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Soit un ensemble non vide muni d'une L.C.I "$*$". On dit que $(G, *)$ est un groupe si et ssi :
Si de plus "$*$" est commutative dans $G$, on dit que $(G, *)$ est un groupe commutatif .
Exemples (Groupes usuels) :
- $(\mathbb{Z}, +), (\mathbb{Q}, +), (\mathbb{R}, +), (\mathbb{C}, +), (\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), +), (\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +), (\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), +)$, $(\mathbb{Q}^*, \times), (\mathbb{R}^*, \times)$ et $(\mathbb{C}^*, \times)$ sont des groupes commutatifs .
- $(\mathcal{V}_2, +), (\mathcal{V}_3, +), (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ sont des groupes commutatifs .
$G =$ l'ensemble des polynômes de degré $\le 2$, c.à.d $G = \{ P(x) = ax^2 + bx + c \ / \ (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 \}$ .
1. Mq $(G, +)$ est un groupe commutatif.
2. Est-ce que $(G, \times)$ est un groupe commutatif ?
Réponse :
1. $G \neq \emptyset$ car le polynôme nul $0 : x \mapsto 0 \in G$. Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ et $Q(x) = a'x^2 + b'x + c'$. $P(x) + Q(x) = (a+a')x^2 + (b+b')x + (c+c') \in G$, donc "$+$" est une L.C.I dans $G$ . "$+$" est commutative et associative dans $(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $G$ stable dans $(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), +)$ .
On a $P(x)=0$ est l'élément neutre de $(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), +)$ et $0 \in G$, donc $0$ est l'élément neutre dans $(G, +)$ . Soit $P \in G$, alors le symétrique de $P$ dans $(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), +)$ est $-P$. $-P \in G$, donc $P$ admet le symétrique dans $(G, +)$. C/C : $(G, +)$ est un groupe commutatif.
2. "$\times$" n'est pas une L.C.I dans $G$. Car soit $P(x) = x^2$ et $Q(x) = x^2 \in G \implies (P \times Q)(x) = x^4 \notin G$ .
📝 Exercices d'application (Sous-groupes) :
Exemples :
- "$\times$" est distributive par rapport à "$+$" dans $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$. C.à.d $x \times (y+z) = x \times y + x \times z$ .
- "$\cap$" est distributive par rapport à "$\cup$" dans $\mathcal{P}(E)$ c.à.d $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
Soit $A$ un ensemble non vide muni de 2 L.C.I "$*$" et "$\top$". On dit que $(A, *, \top)$ est un anneau si et ssi :
Si "$\top$" est commutative, on dit que $(A, *, \top)$ est un anneau commutatif .
Si de plus "$\top$" admet un élément neutre qu'on note $1_A$, on dit que $(A, *, \top)$ est un anneau unitaire .
Exemples :
- $(\mathbb{Z}, +, \times), (\mathbb{Q}, +, \times), (\mathbb{R}, +, \times), (\mathbb{C}, +, \times)$ sont des anneaux commutatifs et unitaires .
- $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +, \times)$ et $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}), +, \times)$ sont des anneaux unitaires non commutatifs .
Soit $(A, *, \top)$ un anneau tel que $0_A$ est l'élément neutre de "$*$". $\forall (a,b) \in A^2$ :
Ex. dans $(\mathbb{R}, +, \times)$ : $a \times 0 = 0 \ ; \ a \times (-b) = -(ab) \ ; \ (-a) \times (-b) = ab$ .
Définition : Soit $(A, *, \top)$ un anneau. On dit qu'il est intègre si et ssi :
$(A, *, \top)$ est non intègre si et ssi : $\exists (a,b) \in A^2 \text{ tel que } a \neq 0_A \text{ et } b \neq 0_A \text{ et } a \top b = 0_A$ .
Exemples d'anneaux intègres : $(\mathbb{Z}, +, \times), (\mathbb{Q}, +, \times), (\mathbb{R}, +, \times), (\mathbb{C}, +, \times)$ .
Contre-exemples (Anneaux non intègres) :
- $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +, \times)$ car $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .
- $(\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), +, \times)$ car on peut trouver deux fonctions non nulles dont le produit est nul .
- $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +, \times)$ car $\bar{2} \times \bar{4} = \bar{8} = \bar{0}$ mais $\bar{2} \neq \bar{0}$ et $\bar{4} \neq \bar{0}$ .
Si "$\top$" est commutatif, on dit que $(C, *, \top)$ est un corps commutatif .
Exemples : $(\mathbb{Q}, +, \times), (\mathbb{R}, +, \times), (\mathbb{C}, +, \times)$ sont des corps commutatifs .
\( A = \{ 2^n 3^m \mid (n,m)\in\mathbb{Z}^2 \} \), \( B = \{ 2^{3p} 3^{2q} \mid (p,q)\in\mathbb{Z}^2 \} \).
