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Lois de compositions internes

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Lois de composition internes

I. DĂ©finition et Exemples

Soit $E$ un ensemble non vide.
Toute application $f : E \times E \to E, \ (a,b) \mapsto f(a,b)$ s'appelle une L.C.I (Loi de Composition Interne) de $E$.
On note $f(a,b)$ par $a * b \ ; \ a \top b \ ; \ a \bot b \ ; \ a R b \ ; \ \dots$

Exemples usuels :

  • 1) $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \ a+b \in \mathbb{R}$ : on dit "$+$" est une L.C.I dans $\mathbb{R}$.
  • 2) $\forall (a,b) \in \mathbb{N}^2, \ a \times b \in \mathbb{N}$ : "$\times$" est une L.C.I dans $\mathbb{N}$.
  • 3) $\exists (a,b) \in \mathbb{N}^2, \ a-b \notin \mathbb{N}$ donc "$-$" n'est pas une L.C.I dans $\mathbb{N}$.
  • 4) $\exists (a,b) \in \mathbb{R}^2, \ \frac{a}{b} \notin \mathbb{R}$ : "$\div$" n'est pas une L.C.I dans $\mathbb{R}$.
  • 5) $\forall (a,b) \in i\mathbb{R}, \ a \cdot b \notin i\mathbb{R}$ : "$\times$" n'est pas une L.C.I dans $i\mathbb{R}$.
  • 6) $\forall (\vec{u}, \vec{v}) \in \mathcal{V}_2^2, \ \vec{u} \cdot \vec{v} \in \mathbb{R}$ : "$\cdot$" (produit scalaire) n'est pas une L.C.I dans $\mathcal{V}_2$.
  • 7) Dans l'ensemble de Rotation de centre $\Omega$, $\mathcal{R}(\Omega)$ : "$\circ$" est une L.C.I car $r(\Omega, \theta) \circ r(\Omega, \theta') = r(\Omega, \theta+\theta')$.
  • 8) Dans l'ensemble des translations $\mathcal{T}$ : $t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}} = t_{\vec{u}+\vec{v}}$, donc "$\circ$" est une L.C.I dans $\mathcal{T}$.

📝 Exercices d'application

Exercice 1 : On pose $E = ]-1, 1[$ et on considÚre la relation $*$ définie par $\forall (x,y) \in E^2, \ x * y = \frac{x+y}{1+xy}$. Montrer que $*$ est une L.C.I dans $E$.

RĂ©ponse (MĂ©thode 1 : Encadrement) :
On a $\frac{x+y}{1+xy} - 1 = \frac{(x-1)(1-y)}{1+xy}$ et $\frac{x+y}{1+xy} + 1 = \frac{(x+1)(y+1)}{1+xy}$.
On a $-1 < x < 1$ et $-1 < y < 1 \implies |x| < 1$ et $|y| < 1 \implies |xy| < 1 \implies -1 < xy < 1 \implies 0 < 1+xy < 2$.
Or $x-1 < 0$ et $1-y > 0 \implies (x-1)(1-y) < 0$.
Et $x+1 > 0$ et $y+1 > 0 \implies (x+1)(y+1) > 0$.
Donc $\frac{x+y}{1+xy} - 1 < 0$ et $\frac{x+y}{1+xy} + 1 > 0$, c.Ă .d. $x * y \in ]-1, 1[$. Donc $*$ est une L.C.I.

Réponse (Méthode 2 : Dérivée) :
$f(x) = \frac{x+y}{1+xy} \implies f'(x) = \frac{1-y^2}{(1+xy)^2} > 0$. Donc $f$ est croissante.
$-1 < x < 1 \implies f(-1) < f(x) < f(1) \implies -1 < f(x) < 1$.
Exercice 2 : $E = \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 \ / \ x^2 - 2y^2 = 1 \}$. On définit $(x,y) \top (x',y') = (xx'+2yy', xy'+x'y)$.
Montrons que $\top$ est une L.C.I :
On a $(xx'+2yy') \in \mathbb{Z}$ et $(xy'+x'y) \in \mathbb{Z}$.
$(xx'+2yy')^2 - 2(xy'+x'y)^2 = x^2x'^2 + 4xx'yy' + 4y^2y'^2 - 2(x^2y'^2 + 2xx'yy' + x'^2y^2)$
$= x^2x'^2 + 4y^2y'^2 - 2x^2y'^2 - 2x'^2y^2 = x^2(x'^2-2y'^2) - 2y^2(x'^2-2y'^2) = (x^2-2y^2)(x'^2-2y'^2) = 1 \times 1 = 1$.
Donc $(x,y) \top (x',y') \in E$.
Exercice 3 : $E = \mathbb{C} \setminus \{-i\}$. $Z * Z' = (Z+i)(Z'+i) - i$.
Supposons que $Z * Z' = -i \implies (Z+i)(Z'+i) - i = -i \implies (Z+i)(Z'+i) = 0 \implies Z = -i$ ou $Z' = -i$.
Impossible car $(Z, Z') \in E^2 \implies Z \neq -i$ et $Z' \neq -i$. Donc $Z * Z' \neq -i \implies Z * Z' \in E$. L.C.I vérifiée.

