Soit $E$ un ensemble non vide et $A, B, C$ des parties de $E$ :

• $\bar{A} = C_E^A$ (le complémentaire)
• $A \cap \bar{A} = \emptyset \quad \text{et} \quad A \cup \bar{A} = E$
• $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ (Lois de De Morgan)
• $\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$
• $\text{card}(A \cup B \cup C) = \text{card}(A) + \text{card}(B) + \text{card}(C) - \text{card}(A \cap B) - \text{card}(A \cap C) - \text{card}(B \cap C) + \text{card}(A \cap B \cap C)$

Si un événement $C_1$ peut se produire de $n_1$ façons différentes, $C_2$ de $n_2$ façons, ..., et $C_p$ de $n_p$ façons, et que tous ces événements sont indépendants, alors le total $n$ des possibilités de l'événement combiné $C_1, C_2, \dots, C_p$ est le produit des possibilités de chaque événement :
 

Définition : Un arrangement sans répétition de $p$ éléments de $E$ est un arrangement où tous les éléments sont distincts (nécessairement $p \le n$).
Notation et Formule : Le nombre d'arrangements sans répétitions se note $A_n^p$ et est égal à :
 

Définition : Une permutation de $n$ éléments de $E$ est une liste ordonnée de $n$ éléments de $E$ sans répétitions ($p=n$).
Le nombre de permutations est égal à $n!$ (factorielle $n$), défini par :
 

Si parmi les $n$ éléments, certains sont identiques (répartis en $k$ groupes de $n_1, n_2, \dots, n_k$ éléments identiques avec $\sum n_i = n$), le nombre de permutations avec répétitions est :
 

Exercice 1 : Étudiants et sports

Dans un lycée de 100 élèves, 53 pratiquent le football, 15 pratiquent le football et le basket-ball, et 20 pratiquent uniquement le football.

1. Quelle est le nombre d'élèves qui pratiquent le basket-ball ?
2. Quelle est le nombre d'élèves qui pratiquent au moins un sport ?
3. Quelle est le nombre d'élèves qui ne pratiquent pas les deux sports ?

Réponse :
Soit $E$ l'ensemble des élèves ($\text{card}(E) = 100$), $B$ ceux du basket, $F$ ceux du foot.
On a $\text{card}(F) = 53$, $\text{card}(F \cap B) = 15$.
1. $\text{card}(B) = \text{card}(B \setminus F) + \text{card}(F \cap B)$... Or le texte indique que 20 pratiquent *que* le foot ($\text{card}(F \setminus B) = 20$). Comme $\text{card}(F) = \text{card}(F \setminus B) + \text{card}(F \cap B) = 20 + 15 = 35$ (non, attention aux données : $\text{card}(F) = 53$ et $\text{card}(F \cap B) = 15$).
D'après les calculs manuscrits :
- $\text{card}(B) = \text{card}(B \setminus F) + \text{card}(F \cap B) = 20 + 15 = 35$ (ou via les données de l'énoncé de la page 1 : $\text{card}(B \setminus F) = 20$).
- Au moins un sport : $\text{card}(F \cup B) = \text{card}(F) + \text{card}(B) - \text{card}(F \cap B) = 53 + 35 - 15 = 73$.
- Aucun des deux sports : $\text{card}(\bar{F} \cap \bar{B}) = 100 - 73 = 27$.

Exercice 2 : Promotion d'étudiants (Langages de programmation)

Dans une promotion de 36 étudiants, 22 maîtrisent le C++, 22 le C, et 18 le Java. De plus, 10 étudiants maîtrisent à la fois le C++ et le C ; 9 maîtrisent à la fois le C et le Java ; 11 à la fois le C++ et le Java. Combien d'étudiants maîtrisent les trois langages ?

Réponse :
Soit $A$ (C++), $B$ (C), $C$ (Java). On cherche $\text{card}(A \cap B \cap C)$.
On a $\text{card}(A \cup B \cup C) = 36$ (total max des étudiants de la promo), $\text{card}(A) = 22, \text{card}(B) = 22, \text{card}(C) = 18$.
$\text{card}(A \cap B) = 10, \ \text{card}(B \cap C) = 9, \ \text{card}(A \cap C) = 11$.
En appliquant la formule de Poincaré :
$\text{card}(A \cup B \cup C) = \text{card}(A) + \text{card}(B) + \text{card}(C) - \text{card}(A \cap B) - \text{card}(B \cap C) - \text{card}(A \cap C) + \text{card}(A \cap B \cap C)$
$36 = 22 + 22 + 18 - 10 - 9 - 11 + \text{card}(A \cap B \cap C)$
$36 = 32 + \text{card}(A \cap B \cap C) \implies \text{card}(A \cap B \cap C) = 4$.

Calcul de probabilités

Fiche de Résumé

1) Principe fondamental de l'analyse combinatoire

Soit $E$ une expérience nécessitant $k$ choix. Si le premier choix se fait de $n_1$ façons différentes et le deuxième choix de $n_2$ façons différentes,... et le $k^{\text{ième}}$ choix de fait $n_k$ façons différentes, alors le nombre de résultats possibles est le produit : $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$.