1) Montrer que \((A;\times)\) est un groupe.
2) Montrer que \(B\) est un sous-groupe de \((A;\times)\).
\( E = \left\{ \frac{1+2p}{1+2q} \mid (p,q)\in\mathbb{Z}^2 \right\} \).
Montrer que \((E;\times)\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Q}^*;\times)\).
Loi \( * \) sur \(\mathbb{R}\) : \( a*b = a+b+ab \).
1) a) Montrer que \( * \) est commutative et associative.
b) Montrer que \( * \) admet un élément neutre.
c) \((\mathbb{R};*)\) est-il un groupe ?
2) \( a_1=a,\; a_{n+1}=a_n*a \).
a) Calculer \(a_2, a_3\).
b) Calculer \(a_n\) en fonction de \(n\).
Loi \( T \) sur \(\mathbb{R}\) : \( xTy = x+y+mxy \), \( m\ne 0 \).
1) Montrer que \(T\) est commutative et associative.
2) \( G = \mathbb{R}\setminus\{-1/m\} \).
a) Montrer que \(G\) est stable pour \(T\).
b) Montrer que \((G;T)\) est un groupe commutatif.
\( I = [0;+\infty[ \).
1) Montrer que \( e^{x+y}-e^x-e^y+2 > 1 \).
2) Loi \( T \) sur \(I\) : \( xTy = \ln(e^{x+y}-e^x-e^y+2) \), \( f(x)=\ln(x+1) \).
a) Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((I;\times)\) dans \((I;T)\).
b) En déduire la structure de \((I;T)\).
Soit \((G;*)\) un groupe, \(a\in G\). On pose \(H=\{a^n \mid n\in\mathbb{Z}\}\).
1) Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \((G;*)\).
2) Montrer que \(H\) est le plus petit sous-groupe contenant \(a\).
\( G = \mathbb{R}^* \times \mathbb{R} \), loi \( (x;y)*(x';y') = (xx'; xy' + \frac{y}{x}x') \).
1) Montrer que \((G;*)\) est un groupe non commutatif.
2) Déterminer le centre \(C\).
3) Montrer que \(\mathbb{R}^*\times\{0\}\), \(\{1\}\times\mathbb{R}\), \(\mathbb{Q}^*\times\mathbb{Q}\) sont des sous-groupes.
4) Soit \(H = \{ (x; k(x-\frac1x)) \mid x\in\mathbb{R}^* \}\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe commutatif.
\( E = \{ M(x) = \begin{pmatrix} x & 0 \\ x\ln x & x \end{pmatrix} \mid x>0 \} \).
\(\varphi: ]0;+\infty[ \to E,\; x\mapsto M(x) \).
1) Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((]0;+\infty[;\times)\) vers \((E;\times)\).
2) En déduire la structure de \((E;\times)\).
3) Déterminer \((M(x))^{-1}\) et \((M(x))^n\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).
\( E = \{ M_n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ a2^n & 2^n \end{pmatrix} \mid a\in\mathbb{Z} \} \).
1) Montrer que \((E;\times)\) est un groupe commutatif isomorphe à \((\mathbb{Z};+)\).
2) Montrer que \((M_n)^p = M_{np}\).
3) \( F_{(a;b)} = \{ (M_n)^p \mid (p;q)\in\mathbb{Z}^2 \} \).
a) Montrer que \(F_{(a;b)}\) est un sous-groupe de \((E;\times)\).
b) Montrer que \(a\land b \mid c \iff F_{(a;b)} = E\).
c) En déduire \(a\land b=1 \iff F_{(a;b)}=E\).
\( A = \{ M(x) = \begin{pmatrix} 1 & -x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ x & -x^2/2 & 1 \end{pmatrix} \mid x\in\mathbb{R} \} \).
1) Montrer que \(A\) est stable pour la multiplication.
2) \( f:\mathbb{R}\to A,\; x\mapsto M(x) \).
a) Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb{R};+)\) vers \((A;\times)\).
b) En déduire la structure de \((A;\times)\).
c) Déterminer \((M(x)M(y))^{-1}\).
d) Résoudre \(X^2=K\) avec \(K=M(1)\).
\( E = \{ M_a = \begin{pmatrix} e^a & 0 & 0 \\ ae^a & e^a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a\in\mathbb{R} \} \).
1) Montrer que \(E\) est stable pour la multiplication.
2) \(\varphi:\mathbb{R}\to E,\; a\mapsto M_a\).
a) Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((\mathbb{R};+)\) dans \((E;\times)\).
b) En déduire la structure de \((E;\times)\).
3) Montrer que \((M_a)^k = M_{ka}\) pour tout \(k\in\mathbb{Z}\).
\( A = \{ M(x) = \begin{pmatrix} a^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid x\in\mathbb{R} \} \), \(a>0\).