II. Les matrices carrées d'ordre 2 et 3

Définition : $\forall (a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ s'appelle une matrice carrée d'ordre 2. L'ensemble se note $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
De mĂȘme pour l'ordre 3, $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ est l'ensemble des matrices $3 \times 3$.

Somme et Produit :
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+a' & b+b' \\ c+c' & d+d' \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'+bd' \\ ca'+dc' & cb'+dd' \end{pmatrix}$

"$+$" et "$\times$" sont des L.C.I dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ s'appellent des matrices nulles et se notent $O_2$ et $O_3$.

III. La stabilité

DĂ©finition :
Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une L.C.I "$*$" et $F$ une partie de $E$.
On dit que $F$ est stable dans $(E, *)$ si et seulement si : $\forall (x,y) \in F^2, \ x * y \in F$. (c.Ă .d $*$ est L.C.I dans $F$).
  • đŸ”č $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ sont stables dans $(\mathbb{C}, +)$.
  • đŸ”č $E = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} / \ a,b \in \mathbb{R} \right\}$ est stable dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), \times)$ et $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), +)$.
  • 🔾 Contre-exemple : $\mathbb{R}^-$ n'est pas stable dans $(\mathbb{R}, \times)$ car $-2 \times -3 = 6 \notin \mathbb{R}^-$.

IV. Propriétés d'une L.C.I

1. La commutativité

$*$ est commutative si : $\forall (a,b) \in E^2, \ a * b = b * a$.

Exemples : "$+$" et "$\times$" sont commutatives dans $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathcal{P}(E), \mathcal{F}(E, \mathbb{R})$. $\cap, \cup, \Delta$ commutatives ds $\mathcal{P}(E)$.
Contre-exemples : "$\circ$" n'est pas commutative ds $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. "$\times$" matricielle n'est pas commutative ds $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

2. L'associativité

$*$ est associative si et ssi : $\forall (a,b,c) \in E^3, \ (a * b) * c = a * (b * c)$.

Exemples : "$+$", "$\times$" sont associatives. "$\circ$" est associative.
Contre-exemples : "$-$" et "$\div$" ne sont pas associatives dans $\mathbb{R}$.
Remarque : Si $*$ est associative/commutative dans $E$, elle l'est aussi dans toute partie stable $F$.

3. L'élément neutre

On dit que $*$ admet un élément neutre dans $E$ si et ssi : $\exists e \in E, \ \forall x \in E \ / \ x * e = e * x = x$.

Exemples : $0$ pour l'addition, $1$ pour la multiplication, $O_2$ pour $(\mathcal{M}_2, +)$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour $(\mathcal{M}_2, \times)$, $\vec{0}$ pour les vecteurs.

ThéorÚme : L'élément neutre, s'il existe, est unique.
DĂ©m : Si $e$ et $e'$ neutres, $e * e' = e$ (car $e'$ neutre) et $e * e' = e'$ (car $e$ neutre) $\implies e = e'$.

4. Le symétrique d'un élément

Soit $x \in E$, on dit que $x$ admet un symétrique $x'$ dans $(E, *)$ si et ssi $x * x' = x' * x = e$.

Exemples : $-x$ est le sym de $x$ pour l'addition. $\frac{1}{x}$ pour la multiplication. $\begin{pmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{pmatrix}$ pour $\mathcal{M}_2(+)$.

ThéorÚme 1 : Si $*$ est associative, le symétrique d'un élément, s'il existe, est unique.
ThéorÚme 2 : Si $x$ a pour symétrique $x'$ et $y$ a pour symétrique $y'$, alors le symétrique de $(x*y)$ est $(y' * x')$.
 

$Sym(x * y) = Sym(y) * Sym(x)$

V. ÉlĂ©ments rĂ©guliers (Simplifiables)

Soit $E = \mathcal{B}_j(E,E)$ l'ensemble des applications bijectives de $E$ dans $E$. "$\circ$" est une L.C.I.
$Id(x) = x$ est neutre. $f^{-1}$ est le symétrique de $f$. On a : $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$.

DĂ©finition (ÉlĂ©ment rĂ©gulier) :
$a \in E$ est régulier si et ssi : $\forall (x,y) \in E^2, \ a * x = a * y \implies x = y \quad \text{et} \quad x * a = y * a \implies x = y$.

Proposition : Si $a$ admet un symétrique, alors $a$ est régulier.
DĂ©m : $a * x = a * y \implies a' * (a * x) = a' * (a * y) \implies (a' * a) * x = (a' * a) * y \implies e * x = e * y \implies x = y$.

