ est dérivable sur $]-1 ; 1[$ et $(\forall x \in ]-1 ; 1[) ; f'(x) \neq 0$, alors la fonction $x \mapsto g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que quotient de composées de fonctions dérivables.
Il s'ensuit que la fonction $g$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

b- Calculer les nombres : $f\left(\frac{1}{2}\right) ; \ g'(2) \text{ et } g''(2)$ :
On a : $f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 1 = 2$.
Puisque $f\left(\frac{1}{2}\right) = 2$, alors $g(2) = \frac{1}{2}$.
On a : $g'(2) = \frac{1}{f'(g(2))} = \frac{1}{f'\left(\frac{1}{2}\right)}$.
Or : $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}\left(1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = 2 + \frac{\pi}{2}(1 + 1) = 2 + \pi$. Donc : $g'(2) = \frac{1}{2 + \pi}$.
On a : $g''(x) = \left(\frac{1}{f'(g(x))}\right)' = -\frac{(f'(g(x)))'}{(f'(g(x)))^2} = -\frac{g'(x)f''(g(x))}{(f'(g(x)))^2}$.
Donc : $g''(2) = -\frac{g'(2)f''(g(2))}{(f'(g(2)))^2} = -\frac{g'(2)f''\left(\frac{1}{2}\right)}{(f'\left(\frac{1}{2}\right))^2}$.
Or : $f''\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2} \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \left(1 + \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{\pi^2}{2} \times 1 \times (1 + 1) = \pi^2$.
Il s'ensuit que : $g''(2) = -\frac{\frac{1}{2 + \pi} \times \pi^2}{(2 + \pi)^2} = -\frac{\pi^2}{(2 + \pi)^3}$.

Correction de l'exercice 5

Soit $f(x) = x - \frac{1}{\text{Arc}\tan(x)}$ pour $x \in ]0 ; +\infty[$.

1) Tableau de variations de $f$ :
La fonction $x \mapsto \text{Arc}\tan(x)$ est dérivable et ne s'annule pas sur $]0 ; +\infty[$, donc la fonction $x \mapsto \frac{1}{\text{Arc}\tan(x)}$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$. Et on sait que $x \mapsto x$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$, par conséquent $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
Soit $x \in ]0 ; +\infty[$, on a :
$f'(x) = 1 - \left(-\frac{(\text{Arc}\tan(x))'}{(\text{Arc}\tan(x))^2}\right) = 1 + \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{(\text{Arc}\tan(x))^2} = 1 + \frac{1}{(1 + x^2)(\text{Arc}\tan(x))^2}$.
On a : $(\forall x \in ]0 ; +\infty[) ; f'(x) > 0$. Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ (car $\lim_{x \to 0^+} \text{Arc}\tan(x) = 0^+$) et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (car $\lim_{x \to +\infty} \text{Arc}\tan(x) = \frac{\pi}{2}$).
Le tableau de variation montre une croissance de $-\infty$ à $+\infty$.

2) Montrons que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0 ; +\infty[$ et que $1 < \alpha < \sqrt{3}$ :
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ (car elle est dérivable sur cet intervalle) et elle est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$, alors $f$ réalise une bijection de $]0 ; +\infty[$ sur $f(]0 ; +\infty[) = \mathbb{R}$.
Puisque $0 \in \mathbb{R}$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0 ; +\infty[$.
On a : $f(1) = 1 - \frac{1}{\text{Arc}\tan(1)} = 1 - \frac{4}{\pi} = \frac{\pi - 4}{\pi} < 0$, car $\pi < 4$
et $f(\sqrt{3}) = \sqrt{3} - \frac{1}{\text{Arc}\tan(\sqrt{3})} = \sqrt{3} - \frac{3}{\pi} = \frac{\pi\sqrt{3} - 3}{\pi} > 0$, car $\pi > 3 > \sqrt{3}$.
Puisque $f(1) \times f(\sqrt{3}) < 0$ et $f$ est strictement croissante, alors $1 < \alpha < \sqrt{3}$.

3) a) Montrons que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$ :
Puisque $f$ réalise une bijection de $]0 ; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$, alors $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$.

b) Montrons que la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ :
On sait que $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et que $f'(x) \neq 0$ pour tout réel $x \in ]0 ; +\infty[$. Donc la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

c) Montrons que $(f^{-1})'(0) = \frac{1 + \alpha^2}{1 + 2\alpha^2}$ :
On a $f(\alpha) = 0 \iff f^{-1}(0) = \alpha$, et $(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(0))} = \frac{1}{f'(\alpha)}$.
Or : $f'(\alpha) = 1 + \frac{1}{(1 + \alpha^2)(\text{Arc}\tan(\alpha))^2}$.
Puisque $f(\alpha) = 0$, on a $\alpha - \frac{1}{\text{Arc}\tan(\alpha)} = 0 \iff \text{Arc}\tan(\alpha) = \frac{1}{\alpha}$.
Par suite : $f'(\alpha) = 1 + \frac{1}{(1 + \alpha^2)\left(\frac{1}{\alpha}\right)^2} = 1 + \frac{\alpha^2}{1 + \alpha^2} = \frac{1 + 2\alpha^2}{1 + \alpha^2}$.
D'où : $(f^{-1})'(0) = \frac{1 + \alpha^2}{1 + 2\alpha^2}$.

Exercice 1

1) a) Montrer que : $(\forall x \in [0; +\infty[) ; -\frac{x^3}{3} \le \text{Arc}\tan(x) - x \le -\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}$

b) En déduire que : $\lim_{x \to 0} \frac{\text{Arc}\tan(x) - x}{x^2} = 0$

2) Montrer que : $\lim_{x \to 0} \frac{\text{Arc}\tan\left(\frac{x}{x+1}\right) - x}{x^2} = -1$

Exercice 2

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et dérivable sur $]0; 1[$ telle que : $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$

Montrer que : $(\exists c \in ]0; 1[) ; 2c f'(c) = \sqrt{c}$

Exercice 3

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et dérivable sur $]0; 1[$ telle que : $f(0) \neq f(1)$ et $f'(x) \neq 0$ pour tout réel $x$ de $]0; 1[$

Montrer que : $(\exists! c \in ]0; 1[) ; f(0) - f(1) = 2 f(c)$

Exercice 4

Soit $a, b$ et $c$ des nombres réels donnés non tous nuls.

Montrer que l'équation : $4ax^3 + 3bx^2 + 2cx - (a+b+c) = 0 ; x \in \mathbb{R}$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]0; 1[$.