1) a) Montrer que \(f:\mathbb{R}\to A,\; x\mapsto M(x)\) est un isomorphisme de \((\mathbb{R};+)\) vers \((A;\times)\).
b) En déduire la structure de \((A;\times)\).
c) Déterminer \((M(x))^{-1}\).
2) Déterminer \((M(x))^n\) pour \(n\in\mathbb{N}^*\).
\( G = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \right\} \).
1) Montrer que \(G\) est stable pour la multiplication.
2) Montrer que \((G;\times)\) est un groupe non commutatif.
\( G = \mathbb{R}\setminus\{1\} \), loi \( x*y = x+y-2xy \).
1) Montrer que \( * \) est une loi interne dans \(G\).
2) Montrer que \((G;*)\) est un groupe commutatif.
3) Montrer que \( \underbrace{x*x*\cdots*x}_{n\text{ fois}} = \frac12(1-(1-2x)^n) \).
\( A = \{ M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ x & 0 & 1-x \end{pmatrix} \mid x\in G=\mathbb{R}\setminus\{1\} \} \).
1) Montrer que \(A\) est stable.
2) \(\varphi:G\to A,\; x\mapsto M(x)\).
a) Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme de \((G;*)\) vers \((A;\times)\).
b) En déduire la structure de \((A;\times)\).
c) \(K=M(1/2^n)\). Montrer que \(K^n = M((1-2^n)/2)\) et \((K^n)^{-1}=M(1/2-1/2^{n+1})\).
\( E = \{ \begin{pmatrix} a & b \\ 5b & a \end{pmatrix} \mid (a,b)\in\mathbb{Z}^2 \} \).
1) Montrer que \((E;+;\times)\) est un anneau commutatif unitaire.
2) a) Montrer que \(a^2-5b^2=0 \iff a=b=0\).
b) Montrer que \((E;+;\times)\) est intègre.
3) \( F = \{ \begin{pmatrix} 2x-y & y \\ 5y & 2x-y \end{pmatrix} \mid (x,y)\in\mathbb{Z}^2 \} \).
a) Montrer que \((F;+)\) est un sous-groupe de \((E;+)\).
b) Montrer que pour tout \(X\in E,\;M\in F\), \(XM\in F\).
\( A = \{ M(a;b) = \begin{pmatrix} a & b \\ -2b & a+2b \end{pmatrix} \mid (a,b)\in\mathbb{R}^2 \} \).
1) Montrer que \(A\) est un sous-groupe de \((M_2(\mathbb{R});+)\).
2) Montrer que \(A\) est stable pour la multiplication.
3) \(f:A\to\mathbb{C},\; M(a;b)\mapsto a+b+ib\).
a) Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((A\setminus\{0\};\times)\) vers \((\mathbb{C}^*;\times)\).
b) En déduire la structure de \((A;+;\times)\).
\( F = \{ \begin{pmatrix} x+y & y \\ 0 & x+y \end{pmatrix} \mid (x,y)\in\mathbb{R}^2 \} \).
1) Montrer que \((F;+)\) est un sous-groupe de \((M_2(\mathbb{R});+)\).
2) Montrer que \((F;+;\times)\) est un anneau commutatif unitaire.
3) Déterminer les éléments inversibles de \((F;\times)\).
\( F = \{ \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} \mid (x,y)\in\mathbb{Q}^2 \} \).
1) Montrer que \((F;+)\) est un groupe commutatif.
2) Montrer que \((F;+;\times)\) est un anneau commutatif unitaire.
3) Montrer que \(x^2=2y^2 \iff x=y=0\).
4) Montrer que \((F;+;\times)\) est un corps commutatif.
5) Résoudre \(X^2-4X+3I_2=0\) dans \(F\).
\( E = \{ \begin{pmatrix} x+y & 3y \\ -y & x-y \end{pmatrix} \mid (x,y)\in\mathbb{R}^2 \} \).
1) Montrer que \((E;+;\times)\) est un corps commutatif.
2) \(f:E\to\mathbb{C},\; M(x;y)\mapsto x+iy\sqrt{2}\).
a) Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((E;\times)\) sur \((\mathbb{C};\times)\).
b) \(K=M(1;\sqrt2/2)\). Montrer qu'il existe \((a_n,b_n)\) tels que \(K^n=M(a_n;b_n)\).
1) Montrer que \((A;\times)\) est un groupe (avec \(A=\{2^n3^m\}\), \(n,m\in\mathbb{Z}\)).
Indications : \(1\in A\), \(xy^{-1}=2^{n-n'}3^{m-m'}\in A\).
2) Montrer que \(B\) est un sous-groupe de \((A;\times)\) (avec \(B=\{2^{3p}3^{2q}\mid (p,q)\in\mathbb{Z}^2\}\)).
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