VI. Homomorphisme (Morphismes)

1. DĂ©finition

Soient $(E,*)$ et $(F,\top)$ deux ensembles munis de L.C.I. On dit que $f : E \to F$ est un homomorphisme si :
 

$\forall (x,y) \in E^2, \ f(x * y) = f(x) \top f(y)$

Si de plus $f$ est bijective, on dit que $f$ est un Isomorphisme.

2. Propriétés des morphismes

Si $f$ est un morphisme de $(E, *) \to (F, \top)$ :

  1. Si $*$ est commutative dans $E \implies \top$ est commutative dans $f(E)$.
  2. Si $*$ est associative dans $E \implies \top$ est associative dans $f(E)$.
  3. Si $e$ est l'élément neutre de $E \implies f(e)$ est l'élément neutre de $(f(E), \top)$.
  4. Si $x'$ est le symétrique de $x \implies f(x')$ est le symétrique de $f(x)$. $Sym(f(x)) = f(Sym(x))$.
  5. Si $S$ est une partie stable dans $(E, *) \implies f(S)$ est stable dans $(F, \top)$.

Remarque : Si de plus $f$ est surjective ou bijective, alors $f(E) = F$.

VII. Inverse d'une matrice

Définition : Soit $A$ une matrice. Si $A$ admet un symétrique dans $(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \times)$, on dit que $A$ est inversible et on note son symétrique $A^{-1}$.

Propriété : $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est inversible $\iff \det A \neq 0$ (avec $\det A = ad - bc$).
Dans ce cas : $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

Exemple : $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \implies \det A = -4 \neq 0$. Donc $A^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$.

📌 À retenir : 3 MĂ©thodes pour trouver $A^{-1}$

  1. Méthode 1 : Appliquer la définition, c.à.d trouver $B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ tel que $AB = I$ et $BA = I$.
  2. MĂ©thode 2 : Utiliser un isomorphisme $f : (E, *) \to (\mathcal{M}_n, \times)$. Si $A = f(x) \implies A^{-1} = f(Sym(x))$.
  3. MĂ©thode 3 : Si $A$ annule un polynĂŽme. 
    Exemple : $A^2 - 3A + 2I = 0 \implies A\left(\frac{1}{2}(3I - A)\right) = I \implies A^{-1} = \frac{1}{2}(3I - A)$.
Ressource pédagogique

Fiche de Résumé

Leçon 9

Structures algébriques

Fiche de Résumé

I. Lois de composition interne

1) Définition et propriétés

Soit $E$ un ensemble non vide :

Toute application définie de $E \times E$ vers $E$ est appelée loi de composition interne sur $E$.

2) Propriétés d'une loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $*$.

  • a) CommutativitĂ© :
    On dit que la loi $*$ est commutative si :
     
$(\forall (x;y) \in E^2) \; ; \quad x * y = y * x$
  • b) AssociativitĂ© :
    On dit que la loi $*$ est associative si :
     
$(\forall (x;y;z) \in E^3) \; ; \quad x * (y * z) = (x * y) * z$
  • c) ÉlĂ©ment neutre :
    On dit qu'un élément $e$ de $E$ est un élément neutre de $(E; *)$ si :
     
$(\forall x \in E) \; ; \quad x * e = x \text{ et } e * x = x$
  • Si la loi $*$ admet un Ă©lĂ©ment neutre dans $E$ alors cet Ă©lĂ©ment est unique.
  • d) ÉlĂ©ments symĂ©trisables :
    On suppose que la loi $*$ admet un élément neutre $e$ dans $E$.
    On dit qu'un élément $x$ est symétrisable dans $(E; *)$ s'il existe un élément $x'$ de $E$ tel que :
     
$x * x' = e \text{ et } x' * x = e$
  • $x'$ est appelĂ© le symĂ©trique de $x$ dans $(E; *)$.

Propriétés :

  • Si la loi $*$ est associative et si un Ă©lĂ©ment de $E$ est symĂ©trisable dans $(E; *)$ alors son symĂ©trique est unique.
  • Si $x$ et $y$ sont deux Ă©lĂ©ments symĂ©trisables dans $(E; *)$ alors $x * y$ est symĂ©trisable et on a : $(x * y)' = y' * x'$.

3) ÉlĂ©ment rĂ©gulier

On dit qu'un élément $a$ de $E$ est un élément régulier dans $(E; *)$ si :

$$(\forall (x;y) \in E^2) \; ; \quad \begin{cases} a * x = a * y \Rightarrow x = y \\ x * a = y * a \Rightarrow x = y \end{cases}$$

4) Partie stable

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $*$ et $S$ une partie de $E$; $(S \subset E)$.