Exercice 5

1) a) Soit $a$ et $b$ des réels tels que : $0 \le a < b$
Montrer que : $\frac{1}{1+b^2} < \frac{\text{Arc}\tan(b) - \text{Arc}\tan(a)}{b-a} < \frac{1}{1+a^2}$

b) En déduire que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; \frac{1}{1+x^2} < \frac{\text{Arc}\tan(x)}{x} < 1$

2) Application :
a) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{\text{Arc}\tan(x)}{x} ; x \neq 0$ et $f(0) = 1$
Montrer que la fonction $f$ est continue en $x_0 = 0$, puis étudier sa dérivabilité en $x_0 = 0$.

b) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $g(x) = (x-1)^2 \times \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right)$
Etudier la nature des branches infinies de la courbe de la fonction $g$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.

Exercice 6

En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer les inégalités suivantes :

• 1) $(\forall x \in ]-\infty; 0[) ; \text{Arc}\tan(x) < \frac{x}{1+x^2}$
• 2) $\frac{1}{\cos^2 a} < \frac{\tan b - \tan a}{b - a} < \frac{1}{\cos^2 b}$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que : $0 < a < b < \frac{\pi}{2}$
• 3) $(\forall (x; y) \in ([0; 10])^2) ; |x\cos x - y\cos y| \le 11|x - y|$
• 4) $(\forall x \in ]0; 1[) ; |f(x) - f(y)| < \frac{1}{4\cos^2(1)}|x - y|$ où $f(t) = \frac{1}{4}\tan(t)$
• 5) $(\forall (x; y) \in ([0; 2])^2) ; |g(x) - g(y)| < \frac{\sqrt{2}}{12}|x - y|$ où $g(t) = \text{Arc}\tan(\sqrt{t+2})$

Exercice 7

1) Enoncer le théorème des accroissements finis.

2) Montrer que : $(\forall x \in ]0; \frac{\pi}{2}[) ; 1 < \frac{\tan(x)}{x} < 1 + \tan^2(x)$, en appliquant le théorème des accroissements finis.

Exercice 8

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[0; +\infty[$ et dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ telle que : $f(0) = 0$ et la fonction $f'$ est décroissante sur l'intervalle $]0; +\infty[$.

1) Montrer que : $(\forall x \in ]0; +\infty[) ; f(x) \ge x f'(x)$

2) Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par : $g(x) = \frac{f(x)}{x}$
Montrer que la fonction $g$ est décroissante sur $]0; +\infty[$.

Exercice 9

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; \frac{\pi}{4}]$ par : $f(x) = 2x + \sin(x) - \cos(x)$

1) Montrer que : $(\exists! \alpha \in ]0; \frac{\pi}{4}[) / f(\alpha) = \alpha$

2) Montrer que : $(\forall x \in [0; \frac{\pi}{4}]) ; |f'(x)| \le 4$

3) Montrer que : $(\exists! \alpha \in [0; \frac{\pi}{4}]) / |f(x) - \alpha| \le \pi$

Exercice 10

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et dérivable sur $]0; 1[$ telles que : $f(0) = 0$ et $f(1) = 4$

Montrer que : $(\exists c \in ]0; 1[) / \sqrt{c^3} \times f'(c) = 1$

Exercice 11

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 1 - x + \text{Arc}\tan(x)$
et soit $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) a) Montrer que le point $I(0; 1)$ est un centre de symétrie de $(C)$.
b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

2) a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$.
b) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et que : $2 < \alpha < \frac{5}{2}$

3) a) Etudier les branches infinies de la courbe $(C)$.
b) Tracer la courbe $(C)$.

4) a) Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable en tout point de $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et que : $(\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}) ; 1 + (f^{-1})'(x) + \frac{1}{(f^{-1}(x))^2} = 0$
b) Montrer que : $(\exists c \in ]\frac{\pi}{4}; 1[) ; (\frac{\pi}{4} - 1)\left(1 + \frac{1}{(f^{-1}(c))^2}\right) = -1$

Exercice 12

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$ par :

1) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$

2) Montrer que : $-2 \le f'(x) \le -1$ pour tout réel $x$ de $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$

3) En déduire que : $\frac{\pi}{2} - 2x \le \frac{1 - \tan x}{\tan x} \le \frac{\pi}{4} - x$ pour tout réel $x$ de $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right]$

4) a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque définie sur l'intervalle $[0; 1]$.
b) Expliciter $f^{-1}(x)$ pour tout réel $x$ de $[0; 1]$.

Exercice 13

1) $a$ et $b$ deux réels tels que : $a < b$
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$ et dérivables sur $]a; b[$ telle que $g'(x) \neq 0$ pour tout réel $x$ de $]a; b[$.
a) Montrer que : $g(a) \neq g(b)$
b) En considérant la fonction $\varphi$ définie sur $[a; b]$ par :
$\varphi(x) = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \times (g(x) - g(a)) - (f(x) - f(a))$
Montrer que : $(\exists c \in ]a; b[) ; \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

2) Application :
Calculer les limites suivantes :

Exercice 14

$a$ et $b$ deux nombres réels avec $a < b$.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a; b]$ et dérivable sur l'intervalle $]a; b[$ telle que :
$f(a) = f(b) = 0$ et $f'_d(a) = 0$

Montrer que : $(\exists c \in ]a; b[) ; f'(c) = \frac{f(c)}{c - a}$

Exercice 15

$n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et dérivable sur l'intervalle $]0; 1[$ telle que :
$f(0) = 0$ et $f(1) = 1$

Montrer que : $(\exists (a; b; c) \in (]0; 1[)^3) ; f'(a) \times f'(b) = \frac{1 - c^n}{1 - c} \times c^{n-1}$

Exercice 16

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ telle que :
$(\exists \alpha \in ]0; +\infty[) ; (\forall x \in \mathbb{R}) ; f''(x) \ge \alpha$

1) Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -\infty$

2) Montrer que $f'$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
On note : $g$ la bijection réciproque de l'application $f'$.

3) Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = xg(x) - f(g(x))$
Montrer que la fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$.

Exercice 17

Soit $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a < b$.

Soit $f$ une fonction numérique continue sur le segment $[a; b]$ et deux fois dérivable sur l'intervalle $]a; b[$ telle que : $f(a) = f(b) = 0$ et $f''(x) \neq 0$ pour tout réel $x$ de $]a; b[$.