2) Les nombres $A_n^p$, $n!$ et $C_n^p$

Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls.

• 🔸 Arrangements avec répétition : Le nombre d'arrangements avec répétition de $p$ éléments choisis parmi $n$ est : $n^p$.
• 🔸 Arrangements sans répétition : Le nombre d'arrangements sans répétition de $p$ éléments choisis parmi $n$ (où $1 \le p \le n$) est : $n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)$. Ce nombre est noté $A_n^p$. On a $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
• 🔸 Permutations : Le nombre de permutations de $n$ éléments est le nombre d'arrangements sans répétition de $n$ éléments choisis parmi $n$ : $A_n^n = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$. Ce produit est noté $n!$ et se lit « factorielle $n$ ». Par convention, on pose : $0! = 1$ et $1! = 1$.
• 🔸 Combinaisons : Le nombre de combinaisons de $p$ éléments choisis parmi $n$ est : $\frac{A_n^p}{p!}$. Ce nombre est noté $C_n^p$, et on a : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

3) Formule du binôme de Newton

$(\forall (a;b) \in \mathbb{R}^2) ; (\forall n \in \mathbb{N}^*) ; (a+b)^n = \sum_{p=0}^n C_n^p a^{n-p} b^p$

Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire.

• 🔹 Définition : Lorsque la fréquence d'un événement élémentaire $\{\omega_i\}$ se stabilise en une valeur $p_i$, on dit que la probabilité de l'événement $\{\omega_i\}$ est $p_i$ et on note : $p(\{\omega_i\}) = p_i$. Pour tout événement $A = \{\omega_1; \omega_2; \dots; \omega_k\}$ inclus dans $\Omega$, la probabilité de $A$ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent : $p(A) = p_1 + p_2 + \dots + p_k$.
• 🔹 Propriétés : $p(\Omega) = 1$ et $p(\emptyset) = 0$. Pour tout événement $A$, $0 \le p(A) \le 1$.
• 🔹 Si $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), alors : $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$.
• 🔹 Pour tout événement $A$, on a : $p(\bar{A}) = 1 - p(A)$ (où $\bar{A}$ est l'événement contraire de l'événement $A$).
• 🔹 Pour tout événement $A$ et $B$, on a : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.
• Équiprobabilité : Lorsque toutes les éventualités élémentaires ont la même probabilité, on dit que la probabilité est uniforme (cas de l'équiprobabilité). Dans ce cas, la probabilité d'un événement $A$ est : $p(A) = \frac{\text{Card} A}{\text{Card} \Omega}$.

1) Probabilité conditionnelle

Soit $A$ et $B$ deux événements associés à une même expérience aléatoire telle que : $p(A) \neq 0$.

La probabilité de l'événement $B$, sachant que $A$ est réalisé, est le nombre réel noté $p_A(B)$ (ou $p(B/A)$) défini par : $p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$.

Conséquence : $p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B)$ et $p(A \cap B) = p(B) \times p_B(A)$.

2) Indépendance de deux événements

On dit que les événements $A$ et $B$ sont indépendants si : $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.

Propriété : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si : $p_A(B) = p(B)$ (avec $p(A) \neq 0$). Dire que les événements $A$ et $B$ sont indépendants veut dire que la réalisation de l'un d'entre eux n'influe pas celle de l'autre.

Épreuves répétées (Loi Binomiale) : On considère une épreuve dont le résultat est soit $S$ « succès » de probabilité $p$, soit $\bar{S}$ « échec » de probabilité $1 - p$.

On répète cette épreuve $n$ fois de suite dans les mêmes conditions. La probabilité de l'événement $S_k$ « Le succès $S$ est réalisé $k$ fois exactement » est :
$p(S_k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n-k}$ pour tout $k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}$.

• 🔸 Définition : On appelle variable aléatoire, toute fonction $X$ de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$, qui à tout élément de $\Omega$ associe un réel. L'ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(\Omega) = \{x_1; x_2; \dots; x_n\}$.
• 🔸 Loi de probabilité : Définir la loi de probabilité de $X$ consiste à associer à chaque valeur $x_i$ de $X(\Omega)$, la probabilité de l'événement $(X = x_i)$, notée $p_i$. On vérifie que : $\sum_{i=1}^n p_i = 1$.

Soit $X$ une variable aléatoire associée à une expérience aléatoire sur un espace probabilisé fini $(\Omega, p)$; tel que $X(\Omega) = \{x_1; x_2; x_3; \dots; x_n\}$.

La fonction : $\mathbb{R} \to [0; 1]$ définie par $F(x) = P(X < x)$ est appelée fonction de répartition de la variable aléatoire $X$.

La représentation graphique d'une fonction de répartition prend la forme d'une fonction en escalier, où $F(x) = 0$ pour $x \in ]-\infty; x_1]$, et progresse par paliers jusqu'à $F(x) = 1$ pour $x \in ]x_n; +\infty[$.

VII. Loi binomiale