On dit que $S$ est une partie stable de $(E; *)$ si :

$$(\forall (x;y) \in S^2) \; ; \quad x * y \in S$$
Ressource pédagogique

SĂ©rie 1- Lois de Composition Interne

đŸ”„ DifficultĂ© : facile 1 question(s) dans cette sĂ©rie

Question 1

EXO #1

Structures Algébriques : Lois de Composition Interne - Série Facile

Rappels fondamentaux (issus de votre cours)

  • DĂ©finition : Toute application dĂ©finie de $E \times E$ vers $E$ est appelĂ©e loi de composition interne sur $E$.
  • CommutativitĂ© : Une loi $*$ est commutative si $(\forall(x;y) \in E^2) ; x*y = y*x$.
  • AssociativitĂ© : Une loi $*$ est associative si $(\forall(x;y;z) \in E^3) ; x*(y*z) = (x*y)*z$.
  • ÉlĂ©ment neutre : Un Ă©lĂ©ment $e$ est neutre si $(\forall x \in E) ; x*e = x$ et $e*x = x$.
  • ÉlĂ©ments symĂ©trisables : $x$ admet un symĂ©trique $x'$ si $x*x' = e$ et $x'*x = e$.
  • ÉlĂ©ment rĂ©gulier : $a$ est rĂ©gulier si $a*x = a*y \implies x=y$ et $x*a = y*a \implies x=y$.
  • Partie stable : Une partie $S \subset E$ est stable si $(\forall(x;y) \in S^2) ; x*y \in S$.

Exercice 1 : 

On considÚre la loi de composition interne $*$ définie sur l'ensemble $\mathbb{Z}$ par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2 ; \quad x * y = x + y - 3xy $$

  1. Calculer : $1 * 2$ et $(-1) * 3$.
  2. Calculer : $(1 * 0) * 2$ et $1 * (0 * 2)$. La loi $*$ vous semble-t-elle associative ?
  3. En vous basant sur la définition du cours, montrer que la loi $*$ est commutative.
  4. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{Z}$, l'équation : $x * 1 = 0$ (Similaire à la méthode vue en cours).

Exercice 2 : 

On munit l'ensemble $\mathbb{R}$ de la loi de composition interne $\top$ définie par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2 ; \quad x \top y = x + y + 5 $$

  1. Montrer que la loi $\top$ est commutative et associative.
  2. Montrer que la loi $\top$ admet un élément neutre $e$ que l'on déterminera.
  3. Déterminer les éléments symétrisables dans $(\mathbb{R}; \top)$, et déterminer le symétrique $x'$ de tout élément $x \in \mathbb{R}$.

Exercice 3 : 

On considÚre la loi de composition interne $\oplus$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2 ; \quad x \oplus y = xy - 2x - 2y + 6 $$ (Cette forme est inspirée des exemples classiques d'application).

  1. VĂ©rifier que pour tout $(x;y) \in \mathbb{R}^2$, on a : $x \oplus y = (x-2)(y-2) + 2$.
  2. Montrer que la loi $\oplus$ est commutative.
  3. Déterminer l'élément neutre de la loi $\oplus$.
  4. On pose $E = ]2; +\infty[$. Montrer que $E$ est une partie stable dans $(\mathbb{R}; \oplus)$ en utilisant la définition.

Exercice 4 : 

On considÚre la loi de composition interne $\otimes$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2 ; \quad x \otimes y = 4xy $$

  1. Montrer que la loi $\otimes$ admet un élément neutre $e$.
  2. L'élément $0$ admet-il un symétrique pour cette loi ? Justifier.
  3. En vous rappelant de la définition d'un élément régulier, montrer que tout élément $a \in \mathbb{R}^*$ est un élément régulier dans $(\mathbb{R}; \otimes)$.
📌 Exercice à faire en autonomie (sans correction)
Ressource pédagogique

SĂ©rie 2 - Lois de Composition Interne

đŸ”„ DifficultĂ© : facile 1 question(s) dans cette sĂ©rie

Question 1

EXO #1

Structures Algébriques : Lois de Composition Interne - Série Facile 2

Rappels de la mĂ©thode 

  • Pour montrer l'associativitĂ© : Calculez sĂ©parĂ©ment $(x*y)*z$ et $x*(y*z)$, puis comparez les rĂ©sultats finaux. S'ils sont identiques pour tout $x,y,z$, la loi est associative.
  • Pour l'Ă©lĂ©ment neutre : RĂ©solvez l'Ă©quation $x*e = x$ (et $e*x = x$) d'inconnue $e$. Si $e$ est unique et indĂ©pendant de $x$, alors $e$ est l'Ă©lĂ©ment neutre.
  • Pour le symĂ©trique : RĂ©solvez l'Ă©quation $x*x' = e$ d'inconnue $x'$. VĂ©rifiez ensuite si $x'$ existe pour tous les Ă©lĂ©ments de l'ensemble (ou dĂ©terminez lesquels en sont exclus).

Exercice 1 :

On munit l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2 ; \quad x * y = x + y - 2 $$

  1. Calculer : $5 * 3$ et $(-2) * 2$.
  2. Montrer que la loi $*$ est commutative sur $\mathbb{R}$.
  3. Montrer que la loi $*$ est associative.
  4. Déterminer l'élément neutre $e$ de la loi $*$.
  5. Montrer que tout élément $x$ de $\mathbb{R}$ admet un symétrique $x'$ que l'on exprimera en fonction de $x$.