Montrer que : $(\forall x \in ]a; b[) ; f(x) \neq 0$

Exercice 18

Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[0; +\infty[$, dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = f(0)$

On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par :

1) Montrer que la fonction $\varphi : x \mapsto \frac{1}{x} - 1$ réalise une bijection de l'intervalle $]0; 1]$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

2) a) Montrer que la fonction $F$ est continue sur $[0; 1]$.
b) Montrer que la fonction $F$ est dérivable sur l'intervalle $]0; 1[$.

3) Montrer que : $(\exists c \in ]0; +\infty[) / f'(c) = 0$

4) On suppose que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0; +\infty[$ pour tout réel $x > 0$.
Montrer que le réel $c$ est unique.

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par : $f(x) = x(\sqrt[3]{x} - 2)^2$
et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
b) Etudier la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.

2) Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en 0, puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

3) Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

4) Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par : $f(x) = 1 + \cos(\pi x)$

1) a) Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
b) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle $[0; 2]$.

2) Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $]0; 2[$ et que :
$(f^{-1})'(x) = \frac{-1}{\pi\sqrt{2x - x^2}}$ pour tout réel $x$ de $]0; 2[$.

3) Déterminer : $\lim_{x \to 2^-} \frac{f^{-1}(x)}{x - 2}$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{f^{-1}(x) - 1}{x}$

4) Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; 2]$ par : $h(x) = f^{-1}(x) + f^{-1}(2 - x)$
a) Montrer que la fonction $h$ est dérivable sur l'intervalle $]0; 2[$, puis calculer $h'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0; 2[$.
b) Calculer $h(1)$, puis montrer que : $h(x) = 1$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; 2]$.
c) Donner une interprétation graphique du résultat obtenu.

Exercice 3

On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie par :
$f(x) = \text{Arc}\tan(2x\sqrt{1 - x}) + \frac{\pi}{2}$
et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) a) Déterminer $D$ l'ensemble de définition de $f$.
b) Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, donner une interprétation graphique du résultat obtenu.

2) Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à gauche en 1, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

3) a) Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]-\infty; 1[$,
b) Dresser le tableau de variations de $f$.
c) Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.

Exercice 4

On considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{(x + 1)^2}{x^2 + 1}$

1) a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ ;
b) Vérifier que : $f([1; 2]) \subset [1; 2]$, et montrer que : $(\forall x \in [1; +\infty[) ; |f'(x)| \le \frac{1}{4}$
c) Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]1; 2[$.

2) On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par :
$\begin{cases} u_0 = 2 \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$
On pose pour tout entier naturel $n$ : $x_n = u_{2n}$ et $y_n = u_{2n+1}$
a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; 1 \le u_n \le 2$
b) i) Montrer que la suite $(x_n)$ est décroissante et que la suite $(y_n)$ est croissante.
ii) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; y_n < \alpha < x_n$
c) i) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; |x_{n+1} - y_{n+1}| \le \left(\frac{1}{4}\right)^2 |x_n - y_n|$
ii) Montrer que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont adjacentes.
iii) Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} x_n = \lim_{n \to +\infty} y_n = \alpha$

Exercice 5

I/ Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \text{Arc}\tan(x) + 2x - 1$
1) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; f'(x) > 2$
2) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $\mathbb{R}$.
3) Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ et que : $0 < \alpha < 1$
4) Montrer que : $(\forall x \in ]\alpha; +\infty[) ; f(x) > x$

II/ On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par :
$\begin{cases} u_0 = a \text{ où } a \in \mathbb{R} \text{ et } a > \alpha \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f^{-1}(u_n) \end{cases}$
1) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_n > \alpha$
2) Montrer que la suite $(u_n)$ est monotone, puis en déduire qu'elle est convergente.
3) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
$(\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} - \alpha < \frac{1}{2}(u_n - \alpha)$
4) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.

Exercice 6

On considère la fonction $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $f(x) = x - \sqrt[3]{\frac{x + 1}{x}}$
et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) a) Déterminer $D$ le domaine de définition de $f$ ;
b) Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes des intervalles de $D$ ;
c) Etudier les branches infinies de la courbe $(\mathscr{C})$.

2) Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à gauche en -1, puis donner une interprétation graphique du résultat obtenu.

3) a) Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $D \setminus \{-1\}$ ;
b) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
c) Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.

4) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.
a) Montrer que la fonction $g$ réalise une bijection dans un intervalle $J$ à préciser.
b) Montrer que : $(\exists! \alpha \in ]0; +\infty[) ; g(\alpha) = 0$ et que : $1 < \alpha < 2$
c) Montrer que la fonction $g^{-1}$ est dérivable sur $J$, et montrer que :
$(g^{-1})'(0) = \frac{3\alpha^4}{1 + 3\alpha^4}$
d) Tracer la courbe $(\mathscr{C}')$.

Exercice 7

I/ Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; \frac{\pi}{2}[$ par :
$\begin{cases} g(x) = \frac{\tan x}{x} & ; 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ g(0) = 1 \end{cases}$
1) Montrer que la fonction $g$ est continue sur l'intervalle $[0; \frac{\pi}{2}[$, puis calculer $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} g(x)$.
2) a) Soit $x$ un élément de l'intervalle $]0; \frac{\pi}{2}[$.
En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction $\varphi : t \mapsto \tan(t) - t$ sur l'intervalle $[0; x]$, montrer que : $0 < \tan(x) - x < x \times \tan^2(x)$
b) Montrer que la fonction $g$ est dérivable à droite en $x_0 = 0$
3) a) Dresser le tableau de variations de la fonction $g$.
b) Montrer que la fonction $g$ réalise une bijection de l'intervalle $[0; \frac{\pi}{2}[$ sur un intervalle $J$ à préciser.

II/ On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; \frac{\pi}{2}]$ par :
$\begin{cases} f(x) = \text{Arc}\tan(g(x)) & ; 0 \le x < \frac{\pi}{2} \\ f(0) = \frac{\pi}{4} \text{ et } f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a) Montrer que la fonction $f$ est continue sur $[0; \frac{\pi}{2}]$.
b) Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = 0$, puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
2) a) Montrer que : $(\forall t > 0) ; \text{Arc}\tan(t) + \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2}$
b) Montrer que la fonction $f$ est dérivable à gauche en $x_1 = \frac{\pi}{2}$
3) a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
b) Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.

