Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne "$*$" et d'une loi de composition externe "$\cdot$".
On dit que $(E, *, \cdot)$ est un e.v.r (espace vectoriel réel) si et ssi :

• $(E, *)$ est un groupe commutatif.
• $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall (x,y) \in E^2$ :
  1. $1 \cdot x = x$
  2. $\alpha \cdot (x * y) = \alpha \cdot x * \alpha \cdot y$
  3. $(\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x * \beta \cdot x$
  4. $\alpha \cdot (\beta \cdot x) = (\alpha \times \beta) \cdot x$

📝 Exercice

$E = \left\{ M(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \ / \ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$.
Mq : $(E, +, \cdot)$ est un e.v.r.

Réponse :
1- Montrons que $E$ est s/groupe de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +)$ :
On a : $M(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = I \in E \implies E \neq \emptyset$ et $E \subset \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
$M(a,b) + M(-c,-d) = \begin{pmatrix} a-c & b-d \\ 0 & a-c \end{pmatrix} = M(a-c, b-d) \in E$ avec $(a-c, b-d) \in \mathbb{R}^2$.
Donc $E$ est un sous-groupe de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +)$. Et puisque $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +)$ est un groupe commutatif donc $E$ est un grp commutatif.

2- Mq $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall M(a,b) \in E, \ \alpha M(a,b) \in E$ :
On a : $\alpha M(a,b) = \begin{pmatrix} \alpha a & \alpha b \\ 0 & \alpha a \end{pmatrix} = M(\alpha a, \alpha b) \in E$.

3- Vérifions les 4 dernières propriétés :
$\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall M(a,b), M(c,d) \in E^2$ :

• $1 \cdot M(a,b) = M(a,b)$
• $\alpha \cdot (M(a,b) + M(c,d)) = \alpha M(a,b) + \alpha M(c,d)$
• $(\alpha + \beta) \cdot M(a,b) = \alpha M(a,b) + \beta M(a,b)$
• $\alpha \cdot (\beta \cdot M(a,b)) = \alpha \cdot M(\beta a, \beta b) = M(\alpha\beta a, \alpha\beta b) = (\alpha \times \beta) \cdot M(a,b)$

Conclusion : De 1- et 2- et 3-, l'ensemble $E$ est un espace vectoriel réel.

📝 Exercice

$H = \{\vec{u}(x,y) \in \mathcal{V}_2 \ / \ x+2y=0\}$.
Mq : $H$ est un e.v.r.

Réponse :
1- On a : $\vec{u}(0,0) \in \mathcal{V}_2$ et $0 + 2 \times 0 = 0$ donc $\vec{u}(0,0) \in H \implies H \neq \emptyset$ et $H \subset \mathcal{V}_2$.
2- On a : $\forall (\vec{u}, \vec{v}) \in H^2, \ \forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ :
$\alpha \vec{u}(x,y) + \beta \vec{v}(a,b) = \vec{u}(\alpha x, \alpha y) + \vec{v}(\beta a, \beta b) = \vec{B}(\alpha x + \beta a, \alpha y + \beta b)$.
Or : $(\alpha x + \beta a) + 2(\alpha y + \beta b) = \alpha(x + 2y) + \beta(a + 2b) = 0$ car $\vec{u} \in H \implies x+2y=0$ et $\vec{v} \in H \implies a+2b=0$.
Donc la famille est libre dans $(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), +, \cdot)$.

📌 À retenir

$F = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ est non libre (ou liée) 
$\implies \exists (\alpha_1, \dots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$ non tous nuls tel que $\sum \alpha_i x_i = 0$.

📝 Exercice

1- Mq $F=(1, \cos^2(x), \cos(2x))$ n'est pas libre dans $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}, +, \cdot)$.
2- Mq $F=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ n'est pas libre (liée) avec $\vec{u}(1,1), \vec{v}(2,4), \vec{w}(-1,3)$.

Réponse :
1- On sait que : $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \implies 1 \times \cos(2x) - 2 \times \cos^2(x) + 1 \times 1 = 0$.
Mais $(1, -2, 1)$ ne sont pas nuls. Donc $F$ est liée.

2- Soient $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \ / \ a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w} = \vec{0}$.
$\implies \begin{cases} a + 2b - c = 0 \\ a + 4b + 3c = 0 \end{cases}$.
Par méthode de pivot de Gauss : $\begin{cases} a + 2b - c = 0 \\ 2b + 4c = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = 5c \\ b = -2c \end{cases}$.
Pour $c = 1 \implies a = 5 \text{ et } b = -2$. Donc $5\vec{u} - 2\vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$ avec $(5, -2, 1) \neq (0,0,0)$. Donc $F$ est liée dans $(\mathcal{V}_2, +, \cdot)$.

📝 Exercice

1- $E = \{f(x) = (ax^2+bx+c)e^x \ / \ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3\}$. Déterminer une famille génératrice de $(E, +, \cdot)$.
2- $E = \left\{ M(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \ / \ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$. Déterminer une famille génératrice de $(E, +, \cdot)$.

Réponse :
1- On a : $f(x) = (ax^2+bx+c)e^x = a(x^2 e^x) + b(x e^x) + c(e^x)$ et $(x^2 e^x, x e^x, e^x) \in E^3$.
Donc $F = (x^2 e^x, x e^x, e^x)$ est une famille génératrice de $E$.
2- On a : $\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right) \in E^2$.
Donc $F = \left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\right)$ est une famille génératrice de $E$.

📝 Exercice

1- Mq $F = (1+i, 2-3i)$ est une base de $(\mathbb{C}, +, \cdot)$.
2- Déterminer les coordonnées de $z = -2+i$.

Réponse :
1- Montrons que $\forall z \in \mathbb{C}, \exists! (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \ / \ z = \alpha(1+i) + \beta(2-3i)$.
On a $\forall z \in \mathbb{C} \implies z = x+iy$.
$\implies x+iy = \alpha + 2\beta + i(\alpha - 3\beta)$.
$\implies \begin{cases} x = \alpha + 2\beta \\ y = \alpha - 3\beta \end{cases} \implies \begin{cases} \beta = \frac{x-y}{5} \in \mathbb{R} \\ \alpha = \frac{3x+2y}{5} \in \mathbb{R} \end{cases}$.
Donc $F$ est une base de $(\mathbb{C}, +, \cdot)$.

2- Dans $F=(1+i, 2-3i)$.
On a $z = -2+i = -\frac{4}{5}(1+i) + \frac{-3}{5}(2-3i)$.
Donc les coordonnées de $z$ sont $(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$.

📝 Exercice

Mq : $F = \left( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)$ est une base de l'e.v.r $E = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \ / \ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$.

Réponse :
On sait que $(E, +, \cdot)$ est un e.v.r et que $B = \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right)$ est une base de $E$, donc $\dim E = 2$.
On a : $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Et $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
$\det F = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. Donc $F$ est une base de $(E, +, \cdot)$.

• 🔹 Toute famille contenant $O_E$ est liée.
• 🔹 Toute famille contenant une famille liée est liée.
• 🔹 Toute partie d'une famille libre est libre.