Exercice 2 : 

On considÚre la loi de composition interne $\oplus$ définie sur l'ensemble $\mathbb{R}^*$ (les réels non nuls) par : $$ \forall (x;y) \in (\mathbb{R}^*)^2 ; \quad x \oplus y = \frac{xy}{3} $$

  1. Justifier que $\oplus$ est bien une loi de composition interne sur $\mathbb{R}^*$ (Montrer que le résultat appartient toujours à $\mathbb{R}^*$).
  2. La loi $\oplus$ est-elle commutative ? Justifier.
  3. Montrer que la loi $\oplus$ admet un élément neutre $e$ dans $\mathbb{R}^*$.
  4. Déterminer le symétrique $x'$ d'un élément $x$ de $\mathbb{R}^*$. Tous les éléments de $\mathbb{R}^*$ sont-ils symétrisables ?

Exercice 3 : 

On munit l'ensemble $\mathbb{R}^2$ (l'ensemble des couples de nombres réels) de la loi de composition interne $\otimes$ définie par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \forall (x';y') \in \mathbb{R}^2 ; \quad (x;y) \otimes (x';y') = (xx'; yy') $$

  1. Calculer : $(2;-1) \otimes (3;4)$.
  2. Montrer que la loi $\otimes$ est commutative dans $\mathbb{R}^2$.
  3. Déterminer l'élément neutre $E$ de la loi $\otimes$. (Rappel : l'élément neutre sera un couple).
  4. Quels sont les éléments $(x;y)$ de $\mathbb{R}^2$ qui admettent un symétrique pour la loi $\otimes$ ? Le couple $(2;0)$ est-il symétrisable ?

Exercice 4 : 

On considÚre l'ensemble $E = [1; +\infty[$. On munit $E$ de la loi de composition interne $\star$ définie par : $$ \forall (x;y) \in E^2 ; \quad x \star y = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} $$

  1. Montrer que si $x \ge 1$ et $y \ge 1$, alors $x^2 + y^2 - 1 \ge 1$.
  2. En déduire que $E$ est une partie stable de $\mathbb{R}$ pour la loi $\star$.
  3. La loi $\star$ est-elle commutative sur $E$ ?
  4. Déterminer l'élément neutre de la loi $\star$ dans l'ensemble $E$.
📌 Exercice à faire en autonomie (sans correction)
Ressource pédagogique

SĂ©rie 3 - Lois de Composition Interne

đŸ”„ DifficultĂ© : moyen 1 question(s) dans cette sĂ©rie

Question 1

EXO #1

Structures Algébriques : Lois de Composition Interne - Série 3

Exercice 1 : 

On considÚre sur l'intervalle $G = ]-1; 1[$, la loi de composition interne $T$ définie par : $$ \forall (x;y) \in G^2 ; \quad x T y = \frac{x + y}{1 + xy} $$

  1. VĂ©rifier que pour tout $(x;y) \in G^2$, on a : $1 - (x T y)^2 = \frac{(1-x^2)(1-y^2)}{(1+xy)^2}$.
  2. En déduire que $T$ est bien une loi de composition interne dans $G$.
  3. Montrer que $T$ est commutative et associative.
  4. Déterminer l'élément neutre $e$ dans $(G; T)$.
  5. Montrer que tout élément $x$ de $G$ admet un symétrique dans $(G; T)$ que l'on précisera.

Exercice 2 : 

On considÚre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ la loi de composition interne $*$ définie par : $$ \forall (z;z') \in \mathbb{C}^2 ; \quad z * z' = zz' + i(z + z') - (1 + i) $$

  1. VĂ©rifier que pour tout $(z;z') \in \mathbb{C}^2$, on a : $z * z' = (z + i)(z' + i) - i$.
  2. En utilisant la relation précédente, montrer de maniÚre élégante que la loi $*$ est commutative et associative.
  3. Déterminer l'élément neutre $e$ de la loi $*$.
  4. Déterminer les éléments de $\mathbb{C}$ qui sont symétrisables pour la loi $*$, et donner l'expression du symétrique $z'$ d'un élément symétrisable $z$.

Exercice 3 : 

On munit $\mathbb{R}$ de la loi de composition interne $\oplus$ définie par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2 ; \quad x \oplus y = xy - 4x - 4y + 20 $$

  1. Trouver un réel $\alpha$ tel que : $\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \; x \oplus y = (x-\alpha)(y-\alpha) + \alpha$.
  2. Montrer que $(\mathbb{R}; \oplus)$ admet un élément neutre $e$.
  3. On pose $S = ]4; +\infty[$. Montrer que $S$ est une partie stable dans $(\mathbb{R}; \oplus)$.
  4. L'élément $4$ est-il régulier dans $(\mathbb{R}; \oplus)$ ? Justifiez votre réponse.
  5. Montrer que tout élément $x \in \mathbb{R} \setminus \{4\}$ est régulier.