Exercice 8

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par :
$\begin{cases} f(x) = \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right) + \sqrt{x}\text{Arc}\tan(x) & ; x > 0 \\ f(0) = \frac{\pi}{2} \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a) Montrer que : $(\forall x > 0) ; \text{Arc}\tan(x) + \text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$
b) Montrer que la fonction $f$ est continue sur $[0; +\infty[$.
2) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, puis donner une interprétation graphique du résultat obtenu.
3) a) Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en 0, donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
b) Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0; +\infty[$, puis étudier le signe de $f'(x)$ pour $x > 0$.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
4) Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $I = [1; +\infty[$.
a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
b) Déterminer la monotonie de la fonction $g^{-1}$ sur $J$, puis donner l'expression de $g^{-1}$ pour $x \in J$.

Exercice 9

I/ On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1; +\infty[$ par : $f(x) = 3 \times \sqrt[3]{x + 1} - x$
et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) a) Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$, puis étudier la branche infinie de la courbe $(\mathscr{C})$ au voisinage de $+\infty$.
b) Etudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite en $x_0 = -1$, puis donner une interprétation géométrique du résultat.
2) a) Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]-1; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
b) Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ dans l'intervalle $]5; 6[$ tel que : $f(\alpha) = 0$
c) Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.

II/ Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; +\infty[$.
1) Montrer que : $(\exists! \lambda_0 \in ]2; 3[) ; g(\lambda_0) = \lambda_0$
2) a) Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
b) Montrer que la fonction $g^{-1}$ est dérivable sur l'intervalle $]-\infty; 3[$ et que : $(g^{-1})'(\lambda_0) = \frac{4\lambda_0^2}{9 - \lambda_0^2}$
c) Tracer $(\Gamma)$ la courbe représentative de la fonction $g^{-1}$ dans le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
3) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
$g^{-1}(x) - \alpha < \frac{x\alpha^2}{9 - \alpha^2}$ pour tout réel $x$ de $]-\infty; 0[$.

III/ On considère la suite numérique définie par : $\begin{cases} u_0 = 0 \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $x_n = u_{2n}$ et $y_n = u_{2n+1}$
1) a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; 0 \le u_n \le 3$
b) Montrer que la suite $(x_n)$ est croissante et que la suite $(y_n)$ est décroissante.
2) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; x_n < \lambda_0 < y_n$, puis en déduire les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont convergentes.
3) a) Montrer que : $(\forall x \in [0; 3]) ; |f'(x)| \le \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)$
b) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) : |x_{n+1} - y_{n+1}| \le \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2 |x_n - y_n|$
c) En déduire que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont adjacentes.
4) Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} x_n = \lim_{n \to +\infty} y_n = \lambda_0$

Exercice 10

A) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) ; \cos(\text{Arc}\tan(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

B) Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$ par :
$\begin{cases} f(x) = 2\text{Arc}\tan\left(\frac{1}{2}\tan\left(\frac{2x}{3}\right)\right) & ; 0 \le x < \frac{3\pi}{4} \\ f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \pi \end{cases}$
et $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
1) Montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$.
2) Montrer que $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right[$, puis calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right[$.
3) Montrer que : $(\forall x \in \left[0; \frac{3\pi}{4}\right[) ; f'(x) = \frac{5}{3} - \cos(f(x))$
4) Soit $x$ un élément de l'intervalle $\left]0; \frac{3\pi}{4}\right[$.
a) Montrer que : $(\exists c \in \left]x; \frac{3\pi}{4}\right[) ; f(x) - \pi = \left(x - \frac{3\pi}{4}\right) \times f'(c)$
b) En déduire que : $\frac{5}{3} - \cos(f(x)) < \frac{f(x) - \pi}{x - \frac{3\pi}{4}} < \frac{8}{3}$
c) Calculer $\lim_{x \to \frac{3\pi}{4}^-} \cos(f(x))$, en déduire que la fonction $f$ est dérivable à gauche en $\frac{3\pi}{4}$ puis interpréter graphiquement le résultat.
5) a) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
b) Etudier la concavité de la courbe $(\mathscr{C})$.
c) Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.
6) a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à préciser.
b) Calculer $f^{-1}(x)$ pour tout réel $x$ de $J$.

Exercice 11

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$\begin{cases} f(x) = x^2\text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right) & ; x \neq 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C}_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé.
1) Etudier la parité de $f$.
2) Montrer que $f$ est continue en 0.
3) Etudier la dérivabilité de $f$ en 0 et donner une interprétation géométrique du résultat.
4) Montrer que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (on rappelle que : $\lim_{t \to 0} \frac{\text{Arc}\tan(t)}{t} = 1$)
5) a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
$(\forall x \in \mathbb{R}^{*+}) ; \frac{x}{1 + x^2} < \text{Arc}\tan(x) < x$
b) En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{*+}) ; \frac{x^3}{1 + x^2} < f(x) < x$
c) Montrer que $(\mathscr{C}_f)$ admet la droite $(D)$ d'équation $y = x$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.
6) a) Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}^{*+}) ; f'(x) = 2x\text{Arc}\tan\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{x^2}{1 + x^2}$
b) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.
7) Tracer $(\mathscr{C}_f)$.
8) a) Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.
b) Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $\frac{\pi}{4}$ et calculer $(f^{-1})'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ (Remarquer que $f(1) = \left(\frac{\pi}{4}\right)$)
9) Soit $n \in \mathbb{N}^*$
a) Montrer que l'équation $f(x) = \frac{1}{n}$ admet une solution unique $a_n$ dans $]0; +\infty[$
b) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}) ; a_n < 1$
c) Montrer que la suite $(a_n)_{n \ge 1}$ est décroissante.
d) Montrer que la suite $(a_n)_{n \ge 1}$ est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 12

On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0; \frac{\pi}{2}\right[$ par : $f(x) = 2\left(\frac{1}{1 - \sin x} - 1\right)$

1) a) Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$.
b) Déterminer $f^{-1}(0)$ et $f^{-1}(2)$.

2) a) Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[0; +\infty[$ on a :
$1 - \sin(f^{-1}(x)) = \frac{2}{2 + x}$ et $\cos(f^{-1}(x)) = \frac{2\sqrt{1 + x}}{2 + x}$
b) Montrer que la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $[0; +\infty[$.
c) Montrer que : $(\forall x \in [0; +\infty[) ; (f^{-1})'(x) = \frac{1}{(2 + x)\sqrt{1 + x}}$
d) Montrer que : $(\forall x \in [0; +\infty[) ; 0 < (f^{-1})'(x) \le \frac{1}{2}$

3) On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par :
$\begin{cases} u_0 = 2 \\ (\forall n \in \mathbb{N}) ; u_{n+1} = f^{-1}(u_n) \end{cases}$
a) Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) ; 0 \le u_n \le 2$
b) Montrer, en utilisant l'inégalité des accroissements finis, que :
$(\forall n \in \mathbb{N}) ; 0 < u_{n+1} \le \frac{1}{2}u_n$
c) Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \mathbb{N} : 0 < u_n \le \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
d) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente en précisant sa limite.

4) Soit $(v_n)_{n \ge 1}$ la suite définie par :
$(\forall n \ge 1) ; v_n = n\left(f^{-1}\left(u_n + \frac{2}{n}\right) - f^{-1}\left(u_n + \frac{1}{n}\right)\right)$
a) En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
$(\forall n \in \mathbb{N}^*) ; \left(\exists c_n \in \left]u_n + \frac{1}{n}; u_n + \frac{2}{n}\right[\right) ; v_n = \frac{1}{(2 + c_n)\sqrt{1 + c_n}}$
b) Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} c_n = 0$, puis calculer $\lim_{n \to +\infty} v_n$.

Exercice 13

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $]-\infty; 1]$ par :
$\begin{cases} f(x) = \frac{\text{Arc}\tan(\sqrt{1 - x})}{\sqrt{1 - x}} & ; x < 1 \\ f(1) = 1 \end{cases}$
Et soit $(\mathscr{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.

1) a) Montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $]-\infty; 1]$.
b) Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$, interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2) Pour tout réel $a$ de l'intervalle $]-\infty; 1[$, on considère la fonction numérique $\varphi_a$ de la variable réelle $x$ définie sur l'intervalle $]-\infty; 1]$ par :
$\varphi_a(x) = (\text{Arc}\tan(\sqrt{1 - a}) - \sqrt{1 - a})(\sqrt{1 - x})^3 - (\text{Arc}\tan(\sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x})(\sqrt{1 - a})^3$
a) Montrer que la fonction $\varphi_a$ est continue sur l'intervalle $[a; 1]$ et dérivable sur l'intervalle $]a; 1[$.
b) Calculer $\varphi_a(1)$ et $\varphi_a(a)$ puis montrer que :
$(\exists c \in ]a; 1[) ; \frac{\text{Arc}\tan(\sqrt{1 - a}) - \sqrt{1 - a}}{(\sqrt{1 - a})^3} = \frac{1}{3(c - 2)}$
c) En déduire que : $(\forall x \in ]-\infty; 1[) ; \frac{1}{3(2 - x)} < \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} < \frac{1}{3}$
d) Montrer que la fonction $f$ est dérivable à gauche en 1 et que : $f'_g(1) = \frac{1}{3}$, puis interpréter graphiquement ce résultat.

3) a) Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]-\infty; 1[$ et que : $(\forall x \in ]-\infty; 1[) ; f'(x) = \frac{1}{2(1 - x)}\left(f(x) - \frac{1}{2 - x}\right)$
b) Montrer que : $(\forall X > 0) ; \frac{X}{1 + X^2} < \text{Arc}\tan(X) < X$ (T.A.F)
c) En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty; 1]$.
d) Tracer la courbe $(\mathscr{C})$.

4) a) Montrer que : $(\forall x < 1) ; f'(x) < \frac{1}{2(2 - x)}$
b) En déduire que : $(\forall x \le 1) ; |f'(x)| \le \frac{1}{2}$
c) Montrer que : $(\forall (x; y) \in ]-\infty; 1]) ; |f(x) - f(y)| \le \frac{1}{2}|x - y|$

Exercice 1

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

Exercice 2 – Tangente à une courbe

Soit \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \).

1) Calculer \( f'(x) \).

2) Déterminer l'équation de la tangente (T) à \( C_f \) au point d'abscisse \( x_0 = 1 \).

3) Déterminer les points de \( C_f \) où la tangente est horizontale.

Exercice 3 – Règles de dérivation (produit, quotient, composée)

Calculer la dérivée de :

Exercice 4 – Règles de base

Calculer les dérivées de :

Exercice 5 – Tangentes à \( f(x)=x^2 e^x \)

Soit \( f(x) = x^2 e^x \).

1) Calculer \( f'(x) \).

2) Équation de la tangente au point d'abscisse \( x=0 \).

3) Équation de la tangente au point d'abscisse \( x=1 \).

Exercice 6 – Dérivées successives et points d'inflexion

Soit \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \).

1) Calculer \( f'(x) \).

2) Calculer \( f''(x) \).

3) Déterminer les points d'inflexion de la courbe de \( f \) (points où \( f'' \) change de signe).

Exercice 7 – Théorème de Rolle

1) Soit \( f(x)=\sin(x)+\cos(x) \) sur \([0;2\pi]\). Montrer que \( f' \) s'annule au moins une fois.

2) Soit \( g(x)=x(x-1)(x+2)(x-3) \). Montrer que \( g'(x)=0 \) admet au moins trois solutions dans \(\mathbb{R}\).

Exercice 8

Calculer la dérivée de \( h(x) = e^x + 2x \).

Exercice 9

Soit \( f(x)=\sin(x)+\cos(x) \). Calculer \( f'(x) \).

Exercice 10 – Dérivabilité d'une fonction polynomiale

Soit \( f(x)=3x^2+2x-5 \). Montrer que \( f \) est dérivable en \( x=1 \) et calculer \( f'(1) \).

Exercice 11

Calculer la dérivée de \( f(x) = e^x + 2x \).

Exercice 12 – Tangente à une fonction trigonométrique

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \( f(x)=\sin(x) \) au point d'abscisse \( x=\frac{\pi}{4} \).

Exercice 13

Soit \( g(x)=x^3-3x+4 \). Trouver l'équation de la tangente à la courbe de \( g \) au point d'abscisse \( x=2 \).

Exercice 14 – Dérivabilité d'une fonction racine

Soit \( f(x)=\sqrt{x+1} \). Montrer que \( f \) est dérivable en \( x=0 \) et calculer \( f'(0) \).

Exercice 15

Soit \( f(x)=3x^2+5x-2 \). Calculer \( f'(x) \).

Exercice 16 – Tangente en un point

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \( f(x)=x^2+2 \) au point d'abscisse \( a=1 \).

Exercice 17

Soit \( g(x)=\sin(x) \). Calculer \( g'(\frac{\pi}{4}) \).

Exercice 18 – Dérivabilité d'une fonction rationnelle

Montrer que \( h(x)=\dfrac{1}{x-2} \) est dérivable sur \( ]2;+\infty[ \).

Exercice 19 – Dérivée d'une fonction composée

Soit \( h(x)=\sin(2x) \). Calculer \( h'(x) \) et \( h'(\frac{\pi}{4}) \).