Exercice 4 :

On considĂšre dans $\mathbb{R}$ la loi de composition interne $\top$ dĂ©finie par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2 ; \quad x \top y = axy + b(x+y) + c $$ oĂč $a, b$ et $c$ sont des nombres rĂ©els tels que $a \neq 0$.

  1. Calculer $(x \top y) \top z$ et $x \top (y \top z)$.
  2. Déterminer une relation liant les nombres réels $a, b$ et $c$ pour que la loi $\top$ soit associative.
  3. On suppose que la relation trouvée à la question 2 est vérifiée (donc la loi est associative). Montrer que la loi $\top$ admet un élément neutre $e$ que l'on déterminera en fonction de $a$ et $b$.
  4. Soit $x$ un nombre rĂ©el. Étudier l'existence de $x'$, le symĂ©trique de $x$ dans $(\mathbb{R}; \top)$, en discutant selon les valeurs de $x$.
📌 Exercice à faire en autonomie (sans correction)
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SĂ©rie 4 - Lois de Composition Interne

đŸ”„ DifficultĂ© : moyen 1 question(s) dans cette sĂ©rie

Question 1

EXO #1

Structures AlgĂ©briques : Lois de Composition Interne - SĂ©rie  4

Exercice 1 : Loi sur le produit cartésien (Loi non-commutative)

On considÚre l'ensemble $E = \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$. On munit $E$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $$ \forall (x;y) \in E, \forall (x';y') \in E ; \quad (x;y) * (x';y') = (xx'; xy' + y) $$

  1. Calculer $(1; 2) * (2; 3)$ puis $(2; 3) * (1; 2)$. Que peut-on conclure concernant la commutativité de la loi $*$ ?
  2. Montrer que la loi $*$ est associative dans $E$.
  3. Montrer que $*$ admet un élément neutre $e$ dans $E$ que l'on précisera. (Attention : l'élément neutre est un couple).
  4. Montrer que tout élément $(x;y)$ de $E$ admet un symétrique $(x';y')$ pour la loi $*$ que l'on exprimera en fonction de $x$ et $y$.

Exercice 2 : 

On munit l'intervalle $I = [1; +\infty[$ de la loi de composition interne $\top$ définie par : $$ \forall (x;y) \in I^2 ; \quad x \top y = \sqrt{x^2 y^2 - x^2 - y^2 + 2} $$

  1. VĂ©rifier que pour tout $(x;y) \in I^2$, on a : $x^2 y^2 - x^2 - y^2 + 2 = (x^2 - 1)(y^2 - 1) + 1$.
  2. En déduire que $I$ est une partie stable de $\mathbb{R}$ pour la loi $\top$.
  3. Montrer que la loi $\top$ est commutative et associative dans $I$.
  4. Montrer que $(I; \top)$ admet un élément neutre que l'on déterminera.
  5. Déterminer l'ensemble des éléments symétrisables dans $(I; \top)$. (L'élément $1$ est-il symétrisable ?)

Exercice 3 : 

On considÚre l'ensemble $G = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. On définit sur $G$ la loi $\oplus$ par : $$ \forall (x;y) \in G^2 ; \quad x \oplus y = xy + x + y $$

  1. Montrer que $\forall (x;y) \in G^2$, $x \oplus y = (x+1)(y+1) - 1$.
  2. En déduire que $G$ est une partie stable pour la loi $\oplus$.
  3. Déterminer l'élément neutre $e$ de la loi $\oplus$.
  4. Montrer que tout élément $x \in G$ admet un symétrique $x'$.
  5. On note $x^{(2)} = x \oplus x$, et plus généralement pour $n \in \mathbb{N}^*$, $x^{(n)} = \underbrace{x \oplus x \oplus \dots \oplus x}_{n \text{ fois}}$.
    Montrer par récurrence que : $\forall n \in \mathbb{N}^*, \; x^{(n)} = (x+1)^n - 1$.

Exercice 4 : 

On considÚre l'intervalle $K = ]1; +\infty[$. On définit sur $K$ la loi $*$ par : $$ \forall (x;y) \in K^2 ; \quad x * y = \frac{xy}{x + y - 1} $$

  1. Montrer que pour tout $(x;y) \in K^2$, on a : $xy - (x+y-1) = (x-1)(y-1)$.
  2. En déduire que $x * y > 1$ pour tout $(x;y) \in K^2$. (Conclure sur la stabilité de $K$).
  3. Montrer que la loi $*$ est commutative.
  4. On admet que la loi $*$ est associative. Démontrer par l'absurde que la loi $*$ n'admet pas d'élément neutre dans $K$.
📌 Exercice à faire en autonomie (sans correction)
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SĂ©rie 5 - Lois de Composition Interne