Exercice 20

Soit \( f(x)=3x^2+5x-2 \). Calculer \( f'(x) \).

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) par :

\[ f(x) = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 2} \]

1. Déterminer les limites de \( f \) en \( -\infty \), \( +\infty \), en \( 2^- \) et \( 2^+ \). En déduire les asymptotes de la courbe \( C_f \).

2. Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R}\setminus\{2\} \). Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).

3. Écrire l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = 0 \).

Exercice 2 — Dérivabilité en un point (valeur absolue)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = x|x - 1| + 2 \]

1. Vérifier que \( f \) est continue en \( x = 1 \).

2. Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x = 1 \) en calculant les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite. Interpréter graphiquement.

3. On pose \( g(x) = x^2 - x + 2 \) pour \( x \ge 1 \). Calculer \( g'(x) \) et déterminer les points de la courbe de \( g \) où la tangente est horizontale.

Exercice 3 — Étude d'une fonction rationnelle (division)

On considère la fonction \( g \) définie par :

\[ g(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x - 1} \]

1. Déterminer les limites en \( \pm\infty \), en \( 1^- \) et \( 1^+ \). En déduire les asymptotes éventuelles.

2. Effectuer la division euclidienne de \( 2x^2 + x - 1 \) par \( x - 1 \), puis exprimer \( g(x) \) sous la forme \( ax + b + \frac{k}{x-1} \).

3. En déduire l'asymptote oblique et la position de \( C_g \) par rapport à cette asymptote.

4. Calculer \( g'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( g \) sur chacun des intervalles de \( D_g \).

Exercice 4 — Dérivabilité et tangente (polynôme)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \]

1. Calculer \( f'(x) \).

2. Dresser le tableau de variations de \( f \) sur \( \mathbb{R} \).

3. Déterminer l'équation de la tangente \( (T) \) à la courbe \( C_f \) au point d'abscisse \( a = 1 \).

4. Montrer que \( (T) \) est parallèle à la droite d'équation \( y = -3x + 5 \). Sont-elles confondues ?

Exercice 5 — Étude complète d'une fonction rationnelle

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) par :

\[ f(x) = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 2} \]

Partie A :

1. Déterminer \( D_f \).

2. Calculer les limites en \( \pm\infty \) et en 2. En déduire les asymptotes.

3. Effectuer la division euclidienne de \( x^2 - 3x + 4 \) par \( x - 2 \), puis en déduire une asymptote oblique.

Partie B :

4. Calculer \( f'(x) \).

5. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations.

6. Écrire l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = 0 \).

Exercice 6 — Dérivée, variations, asymptote oblique

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) par :

\[ f(x) = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 2} \]

1. Calculer \( f'(x) \) sous forme d'une fraction irréductible.

2. Étudier le signe de \( f'(x) \) et en déduire les variations de \( f \) sur \( ]-\infty;2[ \) et \( ]2;+\infty[ \).

3. Montrer que la droite \( \Delta : y = x - 1 \) est une asymptote oblique à \( C_f \) en \( \pm\infty \).

4. Écrire l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = 0 \).

Exercice 7 — Dérivabilité en 0 (fonction avec valeur absolue)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = x|x| + 2x \]

1. Exprimer \( f(x) \) sans valeur absolue selon que \( x \ge 0 \) ou \( x < 0 \).

2. Étudier la dérivabilité de \( f \) en 0 en calculant les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite.

3. En déduire si \( f \) admet une tangente en \( x=0 \). Si oui, donner son équation.

4. Calculer \( f'(x) \) pour \( x>0 \) et pour \( x<0 \), puis dresser le tableau de signe de \( f' \).

Exercice 8 — Dérivée, variations, tangente en \( x=3 \)

Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) par :

\[ f(x) = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 2} \]

1. Déterminer \( D_f \).

2. Calculer \( f'(x) \) en utilisant la règle de dérivation d'un quotient. Simplifier le résultat.

3. Étudier le signe de \( f'(x) \) et en déduire les variations de \( f \) sur chaque intervalle de \( D_f \).

4. Déterminer l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = 3 \).

5. Montrer que la droite d'équation \( y = x - 1 \) est asymptote oblique à \( C_f \) en \( \pm\infty \).

Exercice 9 — Tangente en \( x=0 \) (BAC France 2024)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) par :

\[ f(x) = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 2} \]

1. Calculer \( f'(x) \) pour tout \( x \in \mathbb{R}\setminus\{2\} \).

2. Dresser le tableau de variations de \( f \).

3. Déterminer l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = 0 \).

4. Montrer que la droite d'équation \( y = x - 1 \) est asymptote oblique à \( C_f \) en \( \pm\infty \).

Exercice 10 — Dérivabilité en un point (paramètres)

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = x^2 + 1 \text{ si } x \le 1,\quad f(x) = ax + b \text{ si } x > 1 \]

1. Déterminer les valeurs de \( a \) et \( b \) pour que \( f \) soit continue en \( x = 1 \).

2. Avec les valeurs trouvées, étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x = 1 \) à l'aide du taux d'accroissement.

3. La courbe \( C_f \) admet-elle une tangente au point d'abscisse \( x = 1 \) ? Si oui, donner son équation.

4. Calculer \( f'(x) \) sur \( \mathbb{R}\setminus\{1\} \) et dresser le tableau de variations de \( f \).

Exercice 11 — Étude d'une fonction polynomiale

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \]

1. Calculer \( f'(x) \).

2. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations de \( f \).

3. Déterminer les extremums locaux de \( f \) (préciser maximum ou minimum).

4. Écrire l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse \( x = 1 \).

Exercice 12 — Fonction exponentielle et tangente

On considère la fonction \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ g(x) = (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x \]

1. Calculer \( g'(x) \).

2. Résoudre \( g'(x) = 0 \) et dresser le tableau de variations de \( g \).

3. Montrer que la tangente à la courbe \( C_g \) au point d'abscisse \( x = 0 \) passe par le point \( A(1;0) \).

Exercice 1 — Étude complète de \( f(x) = (x^2 - 1)e^{-x} \)

Soit \( f(x) = (x^2 - 1) \cdot e^{-x} \).

1. Déterminer le domaine de définition de \( f \).

2. Calculer les limites de \( f \) en \( -\infty \) et en \( +\infty \).

3. Calculer \( f'(x) \) et étudier son signe.

4. Dresser le tableau de variation de \( f \).

5. Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

Exercice 2 — Tableau de variations complet et asymptotes

Soit \( f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} \) définie sur \( \mathbb{R}\setminus\{1\} \).

1. Calculer les limites de \( f \) en \( 1^- \), \( 1^+ \), \( +\infty \) et \( -\infty \).

2. Montrer que la droite \( y = x - 1 \) est asymptote oblique à la courbe de \( f \).

3. Étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

4. Calculer \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations complet de \( f \).

5. Déterminer les extrema locaux de \( f \).

Exercice 3 — Optimisation (boîte cylindrique)

On veut fabriquer une boîte cylindrique sans couvercle, de volume fixé \( V = 500\pi \, \text{cm}^3 \).

Soit \( r \) le rayon de la base et \( h \) la hauteur.

1. Exprimer \( h \) en fonction de \( r \) en utilisant la contrainte de volume.

2. Exprimer la surface totale \( S(r) \) (base + surface latérale) en fonction de \( r \) seul.

3. Calculer \( S'(r) \) et déterminer la valeur de \( r \) qui minimise \( S(r) \) sur \( ]0;+\infty[ \).

4. Calculer la hauteur et la surface minimale correspondantes.

Exercice 4 — Étude complète de \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) sur \( ]0;+\infty[ \)

Soit \( f(x) = x + \dfrac{1}{x} \) définie sur \( ]0;+\infty[ \).

1. Calculer \( f'(x) \) et étudier son signe sur \( ]0;+\infty[ \).

2. Dresser le tableau de variations complet de \( f \).

3. Déterminer le minimum de \( f \) et sa valeur.

4. Étudier les asymptotes (en \( 0^+ \) et en \( +\infty \)).

5. Tracer la courbe de \( f \).

Exercice 5 — Étude de \( f(x) = (x-1)^2 e^x \)

Soit \( f(x) = (x-1)^2 \cdot e^x \) définie sur \( \mathbb{R} \).

1. Calculer \( f'(x) \) et le factoriser.

2. Étudier le signe de \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations.

3. Déterminer les extremums de \( f \). S'agit-il d'un minimum ou d'un maximum ?

4. Calculer les limites de \( f \) en \( \pm\infty \).

Exercice 6 — Inégalités par la dérivée : \( e^x \ge 1+x \)

1. Montrer que \( e^x \ge 1 + x \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), avec égalité en \( x=0 \).

2. En déduire que \( e^x \ge 1 + x + \dfrac{x^2}{2} \) pour tout \( x \ge 0 \).

3. En déduire que \( \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \) pour tout entier \( n \ge 1 \).

Exercice 7 — Détermination de \( f(x)=ax^2+bx+c \) par conditions

Soit \( f(x) = ax^2 + bx + c \). On sait que : \( f(1)=2 \), \( f'(1)=3 \), \( f''(1)=4 \).

1. Calculer \( f'(x) \) et \( f''(x) \) en fonction de \( a,b,c \).

2. Écrire le système d'équations donné par les trois conditions.

3. Résoudre le système et donner l'expression de \( f(x) \).

4. Vérifier les trois conditions.

Exercice 8 — Dérivabilité par la définition

On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par :

\[ f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 5} \quad \text{si } x \neq 5, \qquad f(5) = 4. \]

1. Étudier la dérivabilité de \( f \) en 5.

2. En déduire l'équation de la tangente à \( C_f \) au point d'abscisse 5.

Exercice 9 — Dérivée d'une fonction composée

On considère la fonction \( f(x) = \sqrt{\dfrac{2x}{3x+1}} \).

1. Déterminer le domaine de définition \( D_f \).

2. Calculer \( f'(x) \) et étudier son signe sur \( D_f \).

Exercice 10 — Théorème de Rolle

1. Soit \( f(x)=\sin(x)+\cos(x) \) sur \( [0;2\pi] \). Montrer que \( f' \) s'annule au moins une fois sur \( [0;2\pi[ \).

2. Soit \( g(x)=x(x-1)(x+2)(x-3) \). Montrer que \( g'(x)=0 \) admet au moins trois solutions distinctes dans \( \mathbb{R} \).

Exercice 11 — Suite récurrente et inégalité des accroissements finis

Soit \( f(x)=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \) sur \( I=[1;+\infty[ \) et \( U_0=2 \), \( U_{n+1}=f(U_n) \).

1. Montrer que \( f(x)=x \) admet une unique solution \( \alpha \in ]1;2[ \).

2. Montrer que pour tout \( x \in [1;+\infty[ : |f'(x)| \le \frac{1}{2} \).

3. a) Montrer que pour tout \( n \), \( 1 \le U_n \le 2 \).

b) En déduire que \( |U_{n+1}-\alpha| \le \frac{1}{2}|U_n-\alpha| \).

c) Déterminer \( \lim_{n\to+\infty} U_n \).

Exercice 12 — Équation de la tangente avec un point donné

Soit \( f(x)=x^2+2x \). Trouver l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point \( P(1, f(1)) \).

Exercice 1 — TAF et inégalités (Bac France 2024)

Soit \( f(x)=\ln(1+x) \) sur \([0;+\infty[\).

1. Vérifier que \( f \) est continue sur \([0;1]\) et dérivable sur \(]0;1[\). Calculer \( f'(x) \).

2. Appliquer le TAF à \( f \) sur \([0;1]\). Que conclure ?

3. En utilisant la décroissance de \( f' \), montrer que pour tout \( x>0 \) : \[ \frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x. \]

4. Déduire les limites : (a) \( \lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}{x} \), (b) \( \lim_{n\to+\infty} n\ln(1+\frac1n) \).

5. \( g(n)=n\ln(1+\frac1n) \). Montrer que \( g \) est strictement croissante et majorée par 1. Que dire de \( (g(n)) \) ?

Exercice 2 — Étude de \( f(x)=(x-1)e^x+1 \) (Bac France 2024)

Soit \( f(x)=(x-1)e^x+1 \).

1. Calculer les limites en \( \pm\infty \) et interpréter graphiquement.

2. Calculer \( f'(x) \), étudier son signe et dresser le tableau de variations.

3. Montrer que \( f(x)=0 \) admet une unique solution réelle \( x=0 \).

4. Calculer \( f''(x) \), étudier la convexité, déterminer le(s) point(s) d'inflexion et écrire l'équation de la tangente au point d'inflexion.

Exercice 3 — Convexité, inflexion et TAF

Soit \( f(x)=x\ln(x)-x+1 \) sur \( ]0;+\infty[ \).