đŸ”„ DifficultĂ© : difficile 1 question(s) dans cette sĂ©rie

Question 1

EXO #1

Structures Algébriques : Lois de Composition Interne - Série 5

 

ProblĂšme 1 : 

On munit l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ de la loi de composition interne $*$ définie par : $$ \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2 ; \quad x * y = x\sqrt{1+y^2} + y\sqrt{1+x^2} $$

  1. Montrer que la loi $*$ est commutative.
  2. Calculer $(0 * x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Que peut-on en déduire ?
  3. L'associativitĂ© est trĂšs lourde Ă  prouver algĂ©briquement. On considĂšre l'application $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dĂ©finie par $f(t) = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$. 
    (Rappel : $\sqrt{1+f(t)^2} = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$). 
    Montrer que pour tout $(a;b) \in \mathbb{R}^2$, on a : $f(a+b) = f(a) * f(b)$.
  4. On admet que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$. En utilisant la relation $f(a+b) = f(a) * f(b)$, démontrer élégamment que la loi $*$ est associative sur $\mathbb{R}$.
  5. Déterminer le symétrique $x'$ de tout élément $x \in \mathbb{R}$ pour la loi $*$.

ProblĂšme 2 : 

Pour tout couple $(x;y) \in \mathbb{R}^2$, on note la matrice $M(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}$.
On pose $E = \{ M(x,y) \mid (x;y) \in \mathbb{R}^2 \}$. On rappelle que $(M_2(\mathbb{R}), +, \times)$ est un anneau usuel.

  1. Montrer que $E$ est une partie stable de $M_2(\mathbb{R})$ pour la loi de multiplication matricielle $\times$.
  2. On considĂšre l'application $\varphi : \mathbb{C} \to E$ dĂ©finie par $\varphi(x+iy) = M(x,y)$. 
    Montrer que $\forall (z;z') \in \mathbb{C}^2$, $\varphi(z \times z') = \varphi(z) \times \varphi(z')$.
  3. En déduire que la multiplication $\times$ est commutative dans $E$ (bien qu'elle ne le soit pas dans $M_2(\mathbb{R})$ en général).
  4. Soit $E^* = E \setminus \{M(0,0)\}$. Montrer que tout élément de $E^*$ est symétrisable pour la loi $\times$ et déterminer son inverse $M(x,y)^{-1}$ sous la forme $M(x',y')$.
  5. Déterminer la matrice $M(x,y)^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$, en utilisant la forme trigonométrique du nombre complexe associé $x+iy$.

ProblĂšme 3 : 

On considÚre l'ensemble $G = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$. On définit sur $G$ la loi de composition interne $\top$ par : $$ \forall (x;y) \in G, \forall (x';y') \in G ; \quad (x;y) \top (x';y') = (x + yx' \; ; \; yy') $$

  1. Calculer $(1; 2) \top (3; -1)$ et $(3; -1) \top (1; 2)$. La loi $\top$ est-elle commutative ?
  2. Montrer que la loi $\top$ est associative dans $G$.
  3. Déterminer l'élément neutre $E_G$ de $(G; \top)$.
  4. Déterminer le symétrique d'un élément $(x;y)$ de $G$ pour la loi $\top$.
  5. On pose $H = \{ (x;1) \mid x \in \mathbb{R} \}$. Montrer que $H$ est une partie stable de $G$. La loi induite sur $H$ est-elle commutative ?

ProblĂšme 4 : 

On rappelle (d'aprÚs une série précédente) que l'intervalle $I = ]-1; 1[$ muni de la loi $x \oplus y = \frac{x+y}{1+xy}$ possÚde un élément neutre $0$ et que chaque élément $x$ admet un symétrique $-x$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $x^{(n)} = \underbrace{x \oplus x \oplus \dots \oplus x}_{n \text{ fois}}$.

  1. Soit $g$ l'application dĂ©finie sur $I$ par $g(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$. 
    Montrer que pour tout $(x;y) \in I^2$, on a : $g(x \oplus y) = g(x) + g(y)$.
  2. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et pour tout $x \in I$ : $g(x^{(n)}) = n \cdot g(x)$.
  3. Sachant que $g$ est bijective de $]-1; 1[$ vers $\mathbb{R}$, en déduire l'expression explicite de $x^{(n)}$ en fonction de $x$ et de $n$.
  4. RĂ©soudre dans $I$ l'Ă©quation : $x^{(3)} = \frac{1}{2}$. (On exprimera la solution Ă  l'aide de racines cubiques).
📌 Exercice à faire en autonomie (sans correction)
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SĂ©rie 6 - Lois de Composition Interne

đŸ”„ DifficultĂ© : difficile 1 question(s) dans cette sĂ©rie

Question 1

EXO #1

Équations DiffĂ©rentielles : ProblĂšmes de SynthĂšse (SĂ©rie 4) - 2Ăšme Bac SM

C

ProblĂšme 1 : 

Pour tout couple $(a;b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$, on définit l'application $f_{a,b}$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $$ \forall x \in \mathbb{R} ; \quad f_{a,b}(x) = ax + b $$ On note $E = \{ f_{a,b} \mid (a;b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R} \}$. On munit $E$ de la loi de composition des applications, notée $\circ$.