1. Calculer \( f'(x) \) et \( f''(x) \). En déduire la convexité de \( f \).

2. Montrer que \( f \) admet un minimum en \( x=1 \) et en déduire \( x\ln(x) \ge x-1 \).

3. Appliquer le TAF à \( \ln \) sur \([1;2]\) : montrer qu'il existe \( c\in]1;2[ \) tel que \( \ln(2)=\frac1c \), puis encadrer \( \ln(2) \).

4. Équation de la tangente en \( x=1 \) et interprétation géométrique.

Exercice 4 — Étude de \( f(x)=(x^2-2x+2)e^x \)

Soit \( f(x)=(x^2-2x+2)e^x \).

1. Calculer \( f'(x) \) et \( f''(x) \), factoriser.

2. Étudier les variations et dresser le tableau de variations complet.

3. Étudier la convexité et déterminer les points d'inflexion.

4. Montrer que \( f(x)=0 \) n'a pas de solution.

5. Équation de la tangente en \( x=0 \) et position relative au voisinage de 0.

Exercice 5 — Étude de fonction avec paramètre \( f_m(x)=x^3-3mx+2 \)

1. Étudier les variations de \( f_m \) selon les valeurs de \( m \).

2. Déterminer \( m \) pour lesquels \( f_m \) admet un maximum et un minimum locaux.

3. Montrer que si \( m>0 \), \( f_m(x)=0 \) admet trois solutions distinctes ssi \( m>1 \).

4. Application : résoudre \( x^3-6x+2=0 \) (nombre de solutions).

Exercice 6 — TAF et inégalités avec \( f(x)=x e^{-x^2/2} \)

1. Montrer que \( f \) est impaire et calculer ses limites en \( \pm\infty \).

2. Calculer \( f'(x) \) et dresser le tableau de variations.

3. Montrer que \( |x e^{-x^2/2}| \le e^{-1/2} \).

4. Appliquer le TAF à \( f \) sur \([a,b]\) pour obtenir \( |f(b)-f(a)| \le |b-a| \max |f'| \).

5. En déduire que \( |b e^{-b^2/2} - a e^{-a^2/2}| \le |b-a| \).

Exercice 7 — TAF pour \( \ln(1+x) \)

Soit \( f(x)=\ln(1+x) \).

1. Appliquer le TAF à \( f \) sur \([0,x]\) pour \( x>0 \).

2. En déduire \( \frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x \).

3. Quelle est la valeur de \( c \) pour \( x=1 \) ?

4. Appliquer le TAF sur \([x,0]\) pour \(-1

Exercice 8 — Problème complet BAC : \( f(x)=x e^{1-x} \)

1. Calculer les limites en \( \pm\infty \).

2. Calculer \( f'(x) \) et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variations et déterminer le maximum.

4. Étudier les asymptotes.

5. Calculer l'aire sous la courbe entre \( x=0 \) et \( x=2 \).

Exercice 9 — Théorème des accroissements finis généralisé

Soient \( f,g \) dérivables sur \([0;+\infty[\) avec \( f(0)=g(0)=0 \). Fixons \( x>0 \) avec \( g(x)\neq0 \) et \( g' \) ne s'annulant pas sur \( ]0;x[ \).

Montrer qu'il existe \( c\in]0;x[ \) tel que \( \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \).

Exercice 10 — Encadrement de arctan par le TAF

1. Pour \( 0\le a\le b \), montrer que \[ \frac{b-a}{1+b^2} \le \arctan b - \arctan a \le \frac{b-a}{1+a^2}. \]

2. En déduire que pour tout \( x\ge0 \), \( \dfrac{x}{1+x^2} \le \arctan x \le x \).

Exercice 11 — Théorème de Cauchy via Rolle

Soient \( f,g \) dérivables sur \([0;+\infty[\) avec \( f(0)=g(0)=0 \). Soit \( x>0 \) avec \( g(x)\neq0 \) et \( g' \) ne s'annulant pas sur \( ]0;x[ \).

Montrer qu'il existe \( c\in]0;x[ \) tel que \( \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \).

Exercice 12 — Problème d'optimisation (coût de production)

Une entreprise à Casablanca a un coût de production \( C(x)=2x^2-20x+120 \).

Déterminer le nombre de chaises \( x \) qui minimise le coût.

Exercice 13 — TAF appliqué à \( h(x)=\ln(x)+2x \) sur \([1;e]\)

Montrer que \( h \) respecte le TAF sur \([1;e]\) et déterminer \( c \) tel que \( h(e)-h(1)=h'(c)(e-1) \).

Exercice 14 — Étude complète d'une fonction logarithmique (économie)

\( f(x)=2x-3\ln(x)-\frac{x^2}{4} \) sur \( ]0;+\infty[ \).

1. Limites en \( 0^+ \) et \( +\infty \).

2. Calculer \( f'(x) \) et factoriser le numérateur.

3. Tableau de variations, quantité qui maximise le bénéfice et bénéfice maximal.

4. Montrer que \( f(x)=0 \) admet exactement deux solutions, \( x_1\in]0;1[ \), \( x_2\in]6;7[ \).

5. Ensemble des \( x \) pour lesquels l'entreprise est bénéficiaire.

Exercice 15 — Théorème de Rolle et fonction logarithmique

Soit \( f(x)=\ln(x)-x+1 \).

Partie A : Étudier \( f \), en déduire \( \ln(x)\le x-1 \).

Partie B : \( g(x)=x-1-\ln(x) \), exprimer en fonction de \( f \) et montrer \( (a-b)\ln(a/b)\ge0 \).

Partie C : Soit \( h(x)=x\ln(x)-x+1 \) sur \([1/e;e]\). Vérifier les hypothèses de Rolle, conclure sur l'existence de \( c \) et déterminer explicitement \( c \).

Exercice 16 — Étude complète d'une fonction (situation industrielle)

\( C(x)=x^3-6x^2+9x+2 \), \( R(x)=5x \), \( B(x)=R(x)-C(x) \).

Partie A : Étudier \( C \) sur \([0;5]\), déterminer le coût minimal.

Partie B : Étudier \( B \), déterminer la quantité qui maximise le bénéfice.

Partie C : Montrer que \( B(x)=0 \) équivaut à \( x^3-6x^2+4x+2=0 \). Vérifier que \( x=2 \) n'est pas solution, montrer par TVI que \( B \) s'annule sur \( [0;1[ \) et \( ]4;5[ \). Appliquer Rolle à \( B \) sur \([1;4]\), déterminer \( c \), conclure sur le signe de \( B \) sur \([1;4[\).