  1. Montrer que pour tout $(a;b)$ et $(c;d)$ dans $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$, on a : $f_{a,b} \circ f_{c,d} = f_{ac, ad+b}$.
  2. En déduire que $E$ est une partie stable de l'ensemble des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ pour la loi $\circ$.
  3. La loi $\circ$ est-elle commutative dans $E$ ? (Justifier avec un contre-exemple simple).
  4. Montrer que $(E; \circ)$ admet un élément neutre que l'on précisera.
  5. Montrer que tout élément $f_{a,b}$ de $E$ admet un symétrique (une bijection réciproque) dans $E$, que l'on exprimera sous la forme $f_{a',b'}$.
  6. On pose $H = \{ f_{1,b} \mid b \in \mathbb{R} \}$. Montrer que $H$ est une partie stable de $(E; \circ)$, et que la loi $\circ$ restreinte Ă  $H$ est commutative.

ProblĂšme 2 : 

Pour tout réel $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$, on considÚre la matrice carrée d'ordre 2 : $$ M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix} $$ On note $F = \{ M(x) \mid x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} \}$.

  1. Montrer que pour tout $(x;y) \in (\mathbb{R} \setminus \{-1\})^2$, on a : $M(x) \times M(y) = M(x + y + xy)$.
  2. Soit la loi $\star$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par : $x \star y = x + y + xy$. Montrer que $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ est stable pour la loi $\star$.
  3. Soit l'application $\varphi : \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to F$ dĂ©finie par $\varphi(x) = M(x)$. 
    Justifier que $\varphi$ est un isomorphisme (morphisme bijectif) de $(\mathbb{R} \setminus \{-1\}; \star)$ vers $(F; \times)$.
  4. En déduire, sans aucun calcul matriciel supplémentaire, que $(F; \times)$ possÚde un élément neutre $I$ et que toute matrice $M(x)$ de $F$ possÚde un inverse $M(x)^{-1}$ dans $F$.
  5. Calculer $x \star x$, puis, par une récurrence simple, déterminer l'expression de $M(x)^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.

ProblĂšme 3 : 

Soit $(A, +, \times)$ un anneau unitaire (de neutres respectifs $0_A$ et $1_A$). On suppose que l'anneau vérifie la propriété spécifique suivante : $$ \forall x \in A ; \quad x \times x = x \quad \text{(Un tel anneau est dit de Boole)} $$

  1. En développant l'expression $(x+x) \times (x+x)$, montrer que pour tout $x \in A$, on a : $x + x = 0_A$.
  2. En déduire que chaque élément est son propre symétrique pour la loi $+$, c'est-à-dire : $-x = x$.
  3. En développant l'expression $(x+y) \times (x+y)$, démontrer que : $x \times y + y \times x = 0_A$.
  4. En utilisant les résultats des questions 2 et 3, montrer que l'anneau $(A, +, \times)$ est nécessairement commutatif.
  5. On définit sur $A$ une nouvelle loi de composition interne $*$ par : $x * y = x + y - x \times y$.
    Montrer que la loi $*$ est associative et admet $0_A$ comme élément neutre.

ProblĂšme 4 : 

On considÚre l'intervalle $I = ]-1; 1[$. Pour tout $x \in I$, on définit la matrice : $$ L(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 1 \end{pmatrix} $$ On note $G = \{ L(x) \mid x \in I \}$. (Ces matrices représentent les transformations de Lorentz en relativité restreinte).

  1. On rappelle que sur $I$, la loi $x \oplus y = \frac{x+y}{1+xy}$ est une loi de composition interne (stabilité admise).
    Montrer que pour tout $(x;y) \in I^2$, on a : $1 - (x \oplus y)^2 = \frac{(1-x^2)(1-y^2)}{(1+xy)^2}$.
  2. En effectuant le produit matriciel de $L(x)$ par $L(y)$, démontrer la relation fondamentale : $$ \forall (x;y) \in I^2 ; \quad L(x) \times L(y) = L(x \oplus y) $$
  3. En déduire que $G$ est une partie stable de $(M_2(\mathbb{R}), \times)$.
  4. Déterminer l'élément neutre de $G$ et montrer que tout élément $L(x)$ admet un inverse $L(x)^{-1}$ dans $G$ que l'on précisera en fonction de $x$.
  5. Bonus : La loi $\oplus$ correspond à l'addition des vitesses en relativité. Retrouver ce résultat en posant $x = \tanh(\alpha)$ et $y = \tanh(\beta)$ et en appliquant les formules trigonométriques hyperboliques.
📌 Exercice à faire en autonomie (sans correction)

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